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8.某工厂要加工一批上下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1.
(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的表面积.(结果保留根号)
(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是
(正)六棱柱
；(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图1中的数据，计算这个密封纸盒的表面积.(结果保留根号)
答案
8.解:(1)(正)六棱柱
(2)由(1)可以得到六棱柱的表面展开图如图.(答案不唯一)
(3)由图中数据可知六棱柱的高为 12 cm，底面边长为 5 cm，
∴六棱柱的侧面积为 $6×5×12=360(\mathrm{cm}^2)$。
又
∵密封纸盒的底面面积为 $2×6×\frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$，
∴密封纸盒的表面积为 $(75\sqrt{3}+360)\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：判断几何体形状时，结合三视图特征分析：主视图、左视图为矩形说明几何体是柱体，俯视图为正六边形说明底面是正六边形，因此可确定为正六棱柱。
2. 第(2)问：正六棱柱的表面由6个全等的矩形侧面、2个全等的正六边形底面组成，观察图2现有3个矩形和2个正六边形，只需补全剩余3个和现有矩形全等的长方形即可。
3. 第(3)问：密封纸盒表面积=侧面积+2个底面积。先从三视图提取数据：六棱柱的高为12cm，底面正六边形边长为5cm。侧面积是6个长12cm、宽5cm的矩形面积之和；底面积计算时，可将正六边形拆分为6个边长为5cm的等边三角形，先算单个等边三角形面积，再推导两个正六边形的总面积，最后相加得总表面积。
【解析】
(1) 该几何体的主视图和左视图均为矩形，说明是柱体，俯视图为正六边形，因此底面为正六边形，故该密封纸盒的形状是正六棱柱。
(2) 正六棱柱侧面有6个全等的矩形，上下底面为两个全等的正六边形，补全后的展开图如下：
(3) 由三视图数据可知：正六棱柱的高为12cm，底面正六边形的边长为5cm。
① 计算侧面积：每个侧面是长12cm、宽5cm的矩形，侧面积为$6×5×12=360(\mathrm{cm}^2)$。
② 计算上下底面积：正六边形可分割为6个边长为5cm的等边三角形，等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，单个等边三角形面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\mathrm{cm}^2$，则两个底面的总面积为$2×6×\frac{25\sqrt{3}}{4}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
③ 总表面积=侧面积+上下底面积=$360+75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)(正)六棱柱
(2)
(3)$(75\sqrt{3}+360)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判几何体，立体图形展开图，棱柱表面积计算
【点评】
本题综合考查了三视图识别、展开图绘制和几何体表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，解题关键是正确提取三视图中的数据，掌握正六边形拆分计算面积的方法，注意不要漏算上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：判断几何体形状时，结合三视图特征分析：主视图、左视图为矩形说明几何体是柱体，俯视图为正六边形说明底面是正六边形，因此可确定为正六棱柱。
2. 第(2)问：正六棱柱的表面由6个全等的矩形侧面、2个全等的正六边形底面组成，观察图2现有3个矩形和2个正六边形，只需补全剩余3个和现有矩形全等的长方形即可。
3. 第(3)问：密封纸盒表面积=侧面积+2个底面积。先从三视图提取数据：六棱柱的高为12cm，底面正六边形边长为5cm。侧面积是6个长12cm、宽5cm的矩形面积之和；底面积计算时，可将正六边形拆分为6个边长为5cm的等边三角形，先算单个等边三角形面积，再推导两个正六边形的总面积，最后相加得总表面积。
【解析】
(1) 该几何体的主视图和左视图均为矩形，说明是柱体，俯视图为正六边形，因此底面为正六边形，故该密封纸盒的形状是正六棱柱。
(2) 正六棱柱侧面有6个全等的矩形，上下底面为两个全等的正六边形，补全后的展开图如下：
(3) 由三视图数据可知：正六棱柱的高为12cm，底面正六边形的边长为5cm。
① 计算侧面积：每个侧面是长12cm、宽5cm的矩形，侧面积为$6×5×12=360(\mathrm{cm}^2)$。
② 计算上下底面积：正六边形可分割为6个边长为5cm的等边三角形，等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×5=\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，单个等边三角形面积为$\frac{1}{2}×5×\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\mathrm{cm}^2$，则两个底面的总面积为$2×6×\frac{25\sqrt{3}}{4}=75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
③ 总表面积=侧面积+上下底面积=$360+75\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1)(正)六棱柱
(2)
(3)$(75\sqrt{3}+360)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判几何体，立体图形展开图，棱柱表面积计算
【点评】
本题综合考查了三视图识别、展开图绘制和几何体表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，解题关键是正确提取三视图中的数据，掌握正六边形拆分计算面积的方法，注意不要漏算上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
9.一个几何体的表面展开图如图1所示.
(1)这个几何体的名称是
(2)图2是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图,请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积为
(1)这个几何体的名称是
三棱柱
；(2)图2是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图,请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)请用含a、b、c、h的代数式表示这个几何体的表面积为
ab+(a+b+c)h
.答案
9.解:(1)三棱柱
(2)画出左视图,如图所示.
(3)由图可知,几何体的表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积,即表面积为 $\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+ah+bh+ch=ab+(a+b+c)h$。
故答案为 $ab+(a+b+c)h$。
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：回忆常见几何体的展开图特征，观察题干展开图，可见其包含2个全等的直角三角形和3个矩形，两个三角形为几何体的底面，三个矩形为侧面，符合三棱柱的展开图特点，即可判断几何体名称。
2. 第(2)问解题思路：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，主视图的高度对应几何体的高h，俯视图中三角形的竖直直角边长为a，因此左视图是长为h、宽为a的矩形，按照对应尺寸在网格中绘制即可。
3. 第(3)问解题思路：三棱柱的表面积等于2个底面三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，分别计算各部分面积再相加化简即可得到结果。
【解析】
(1) 观察展开图可知，该几何体有2个互相平行且全等的直角三角形底面，3个矩形侧面，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 依据三视图的对应规则：主视图和左视图高平齐，俯视图和左视图宽相等，可知左视图是长为h、宽为a的矩形，绘制结果如下：
(3) 计算表面积：
两个底面直角三角形的面积和：$2× \frac{1}{2}ab = ab$
三个侧面矩形的面积和：$ah + bh + ch = (a+b+c)h$
因此总表面积为$ab + (a+b+c)h$。
【答案】
(1) 三棱柱
(2) 画出左视图,如图所示.
(3) $ab+(a+b+c)h$
【知识点】
几何体展开图识别，三视图绘制，几何体表面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的相关性质展开考查，难度适中，需要学生熟悉几何体的结构特征，掌握三视图的绘制规则，计算表面积时注意不要遗漏底面。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问解题思路：回忆常见几何体的展开图特征，观察题干展开图，可见其包含2个全等的直角三角形和3个矩形，两个三角形为几何体的底面，三个矩形为侧面，符合三棱柱的展开图特点，即可判断几何体名称。
2. 第(2)问解题思路：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，主视图的高度对应几何体的高h，俯视图中三角形的竖直直角边长为a，因此左视图是长为h、宽为a的矩形，按照对应尺寸在网格中绘制即可。
3. 第(3)问解题思路：三棱柱的表面积等于2个底面三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，分别计算各部分面积再相加化简即可得到结果。
【解析】
(1) 观察展开图可知，该几何体有2个互相平行且全等的直角三角形底面，3个矩形侧面，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 依据三视图的对应规则：主视图和左视图高平齐，俯视图和左视图宽相等，可知左视图是长为h、宽为a的矩形，绘制结果如下：
(3) 计算表面积：
两个底面直角三角形的面积和：$2× \frac{1}{2}ab = ab$
三个侧面矩形的面积和：$ah + bh + ch = (a+b+c)h$
因此总表面积为$ab + (a+b+c)h$。
【答案】
(1) 三棱柱
(2) 画出左视图,如图所示.
(3) $ab+(a+b+c)h$
【知识点】
几何体展开图识别，三视图绘制，几何体表面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的相关性质展开考查，难度适中，需要学生熟悉几何体的结构特征，掌握三视图的绘制规则，计算表面积时注意不要遗漏底面。
【难度系数】
0.7
10 如图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形,请回答下列问题(π取3):
(1)以每秒1毫升的速度,往容器内注水,水面到离台面10 cm的地方为止,需要多少秒?
(2)求这个立体图形的体积;
(3)求这个立体图形的表面积.
(1)以每秒1毫升的速度,往容器内注水,水面到离台面10 cm的地方为止,需要多少秒?
(2)求这个立体图形的体积;
(3)求这个立体图形的表面积.
答案
10.解:(1)$3×2×2×(10-5)=60(\mathrm{cm}^3)$，
$60\ \mathrm{cm}^3=60\ \mathrm{mL},60÷1=60(\mathrm{s})$，
答:需要 60 s。
(2)$8×8×(10+5)=960(\mathrm{cm}^3)$，
$3×2^2×10=120(\mathrm{cm}^3),960-120=840(\mathrm{cm}^3)$。
答:这个立体图形的体积是 $840\ \mathrm{cm}^3$。
(3)底面积:$8×8×2=128(\mathrm{cm}^2)$，
外侧面的面积:$8×(10+5)×4=480(\mathrm{cm}^2)$，
内侧面的面积:$2×2×3×10=120(\mathrm{cm}^2)$，
表面积:$128+480+120=728(\mathrm{cm}^2)$，
答:这个立体图形的表面积是 $728\ \mathrm{cm}^2$。
$60\ \mathrm{cm}^3=60\ \mathrm{mL},60÷1=60(\mathrm{s})$，
答:需要 60 s。
(2)$8×8×(10+5)=960(\mathrm{cm}^3)$，
$3×2^2×10=120(\mathrm{cm}^3),960-120=840(\mathrm{cm}^3)$。
答:这个立体图形的体积是 $840\ \mathrm{cm}^3$。
(3)底面积:$8×8×2=128(\mathrm{cm}^2)$，
外侧面的面积:$8×(10+5)×4=480(\mathrm{cm}^2)$，
内侧面的面积:$2×2×3×10=120(\mathrm{cm}^2)$，
表面积:$128+480+120=728(\mathrm{cm}^2)$，
答:这个立体图形的表面积是 $728\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先根据正上面和正侧面视图判断立体图形结构：外部是底面为边长8cm的正方形、总高15cm（10cm+5cm）的长方体，内部挖去了一个底面半径2cm、高10cm的圆柱形空心部分。
(1) 注水到离台面10cm处，注水区域为空心圆柱内高5cm（10cm-5cm）的部分，先计算该部分容积，再结合注水速度求时间，注意单位换算1cm³=1mL。
(2) 立体图形体积用整体减空白的思路计算，即长方体体积减去挖去的圆柱体积。
(3) 表面积包含三部分：上下两个正方形底面积、长方体外侧四个侧面面积、空心圆柱内部侧面积，挖去圆柱后上表面减少的圆面积和空心底部多出的圆面积抵消，无需额外增减。
【解析】
(1) 注水部分是底面半径2cm、高为$10-5=5\mathrm{cm}$的圆柱，体积为：
$V_{注}=π r^2h=3×2^2×5=60(\mathrm{cm}^3)$
单位换算得$60\ \mathrm{cm}^3=60\ \mathrm{mL}$，所需时间：$60÷1=60(\mathrm{s})$
(2) 长方体总高为$10+5=15\mathrm{cm}$，体积为：
$V_{长}=8×8×15=960(\mathrm{cm}^3)$
挖去的圆柱体积：$V_{柱}=π r^2h=3×2^2×10=120(\mathrm{cm}^3)$
立体图形体积：$V=960-120=840(\mathrm{cm}^3)$
(3) 上下底面积：$S_{底}=8×8×2=128(\mathrm{cm}^2)$
外侧四个侧面面积：$S_{外}=8×15×4=480(\mathrm{cm}^2)$
内部圆柱侧面积：$S_{内}=2π rh=2×3×2×10=120(\mathrm{cm}^2)$
总表面积：$S_{表}=128+480+120=728(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 需要60s；
(2) 立体图形的体积是$840\ \mathrm{cm}^3$；
(3) 立体图形的表面积是$728\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
1. 长方体与圆柱体积计算
2. 几何体表面积计算
3. 三视图识别
【点评】
本题关键是通过视图还原几何体结构，体积计算用“整体减空白”的思路即可，表面积计算时要注意不要遗漏内部圆柱的侧面积，理清结构后结合对应公式计算即可。
【难度系数】
0.6
首先根据正上面和正侧面视图判断立体图形结构：外部是底面为边长8cm的正方形、总高15cm（10cm+5cm）的长方体，内部挖去了一个底面半径2cm、高10cm的圆柱形空心部分。
(1) 注水到离台面10cm处，注水区域为空心圆柱内高5cm（10cm-5cm）的部分，先计算该部分容积，再结合注水速度求时间，注意单位换算1cm³=1mL。
(2) 立体图形体积用整体减空白的思路计算，即长方体体积减去挖去的圆柱体积。
(3) 表面积包含三部分：上下两个正方形底面积、长方体外侧四个侧面面积、空心圆柱内部侧面积，挖去圆柱后上表面减少的圆面积和空心底部多出的圆面积抵消，无需额外增减。
【解析】
(1) 注水部分是底面半径2cm、高为$10-5=5\mathrm{cm}$的圆柱，体积为：
$V_{注}=π r^2h=3×2^2×5=60(\mathrm{cm}^3)$
单位换算得$60\ \mathrm{cm}^3=60\ \mathrm{mL}$，所需时间：$60÷1=60(\mathrm{s})$
(2) 长方体总高为$10+5=15\mathrm{cm}$，体积为：
$V_{长}=8×8×15=960(\mathrm{cm}^3)$
挖去的圆柱体积：$V_{柱}=π r^2h=3×2^2×10=120(\mathrm{cm}^3)$
立体图形体积：$V=960-120=840(\mathrm{cm}^3)$
(3) 上下底面积：$S_{底}=8×8×2=128(\mathrm{cm}^2)$
外侧四个侧面面积：$S_{外}=8×15×4=480(\mathrm{cm}^2)$
内部圆柱侧面积：$S_{内}=2π rh=2×3×2×10=120(\mathrm{cm}^2)$
总表面积：$S_{表}=128+480+120=728(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 需要60s；
(2) 立体图形的体积是$840\ \mathrm{cm}^3$；
(3) 立体图形的表面积是$728\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
1. 长方体与圆柱体积计算
2. 几何体表面积计算
3. 三视图识别
【点评】
本题关键是通过视图还原几何体结构，体积计算用“整体减空白”的思路即可，表面积计算时要注意不要遗漏内部圆柱的侧面积，理清结构后结合对应公式计算即可。
【难度系数】
0.6
