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(1)2的算术平方根是，$\sqrt{49}$的算术平方根是.
答案
$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题的核心是熟练掌握算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是0。求解时注意：①直接根据定义求一个数的算术平方根即可；②若要求的是带根号的数的算术平方根，需要先将这个带根号的数化简为最简结果，再求化简后结果的算术平方根，避免直接错填根号内数的算术平方根。第一步求2的算术平方根，直接套用定义即可；第二步先算$\sqrt{49}$的结果，再对这个结果求算术平方根。
【解析】
1. 求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数2的正的平方根就是它的算术平方根，因此2的算术平方根是$\sqrt{2}$。
2. 求$\sqrt{49}$的算术平方根：
先化简$\sqrt{49}$，因为$7^2=49$，所以$\sqrt{49}=7$；
再求7的算术平方根，根据定义，7的算术平方根是$\sqrt{7}$，因此$\sqrt{49}$的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是求解第二个空时，容易忽略先化简$\sqrt{49}$，直接错填7。做题时要注意审题，明确所求的是哪个数的算术平方根，若所给数含有根号，先化简再计算。
【难度系数】
0.8
解题的核心是熟练掌握算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，0的算术平方根是0。求解时注意：①直接根据定义求一个数的算术平方根即可；②若要求的是带根号的数的算术平方根，需要先将这个带根号的数化简为最简结果，再求化简后结果的算术平方根，避免直接错填根号内数的算术平方根。第一步求2的算术平方根，直接套用定义即可；第二步先算$\sqrt{49}$的结果，再对这个结果求算术平方根。
【解析】
1. 求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，正数2的正的平方根就是它的算术平方根，因此2的算术平方根是$\sqrt{2}$。
2. 求$\sqrt{49}$的算术平方根：
先化简$\sqrt{49}$，因为$7^2=49$，所以$\sqrt{49}=7$；
再求7的算术平方根，根据定义，7的算术平方根是$\sqrt{7}$，因此$\sqrt{49}$的算术平方根是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是求解第二个空时，容易忽略先化简$\sqrt{49}$，直接错填7。做题时要注意审题，明确所求的是哪个数的算术平方根，若所给数含有根号，先化简再计算。
【难度系数】
0.8
（2）请你观察下列计算过程：
因为 $11^2 = 121$，所以 $\sqrt{121} = 11$。
同样因为 $111^2 = 12321$，所以 $\sqrt{12321} = 111$。
因为 $1111^2 = 1234321$，所以 $\sqrt{1234321} = 1111$。
……
由此猜想 $\sqrt{12345678987654321} = \_\_\_\_\_\_$。
因为 $11^2 = 121$，所以 $\sqrt{121} = 11$。
同样因为 $111^2 = 12321$，所以 $\sqrt{12321} = 111$。
因为 $1111^2 = 1234321$，所以 $\sqrt{1234321} = 1111$。
……
由此猜想 $\sqrt{12345678987654321} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
观察已知规律：
被开方数121的最大数字是2，算术平方根是由2个1组成的11；
被开方数12321的最大数字是3，算术平方根是由3个1组成的111；
被开方数1234321的最大数字是4，算术平方根是由4个1组成的1111；
由此可得，被开方数12345678987654321的最大数字是9，
因为$111111111^2 = 12345678987654321$，
所以$\sqrt{12345678987654321}=111111111$。
观察已知规律：
被开方数121的最大数字是2，算术平方根是由2个1组成的11；
被开方数12321的最大数字是3，算术平方根是由3个1组成的111；
被开方数1234321的最大数字是4，算术平方根是由4个1组成的1111；
由此可得，被开方数12345678987654321的最大数字是9，
因为$111111111^2 = 12345678987654321$，
所以$\sqrt{12345678987654321}=111111111$。
解析
【分析】
这是一道结合算术平方根的规律探究题，解题时先从给出的已知例子入手，分别观察每一组中被开方数的特征和对应的算术平方根的特征：首先看被开方数都是从1开始递增到某个数，再递减回到1的对称数；再看对应的算术平方根，都是由若干个1组成的数，且1的个数和被开方数里最大的数字相等。找到这个规律后，只需要确定所求的被开方数12345678987654321里最大的数字，就能写出对应的算术平方根了。
【解析】
先观察已知的运算规律：
① 被开方数121的最大数字是2，对应的算术平方根是由2个1组成的11，即$11^2=121$，$\sqrt{121}=11$；
② 被开方数12321的最大数字是3，对应的算术平方根是由3个1组成的111，即$111^2=12321$，$\sqrt{12321}=111$；
③ 被开方数1234321的最大数字是4，对应的算术平方根是由4个1组成的1111，即$1111^2=1234321$，$\sqrt{1234321}=1111$；
由此可总结规律：当被开方数为从1递增到n再递减到1的对称正整数时，它的算术平方根是由n个1组成的正整数。
所求的被开方数是12345678987654321，其中最大的数字是9，符合上述规律中n=9的情况，因此它的算术平方根是由9个1组成的数111111111。
【答案】
111111111
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的几组运算，归纳出被开方数和算术平方根之间的对应规律，再迁移规律求解问题，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
这是一道结合算术平方根的规律探究题，解题时先从给出的已知例子入手，分别观察每一组中被开方数的特征和对应的算术平方根的特征：首先看被开方数都是从1开始递增到某个数，再递减回到1的对称数；再看对应的算术平方根，都是由若干个1组成的数，且1的个数和被开方数里最大的数字相等。找到这个规律后，只需要确定所求的被开方数12345678987654321里最大的数字，就能写出对应的算术平方根了。
【解析】
先观察已知的运算规律：
① 被开方数121的最大数字是2，对应的算术平方根是由2个1组成的11，即$11^2=121$，$\sqrt{121}=11$；
② 被开方数12321的最大数字是3，对应的算术平方根是由3个1组成的111，即$111^2=12321$，$\sqrt{12321}=111$；
③ 被开方数1234321的最大数字是4，对应的算术平方根是由4个1组成的1111，即$1111^2=1234321$，$\sqrt{1234321}=1111$；
由此可总结规律：当被开方数为从1递增到n再递减到1的对称正整数时，它的算术平方根是由n个1组成的正整数。
所求的被开方数是12345678987654321，其中最大的数字是9，符合上述规律中n=9的情况，因此它的算术平方根是由9个1组成的数111111111。
【答案】
111111111
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的几组运算，归纳出被开方数和算术平方根之间的对应规律，再迁移规律求解问题，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；
(2) 2.25；
(3) $\frac{49}{64}$；
(4) $1\frac{9}{16}$。
(1) 900；
(2) 2.25；
(3) $\frac{49}{64}$；
(4) $1\frac{9}{16}$。
答案
解：
(1) ∵ $30^2 = 900$，
∴ 900的算术平方根是30，即$\sqrt{900}=30$。
(2) ∵ $1.5^2 = 2.25$，
∴ 2.25的算术平方根是1.5，即$\sqrt{2.25}=1.5$。
(3) ∵ $(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，
∴ $\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$，即$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，
∵ $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，
∴ $1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$，即$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$。
(1) ∵ $30^2 = 900$，
∴ 900的算术平方根是30，即$\sqrt{900}=30$。
(2) ∵ $1.5^2 = 2.25$，
∴ 2.25的算术平方根是1.5，即$\sqrt{2.25}=1.5$。
(3) ∵ $(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，
∴ $\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$，即$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，
∵ $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，
∴ $1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$，即$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
解题前首先明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个正数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时按照数的类型分类处理：1. 整数和小数直接找到平方后等于该数的正数即可；2. 真分数分别对分子、分母求算术平方根再作商；3. 带分数必须先转化为假分数，再按照分数求算术平方根的方法计算，不能直接拆分带分数的整数部分和分数部分分别计算。
【解析】
解：
(1)
∵ $30^2 = 900$，
∴ 900的算术平方根是30，即$\sqrt{900}=30$。
(2)
∵ $1.5^2 = 2.25$，
∴ 2.25的算术平方根是1.5，即$\sqrt{2.25}=1.5$。
(3)
∵ $(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，
∴ $\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$，即$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，
∵ $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，
∴ $1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$，即$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{1.5}$；(3) $\boldsymbol{\frac{7}{8}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{5}{4}}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 有理数乘方运算
3. 带分数化假分数
【点评】
这道题是算术平方根的基础计算题，核心考查对算术平方根非负性的理解，解题时尤其要注意带分数的处理，必须先转化为假分数再计算，避免出现拆分计算的错误，掌握定义和基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题前首先明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个正数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时按照数的类型分类处理：1. 整数和小数直接找到平方后等于该数的正数即可；2. 真分数分别对分子、分母求算术平方根再作商；3. 带分数必须先转化为假分数，再按照分数求算术平方根的方法计算，不能直接拆分带分数的整数部分和分数部分分别计算。
【解析】
解：
(1)
∵ $30^2 = 900$，
∴ 900的算术平方根是30，即$\sqrt{900}=30$。
(2)
∵ $1.5^2 = 2.25$，
∴ 2.25的算术平方根是1.5，即$\sqrt{2.25}=1.5$。
(3)
∵ $(\frac{7}{8})^2 = \frac{49}{64}$，
∴ $\frac{49}{64}$的算术平方根是$\frac{7}{8}$，即$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$，
∵ $(\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$，
∴ $1\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{5}{4}$，即$\sqrt{1\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{1.5}$；(3) $\boldsymbol{\frac{7}{8}}$；(4) $\boldsymbol{\frac{5}{4}}$
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 有理数乘方运算
3. 带分数化假分数
【点评】
这道题是算术平方根的基础计算题，核心考查对算术平方根非负性的理解，解题时尤其要注意带分数的处理，必须先转化为假分数再计算，避免出现拆分计算的错误，掌握定义和基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
4. 在算术平方根的学习中，我们做过以下思考：
(1) ① $(\sqrt{9})^2 =$ ；② $(\sqrt{\frac{1}{4}})^2 =$ ；③ $(\sqrt{0.01})^2 =$ ；
④ $(\sqrt{2})^2 =$ ；⑤ $(\sqrt{3})^2 =$ ；⑥ $(\sqrt{5})^2 =$ .
(2) 你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？
(1) ① $(\sqrt{9})^2 =$ ；② $(\sqrt{\frac{1}{4}})^2 =$ ；③ $(\sqrt{0.01})^2 =$ ；
④ $(\sqrt{2})^2 =$ ；⑤ $(\sqrt{3})^2 =$ ；⑥ $(\sqrt{5})^2 =$ .
(2) 你有什么发现？你能根据算术平方根的定义等知识，说明你发现的理由吗？你能用符号语言描述你的发现吗？
答案
解：
(1) ① $9$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.01$；④ $2$；⑤ $3$；⑥ $5$。
(2) 发现：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$，将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到对应的结论。
符号语言：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
(1) ① $9$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.01$；④ $2$；⑤ $3$；⑥ $5$。
(2) 发现：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$，将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到对应的结论。
符号语言：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
解析
【分析】
解题时先处理第(1)小问：先根据算术平方根的定义求出每个根号表示的数，再计算平方即可得到结果。再处理第(2)小问：先对比第(1)问的运算结果和原式中的被开方数，总结共性规律，再结合算术平方根的定义推导规律的合理性，最后用字母符号抽象出通用结论，注意要标注被开方数的取值范围，因为负数没有算术平方根。
【解析】
(1) ① 因为9的算术平方根是3，即$\sqrt{9}=3$，所以$(\sqrt{9})^2=3^2=9$；
② 因为$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，所以$(\sqrt{\frac{1}{4}})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
③ 因为0.01的算术平方根是0.1，即$\sqrt{0.01}=0.1$，所以$(\sqrt{0.01})^2=0.1^2=0.01$；
④ 因为$\sqrt{2}$是2的算术平方根，根据算术平方根的定义可得$(\sqrt{2})^2=2$；
⑤ 同理可得，$(\sqrt{3})^2=3$；
⑥ 同理可得，$(\sqrt{5})^2=5$。
(2) 观察上述运算结果可发现规律：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由说明：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$（$a≥0$），那么非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$。将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到$(\sqrt{a})^2=a$。
符号语言描述：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
【答案】
(1) ① $9$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.01$；④ $2$；⑤ $3$；⑥ $5$。
(2) 发现：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$，将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到对应的结论。
符号语言：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；归纳推理
【点评】
本题以算术平方根的基础运算为切入点，引导学生通过具体实例自主探究数学性质，既考查了基础运算能力，又强化了对算术平方根概念的理解，同时渗透了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.9
解题时先处理第(1)小问：先根据算术平方根的定义求出每个根号表示的数，再计算平方即可得到结果。再处理第(2)小问：先对比第(1)问的运算结果和原式中的被开方数，总结共性规律，再结合算术平方根的定义推导规律的合理性，最后用字母符号抽象出通用结论，注意要标注被开方数的取值范围，因为负数没有算术平方根。
【解析】
(1) ① 因为9的算术平方根是3，即$\sqrt{9}=3$，所以$(\sqrt{9})^2=3^2=9$；
② 因为$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，所以$(\sqrt{\frac{1}{4}})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
③ 因为0.01的算术平方根是0.1，即$\sqrt{0.01}=0.1$，所以$(\sqrt{0.01})^2=0.1^2=0.01$；
④ 因为$\sqrt{2}$是2的算术平方根，根据算术平方根的定义可得$(\sqrt{2})^2=2$；
⑤ 同理可得，$(\sqrt{3})^2=3$；
⑥ 同理可得，$(\sqrt{5})^2=5$。
(2) 观察上述运算结果可发现规律：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由说明：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$（$a≥0$），那么非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$。将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到$(\sqrt{a})^2=a$。
符号语言描述：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
【答案】
(1) ① $9$；② $\frac{1}{4}$；③ $0.01$；④ $2$；⑤ $3$；⑥ $5$。
(2) 发现：非负数的算术平方根的平方等于这个数本身。
理由：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，记作$x=\sqrt{a}$，将$x=\sqrt{a}$代入$x^2=a$，即可得到对应的结论。
符号语言：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质；归纳推理
【点评】
本题以算术平方根的基础运算为切入点，引导学生通过具体实例自主探究数学性质，既考查了基础运算能力，又强化了对算术平方根概念的理解，同时渗透了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.9
