4. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB:$y=-x+b$分别与x轴、y轴交于$A(3,0),B$两点.
(1)点B的坐标为.
(2)点D为线段OB上的动点(点D不与点O重合),以AD为边,在第一象限内作正方形ADEF.
①设点D的坐标为$(0,m)$,点F的坐标为(用含m的代数式表示).
②连接EB并延长,交x轴于点G.当D点运动时,G点的位置是否发生变化?如果不变,请求出G点的坐标;如果变化,请说明理由.

(1)$(0,3)$ 解析:把 $A(3,0)$ 代入直线 $AB$ 的表达式 $y=-x+b$,得 $0=-3+b$,解得 $b=3$,
∴ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-x+3$.当 $x=0$ 时,$y=3$,
∴ 点 $B$ 的坐标是 $(0,3)$.
(2)①$(m+3,3)$ 解析:如图①,过 $F$ 作 $FM⊥x$ 轴于 $M$,则 $∠AMF=∠AOD=90°$.
∵ 四边形 $ADEF$ 是正方形,
∴ $AD=AF$, $∠DAF=90°$,
∴ $∠DAO+∠FAM=90°$.又
∵ $∠AFM+∠FAM=90°$,
∴ $∠DAO=∠AFM$,
∴ $△DOA≌△AMF$( AAS ),
∴ $FM=OA=3$,$AM=OD=m$,
∴ $OM=m+3$,
∴ $F(m+3,3)$.
②$G$ 点位置不变,坐标为 $G(-3,0)$.理由如下:如图②,过 $E$ 作 $EH⊥y$ 轴于 $H$,则 $∠EHD=∠DOA=90°$.
∵ 四边形 $ADEF$ 是正方形,
∴ $AD=DE$,$∠ADE=90°$,
∴ $∠ADO+∠HDE=90°$.又
∵ $∠ADO+∠DAO=90°$,
∴ $∠HDE=∠OAD$,
∴ $△HDE≌△OAD$( AAS ),
∴ $HE=OD$,$OA=DH$.
∵ $OA=OB=3$,
∴ $DH=OB$,
∴ $DH-BD=BO-BD$,即 $BH=OD$.又 $HE=OD$,
∴ $BH=HE$,
∴ $△BHE$ 是等腰直角三角形,
∴ $∠HBE=45°$,
∴ $∠OBG=45°$,
∴ $△BOG$ 为等腰直角三角形,
∴ $OG=OB=3$,
∴ $G(-3,0)$.

5. 问题背景:点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,∠EAF=45°,试判断 BE,EF,DF 之间的数量关系.

小云同学的思路是过点 A 作 AG ⊥ AE,交 CD 的延长线于点 G,如图①.通过这种证明方法,可发现上述线段 BE,EF,DF 的数量关系为(直接写出结果);
变式迁移:如图②,在菱形 ABCD 中,∠B=60°,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且 BE=1,DF=3,若∠EAF=60°,则 EF 的长为;
拓展应用:如图③,在△ABC 中,∠BAC=45°,AD ⊥ BC 于点 D,AD=12,CD=4,直接写出 BD 的长为.

问题背景:$EF=BE+DF$ 解析:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,$AG⊥AE$,
∴ $∠B=∠BAD=∠EAG=∠ADC=90°$,$AB=AD$,
∴ $∠BAE = ∠DAG$, $∠B = ∠ADG = 90°$,
∴ $△ABE ≌ △ADG$( ASA ),
∴ $AE=AG$,$BE=DG$.
∵ $∠EAG=90°$,$∠EAF=45°$,
∴ $∠EAF = ∠GAF = 45°$. 又
∵ $AF = AF$,
∴ $△EAF ≌ △GAF$(SAS ),
∴ $EF=GF$,
∴ $EF=GF=GD+DF=BE+DF$,即 $EF=BE+DF$.
变式迁移:$\sqrt{13}$ 解析:如图①,连接 $AC$,过点 $A$ 作 $AM⊥CD$ 于点 $M$.
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形,
∴ $AB=BC$,$∠B+∠BCD=180°$.
∵ $∠B = ∠EAF = 60°$,
∴ $△ABC$ 为等边三角形,
∴ $AB=AC$,$∠BAC = ∠ACB = 60°$,
∴ $∠BAE = 60°-∠EAC = ∠CAF$,$∠ACF=60°$,
∴ $△ABE≌△ACF$( ASA ),
∴ $BE=CF=1$,$AE=AF$,
∴ $AD=AC=CD=CF+DF=4$.
∵ $AM⊥CD$,
∴ $CM=\frac{1}{2}CD=2$. 在 $Rt△ACM$ 中, $AM = \sqrt{AC^2-CM^2}=2\sqrt{3}$,
∵ $CM=2$,$CF=1$,
∴ $MF=1$. 在 $Rt△AFM$ 中, $AF = \sqrt{AM^2+MF^2}=\sqrt{13}$.又
∵ $AE=AF$,$∠EAF=60°$,
∴ $△AEF$ 为等边三角形,
∴ $EF=AF=\sqrt{13}$.
拓展应用:$6$ 解析:如图②,以 $AB$ 为对称轴作 $△ABD$ 的轴对称图形 $△ABE$,以 $AC$ 为对称轴作 $△ACD$ 的轴对称图形 $△ACF$,延长 $EB$,$FC$ 交于点 $G$.
∵ $AD⊥BC$,
∴ 由轴对称的性质得 $∠E = ∠ADB = ∠F = ∠ADC = 90°$,$AE=AD=AF=12$, $∠EAB = ∠DAB$,$∠FAC = ∠DAC$,$BE = BD$,$CF = CD = 4$.
∵ $∠BAC=45°$,
∴ $∠EAF=90°$,
∴ 四边形 $AEGF$ 是正方形,
∴ $∠G=90°$.设 $BD=x$,则 $BE=x$,
∴ $BG=12-x$,$CG=12-4=8$.
在 $Rt△BGC$ 中,根据勾股定理,得 $(12-x)^2+8^2=(x+4)^2$,解得 $x=6$,
∴ $BD=6$.

6. 如图,菱形$ABCD$中,$∠ B=60°$,点$E,F$分别在$AB,AD$上,且$∠ ECF=60°$.
(1)求证:$△ ECF$为等边三角形;
(2)连接$AC$,若$AC$将四边形$AECF$的面积分为$1:2$两部分,当$AB=6$时,求$△ BEC$的面积.

(1)
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
∴ $BA = BC = AD = DC$.又
∵ $∠B=60°$,
∴ $△ABC$ 和 $△ADC$ 都是等边三角形,
∴ $∠CAD = ∠ACB = ∠ACD = 60°$.
∵ $∠ECF=60°$,$∠BCD=120°$,
∴ $∠BCE+∠DCF=60°$. 又
∵ $∠ACF+∠DCF=60°$,
∴ $∠BCE = ∠ACF$. 在 $△BCE$ 和 $△ACF$ 中, $∠BCE = ∠ACF$, $BC=AC$,$∠CBE=∠CAF$,
∴ $△BCE≌△ACF$( ASA ),
∴ $CE=CF$.
∵ $∠ECF=60°$,
∴ $△ECF$ 为等边三角形.
(2)由(1)可知 $△BCE≌△ACF$,
∴ $S_{△BEC}=S_{△AFC}$,
∴ $S_{\mathrm{四边形}AECF}=S_{△ABC}$. 如图, 过点 $A$ 作 $AH⊥BC$ 交 $BC$ 于点 $H$,在 $△ABH$ 中, $∠B = 60°$,$AB = 6$,
∴ $BH = 3$,
∴ $AH=3\sqrt{3}$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.当 $S_{△BEC}:S_{△CAE}=1:2$ 时, $S_{△BEC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}=3\sqrt{3}$;
当 $S_{△BEC}:S_{△CAE}=2:1$ 时,$S_{△BEC}=\frac{2}{3}S_{△ABC}=6\sqrt{3}$.综上所述, $△BEC$ 的面积为 $3\sqrt{3}$ 或 $6\sqrt{3}$.