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7. 抛物线$y=ax^2+b$的图象如图所示，则下列结论中正确的是（
A.$a＞0,b＜0$
B.$a＞0,b＞0$
C.$a＜0,b＜0$
D.$a＜0,b＞0$
D
）A.$a＞0,b＜0$
B.$a＞0,b＞0$
C.$a＜0,b＜0$
D.$a＜0,b＞0$
答案
D
解析
【分析】
要判断a、b的符号，可根据二次函数$y=ax^2+b$的图象性质逐步推导：第一步先通过抛物线开口方向确定a的正负；第二步通过抛物线与y轴的交点位置确定b的正负，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 判断a的符号：由图可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，当$a＜0$时抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断b的符号：当$x=0$时，代入解析式得$y=b$，即抛物线与y轴的交点为$(0,b)$，由图可知交点在y轴正半轴，因此$b＞0$；
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数基本性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，只要掌握开口方向与a的对应关系、与y轴交点和b的对应关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断a、b的符号，可根据二次函数$y=ax^2+b$的图象性质逐步推导：第一步先通过抛物线开口方向确定a的正负；第二步通过抛物线与y轴的交点位置确定b的正负，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 判断a的符号：由图可知抛物线开口向下，根据二次函数性质，当$a＜0$时抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断b的符号：当$x=0$时，代入解析式得$y=b$，即抛物线与y轴的交点为$(0,b)$，由图可知交点在y轴正半轴，因此$b＞0$；
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数基本性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，只要掌握开口方向与a的对应关系、与y轴交点和b的对应关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
▲8.若二次函数$y=ax^2+c(a≠0)$当$x$分别取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当$x$取$x_1+x_2$时，函数值为（
A.$a+b$
B.$a-c$
C.$c$
D.$-c$
C
）A.$a+b$
B.$a-c$
C.$c$
D.$-c$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象特征，该函数没有一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$）。已知$x$取$x_1、x_2$时函数值相等，说明这两个横坐标对应的点关于函数对称轴对称，根据对称点的横坐标关系可求出$x_1+x_2$的值，最后代入解析式即可求出对应函数值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为直线$x=0$，
且当$x$分别取$x_1、x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，解得$x_1+x_2=0$，
将$x=x_1+x_2=0$代入函数解析式，得：
$y=a×0^2 + c = c$，
即$x$取$x_1+x_2$时，函数值为$c$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用“函数值相等的两个点关于二次函数对称轴对称”的性质推导横坐标的关系，熟练掌握二次函数对称轴相关知识就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数$y=ax^2+c$的图象特征，该函数没有一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$）。已知$x$取$x_1、x_2$时函数值相等，说明这两个横坐标对应的点关于函数对称轴对称，根据对称点的横坐标关系可求出$x_1+x_2$的值，最后代入解析式即可求出对应函数值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为直线$x=0$，
且当$x$分别取$x_1、x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即两点横坐标的中点在对称轴上，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，解得$x_1+x_2=0$，
将$x=x_1+x_2=0$代入函数解析式，得：
$y=a×0^2 + c = c$，
即$x$取$x_1+x_2$时，函数值为$c$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是利用“函数值相等的两个点关于二次函数对称轴对称”的性质推导横坐标的关系，熟练掌握二次函数对称轴相关知识就能快速解题。
【难度系数】
0.8
9.抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到$y=2(x-1)^2 -2$，则原抛物线的函数表达式是
$y=2(x+1)^2+1$
。答案
$y=2(x+1)^2+1$
解析
【分析】
要推导原抛物线的表达式，可利用平移的可逆性倒推：已知原抛物线经过“向右平移2个单位，再向下平移3个单位”得到现有抛物线，因此将现有抛物线反向平移，即先向上平移3个单位，再向左平移2个单位就能得到原抛物线。平移时遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，直接对顶点式变形即可求解。
【解析】
解：已知平移后抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2 -2$，按逆向平移步骤计算：
1. 先将抛物线向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，解析式调整为：
$y=2(x-1)^2 -2 +3 = 2(x-1)^2 +1$
2. 再将得到的抛物线向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得：
$y=2[(x+2)-1]^2 +1 = 2(x+1)^2 +1$
【答案】
$y=2(x+1)^2+1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础常考题，核心是熟练掌握平移规律，解题时注意正向平移和逆向平移的方向相反，避免混淆x的加减对应方向即可得分。
【难度系数】
0.8
要推导原抛物线的表达式，可利用平移的可逆性倒推：已知原抛物线经过“向右平移2个单位，再向下平移3个单位”得到现有抛物线，因此将现有抛物线反向平移，即先向上平移3个单位，再向左平移2个单位就能得到原抛物线。平移时遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，直接对顶点式变形即可求解。
【解析】
解：已知平移后抛物线的解析式为$y=2(x-1)^2 -2$，按逆向平移步骤计算：
1. 先将抛物线向上平移3个单位，根据“上加下减”的规律，解析式调整为：
$y=2(x-1)^2 -2 +3 = 2(x-1)^2 +1$
2. 再将得到的抛物线向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$x+2$，可得：
$y=2[(x+2)-1]^2 +1 = 2(x+1)^2 +1$
【答案】
$y=2(x+1)^2+1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础常考题，核心是熟练掌握平移规律，解题时注意正向平移和逆向平移的方向相反，避免混淆x的加减对应方向即可得分。
【难度系数】
0.8
10. 抛物线 $y=-(x-2)^2 -1$ 的顶点为 C，直线 $y=-2x + b$ 经过点 C，且与 y 轴交于点 A。求 $△ OAC$ 的面积（点 O 为坐标原点）。
答案
顶点$C(2,-1)$，当$x=2$时，$y=-1$，即$-4+b=-1$，则$b=3$，$\therefore y=-2x+3$。直线与y轴交点为$A(0,3)$，$\therefore S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$
解析
【分析】
要计算$△ OAC$的面积，需先确定O、A、C三点的坐标：O是固定的坐标原点$(0,0)$；首先根据抛物线的顶点式可直接得到顶点C的坐标；再将C点坐标代入直线解析式，求出参数$b$，得到直线的完整表达式；接着将$x=0$代入直线解析式，得到直线与y轴交点A的坐标；最后观察$△ OAC$的位置，以y轴上的OA为底，C点的横坐标绝对值为高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求顶点C的坐标：
抛物线$y=-(x-2)^2 -1$是顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对应顶点坐标为$(h,k)$，因此C点坐标为$(2,-1)$。
2. 求直线解析式的参数$b$：
将$C(2,-1)$代入$y=-2x + b$，得：
$-2×2 + b = -1$
解得$b=3$，即直线解析式为$y=-2x+3$。
3. 求点A的坐标：
y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=-2x+3$，得$y=3$，因此A点坐标为$(0,3)$。
4. 计算$△ OAC$的面积：
OA的长度为3（A点纵坐标的绝对值），C点到y轴的距离为2（C点横坐标的绝对值），即$△ OAC$的底为3、高为2，代入面积公式得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×3×2=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
二次函数的顶点式；待定系数法求一次函数解析式；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，核心是利用函数性质求出对应点的坐标，再结合几何图形特征计算面积，掌握函数基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要计算$△ OAC$的面积，需先确定O、A、C三点的坐标：O是固定的坐标原点$(0,0)$；首先根据抛物线的顶点式可直接得到顶点C的坐标；再将C点坐标代入直线解析式，求出参数$b$，得到直线的完整表达式；接着将$x=0$代入直线解析式，得到直线与y轴交点A的坐标；最后观察$△ OAC$的位置，以y轴上的OA为底，C点的横坐标绝对值为高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求顶点C的坐标：
抛物线$y=-(x-2)^2 -1$是顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，对应顶点坐标为$(h,k)$，因此C点坐标为$(2,-1)$。
2. 求直线解析式的参数$b$：
将$C(2,-1)$代入$y=-2x + b$，得：
$-2×2 + b = -1$
解得$b=3$，即直线解析式为$y=-2x+3$。
3. 求点A的坐标：
y轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入$y=-2x+3$，得$y=3$，因此A点坐标为$(0,3)$。
4. 计算$△ OAC$的面积：
OA的长度为3（A点纵坐标的绝对值），C点到y轴的距离为2（C点横坐标的绝对值），即$△ OAC$的底为3、高为2，代入面积公式得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×3×2=3$
【答案】
$\boxed{3}$
【知识点】
二次函数的顶点式；待定系数法求一次函数解析式；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题型，核心是利用函数性质求出对应点的坐标，再结合几何图形特征计算面积，掌握函数基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
★11.如图，一座拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度为40米.请在图中建立以AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，并使抛物线的顶点落在y轴正半轴上.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度.
答案
(1)$y=-\frac{1}{25}x^2+16$ (2)15米
解析
【分析】
首先解决第(1)问：按照题目要求，以AB中点M为原点，AB所在直线为x轴，过M垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，可得A(-20,0)、B(20,0)、顶点C(0,16)。由于抛物线顶点在y轴上，可设不含一次项的二次函数解析式，代入已知点坐标即可求出解析式。第(2)问：离中心M5米对应横坐标为±5，将x=±5代入已求的解析式，得到的y值就是对应位置桥的高度。
【解析】
(1) 按题意建立平面直角坐标系：以M为原点，AB所在直线为x轴，过M作AB的垂线为y轴。
由跨度AB=40米，得A(-20,0)，B(20,0)；桥最大高度16米，得顶点C(0,16)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，将C(0,16)代入得$c=16$；
再将B(20,0)代入$y=ax^2+16$，得：
$0=a×20^2+16$
$400a=-16$
解得$a=-\frac{1}{25}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2+16$（$-20≤ x≤20$）。
(2) 离中心M处5米的点横坐标为$x=5$或$x=-5$，将$x=5$代入解析式：
$y=-\frac{1}{25}×5^2+16=-1+16=15$（米）
$x=-5$时计算结果相同，故该位置桥的高度为15米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{25}x^2+16$；(2) 15米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，核心是通过合理建立坐标系转化为二次函数问题，利用待定系数法求解析式后代入求值即可，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：按照题目要求，以AB中点M为原点，AB所在直线为x轴，过M垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，可得A(-20,0)、B(20,0)、顶点C(0,16)。由于抛物线顶点在y轴上，可设不含一次项的二次函数解析式，代入已知点坐标即可求出解析式。第(2)问：离中心M5米对应横坐标为±5，将x=±5代入已求的解析式，得到的y值就是对应位置桥的高度。
【解析】
(1) 按题意建立平面直角坐标系：以M为原点，AB所在直线为x轴，过M作AB的垂线为y轴。
由跨度AB=40米，得A(-20,0)，B(20,0)；桥最大高度16米，得顶点C(0,16)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+c$，将C(0,16)代入得$c=16$；
再将B(20,0)代入$y=ax^2+16$，得：
$0=a×20^2+16$
$400a=-16$
解得$a=-\frac{1}{25}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2+16$（$-20≤ x≤20$）。
(2) 离中心M处5米的点横坐标为$x=5$或$x=-5$，将$x=5$代入解析式：
$y=-\frac{1}{25}×5^2+16=-1+16=15$（米）
$x=-5$时计算结果相同，故该位置桥的高度为15米。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{25}x^2+16$；(2) 15米
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，核心是通过合理建立坐标系转化为二次函数问题，利用待定系数法求解析式后代入求值即可，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
