9. [2024长沙模拟]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$,垂足为$G$,且$AD=AB$.$∠ EDF=60°$,其两边分别交边$AB$,$AC$于点$E$,$F$.求证:
(1)$△ ABD$是等边三角形;
(2)$BE=AF$.

证明：
(1) ∵ AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=120°，
由等腰三角形三线合一可得AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 60°，
又∵ AD = AB，
∴ 有一个内角为60°的等腰△ABD是等边三角形。
(2) 由(1)知△ABD是等边三角形，
∴ BD = AD，∠ABD = 60°，
又∵ ∠DAF = 60°，
∴ ∠DBE = ∠DAF = 60°，
∵ ∠EDF = 60°，
∴ ∠BDE + ∠EDA = 60°，∠ADF + ∠EDA = 60°，
∴ ∠BDE = ∠ADF。
在△BDE和△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $
∴ △BDE ≌ △ADF (ASA)，
∴ BE = AF。

10. 如图，在$△ EBD$中，$EB=ED$，点$C$在边$BD$上，$CE=CD$，$BE⊥ CE$，$A$是$CE$的延长线上一点，$EA=EC$。
(1)求$∠ EBC$的度数；
(2)求证：$△ ABC$是等边三角形。

(1)$∠ EBC=30°$ (2)证明略

例7 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$DE$是线段$AB$的垂直平分线，$DE$交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，连接$AD$。
(1)求证：$DC=DE$；
(2)若$CD=3$，求$BD$的长。

【点悟】(1)直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半；(2)如果给出的角是$15°$，往往运用一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到$30°$的角。

(1)证明略 (2)$BD=6$