例3 [2024衡阳模拟]如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.

证明：
(1) ∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DC=DE，∠C=∠DEB=90°。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
(2) 在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
∵ AB = AE + EB，AC = AF + CF，
又由(1)知CF=EB，
∴ AB = AC + EB = AF + CF + EB = AF + 2EB，
即$AB=AF+2EB$。

9.如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。若AD=8，则点P到BC的距离是（）


A.8
B.6
C.4
D.2

C

10. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$BD＝4$，$∠ B＝30°$，$S_{△ ACD}＝7$，求$AC$的长。

AC 的长为 7

例4 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$CE⊥ AB$,垂足分别为$D$,$E$,且$AD$与$CE$相交于点$H$,请你添加一个适当的条件:________,使$△ AEH≌△ CEB$.

【点悟】判定两个三角形全等的一般方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.添加条件时注意“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.

$AH=CB$ 或 $EH=EB$ 或 $AE=CE$