6.如图,在等边三角形ABC中,M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

(1)证明略
(2)$PH=\frac{1}{2}a$

7.[2024邵阳模拟]如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数;
(2)若DE=2,求BC的长.

(1)$∠C=90°$
(2)$BC=6$

8.[2024长沙模拟]新定义:顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
(1)如图①,若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE.
①∠BAD ∠CAE(填“＞”“＜”或“=”);
②连接线段BD,CE,则BD CE(填“＞”“＜”或“=”).
(2)如图②,△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B,D,E三点在同一条直线上,AC与BE交于点F,若F为AC的中点,求∠BEC的度数.

(3)如图③,△FDC和△ADE互为“兄弟三角形”,DC=DF,DA=DE,∠FDC=∠ADE=90°,C,F,A三点在同一条直线上,CD交AB于点B,B,F,E三点在同一条直线上,AB=AC,∠CAB=90°,△BCF的面积为18,求AF的长.

(1)①= ②=
(2)$∠BEC=90°$
(3)$AF$的长为$6$