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II【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16 cm、6 cm、2 cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作:我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
单位:cm
【探究结论】
(1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填入下表：
| | 长(cm) | 宽(cm) | 高(cm) | 表面积(cm²) |
|----------|--------|--------|--------|-------------|
| 图1 | 16 | 6 |
| 图2 |
| 图3 | 16 |
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是
【解决问题】
(2)现在有4个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高分别是5 cm、4 cm、3 cm，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为
【实践应用】
(3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张。请你帮商家计算打包用的包装纸的面积最小是多少？（接头处忽略不计）
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是16 cm、6 cm、2 cm，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作:我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
单位:cm
【探究结论】
(1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填入下表：
| | 长(cm) | 宽(cm) | 高(cm) | 表面积(cm²) |
|----------|--------|--------|--------|-------------|
| 图1 | 16 | 6 |
4
| 368
|| 图2 |
32
| 6 | 2 | 536
|| 图3 | 16 |
12
| 2 | 496
|完成上表，根据上表可知，表面积最小的是
图1
所示的长方体。（填“图1”“图2”或“图3”）【解决问题】
(2)现在有4个小长方体纸盒，每个纸盒的长、宽、高分别是5 cm、4 cm、3 cm，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为
236
cm²。【实践应用】
(3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张。请你帮商家计算打包用的包装纸的面积最小是多少？（接头处忽略不计）
答案
11.解:(1)图 1 中,长方体的高为 4 cm,表面积为 $2×(16×6+16×4+4×6)=368(\mathrm{cm}^2)$。
图 2 中,长方体的长为 32 cm,表面积为 $2×(32×6+32×2+6×2)=536(\mathrm{cm}^2)$。
图 3 中,长方体的宽为 12 cm,表面积为 $2×(16×12+16×2+12×2)=496(\mathrm{cm}^2)$。
填表如下：
| | 长(cm) | 宽(cm) | 高(cm) | 表面积(cm²) |
|----------|--------|--------|--------|-------------|
| 图1 | 16 | 6 | 4 | 368 |
| 图2 | 32 | 6 | 2 | 536 |
| 图3 | 16 | 12 | 2 | 496 |
∴图 1 的表面积最小.故答案为图 1。
(2)$2×(5×6+5×8+6×8)=236(\mathrm{cm}^2)$.故答案为 236。
(3)根据三视图可知有 4 个长方体礼盒.每个长方体礼盒的长、宽、高分别为 75 cm、35 cm、15 cm。
要使包装的纸最少,应该把每个长方体最大的面重合在一起,即把 $75×35$ 的面重合在一起,这样包装后的长方体长为 75 cm,宽为 35 cm,高为 $15×4=60(\mathrm{cm})$，
打包用的包装纸最少要用 $(75×35+75×60+60×35)×2=18450(\mathrm{cm}^2)$。
答:打包用的包装纸的面积最小为 $18450\ \mathrm{cm}^2$。
图 2 中,长方体的长为 32 cm,表面积为 $2×(32×6+32×2+6×2)=536(\mathrm{cm}^2)$。
图 3 中,长方体的宽为 12 cm,表面积为 $2×(16×12+16×2+12×2)=496(\mathrm{cm}^2)$。
填表如下：
| | 长(cm) | 宽(cm) | 高(cm) | 表面积(cm²) |
|----------|--------|--------|--------|-------------|
| 图1 | 16 | 6 | 4 | 368 |
| 图2 | 32 | 6 | 2 | 536 |
| 图3 | 16 | 12 | 2 | 496 |
∴图 1 的表面积最小.故答案为图 1。
(2)$2×(5×6+5×8+6×8)=236(\mathrm{cm}^2)$.故答案为 236。
(3)根据三视图可知有 4 个长方体礼盒.每个长方体礼盒的长、宽、高分别为 75 cm、35 cm、15 cm。
要使包装的纸最少,应该把每个长方体最大的面重合在一起,即把 $75×35$ 的面重合在一起,这样包装后的长方体长为 75 cm,宽为 35 cm,高为 $15×4=60(\mathrm{cm})$，
打包用的包装纸最少要用 $(75×35+75×60+60×35)×2=18450(\mathrm{cm}^2)$。
答:打包用的包装纸的面积最小为 $18450\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解决拼接长方体后表面积最小的问题，核心规律是：将几个长方体拼接成大长方体时，重合的面面积越大、重合的总面数越多，拼接后大长方体的总表面积就越小。(1)问中两个长方体拼接有3种方式，分别将不同面积的面重合，依次计算每种拼法的长宽高，再用长方体表面积公式计算比较即可；(2)问4个长方体拼接时，优先重合最大的面，同时尽量让大长方体的长宽高数值更接近，再计算表面积；(3)问先根据三视图确定小长方体的个数和各自的长宽高，再用重合最大面的思路计算最小包装面积。
【解析】
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$（$a、b、c$分别为长方体的长、宽、高）：
(1) 图1：将两个长方体$16×6$的面重合，高为$2×2=4\mathrm{cm}$，表面积$S_1=2×(16×6+16×4+4×6)=368\mathrm{cm}^2$；
图2：将两个长方体$6×2$的面重合，长为$16×2=32\mathrm{cm}$，表面积$S_2=2×(32×6+32×2+6×2)=536\mathrm{cm}^2$；
图3：将两个长方体$16×2$的面重合，宽为$6×2=12\mathrm{cm}$，表面积$S_3=2×(16×12+16×2+12×2)=496\mathrm{cm}^2$。
比较得$368＜496＜536$，故表面积最小的是图1的长方体。
(2) 4个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼接，优先重合面积最大的$5×4$的面，拼接后大长方体的长宽高为5cm、$3×2=6\mathrm{cm}$、$4×2=8\mathrm{cm}$，最小表面积$S=2×(5×6+5×8+6×8)=236\mathrm{cm}^2$。
(3) 由三视图可知共有4个长方体礼盒，每个礼盒的长宽高分别为75cm、35cm、15cm。要使包装纸面积最小，将最大的$75×35$的面重合，拼接后大长方体的长75cm、宽35cm、高$15×4=60\mathrm{cm}$，则包装纸最小面积$S=2×(75×35+75×60+35×60)=18450\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 表格依次填：4、368；32、536；12、496；图1
(2) 236
(3) $18450\mathrm{cm}^2$
【知识点】
长方体表面积计算；三视图还原几何体；立体拼接最值问题
【点评】
本题结合生活中的包装场景，考察长方体表面积的计算和拼接最值规律，解题关键是理解“重合面越大，总表面积越小”的核心逻辑，同时需要掌握三视图还原几何体的方法，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
解决拼接长方体后表面积最小的问题，核心规律是：将几个长方体拼接成大长方体时，重合的面面积越大、重合的总面数越多，拼接后大长方体的总表面积就越小。(1)问中两个长方体拼接有3种方式，分别将不同面积的面重合，依次计算每种拼法的长宽高，再用长方体表面积公式计算比较即可；(2)问4个长方体拼接时，优先重合最大的面，同时尽量让大长方体的长宽高数值更接近，再计算表面积；(3)问先根据三视图确定小长方体的个数和各自的长宽高，再用重合最大面的思路计算最小包装面积。
【解析】
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$（$a、b、c$分别为长方体的长、宽、高）：
(1) 图1：将两个长方体$16×6$的面重合，高为$2×2=4\mathrm{cm}$，表面积$S_1=2×(16×6+16×4+4×6)=368\mathrm{cm}^2$；
图2：将两个长方体$6×2$的面重合，长为$16×2=32\mathrm{cm}$，表面积$S_2=2×(32×6+32×2+6×2)=536\mathrm{cm}^2$；
图3：将两个长方体$16×2$的面重合，宽为$6×2=12\mathrm{cm}$，表面积$S_3=2×(16×12+16×2+12×2)=496\mathrm{cm}^2$。
比较得$368＜496＜536$，故表面积最小的是图1的长方体。
(2) 4个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼接，优先重合面积最大的$5×4$的面，拼接后大长方体的长宽高为5cm、$3×2=6\mathrm{cm}$、$4×2=8\mathrm{cm}$，最小表面积$S=2×(5×6+5×8+6×8)=236\mathrm{cm}^2$。
(3) 由三视图可知共有4个长方体礼盒，每个礼盒的长宽高分别为75cm、35cm、15cm。要使包装纸面积最小，将最大的$75×35$的面重合，拼接后大长方体的长75cm、宽35cm、高$15×4=60\mathrm{cm}$，则包装纸最小面积$S=2×(75×35+75×60+35×60)=18450\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 表格依次填：4、368；32、536；12、496；图1
(2) 236
(3) $18450\mathrm{cm}^2$
【知识点】
长方体表面积计算；三视图还原几何体；立体拼接最值问题
【点评】
本题结合生活中的包装场景，考察长方体表面积的计算和拼接最值规律，解题关键是理解“重合面越大，总表面积越小”的核心逻辑，同时需要掌握三视图还原几何体的方法，兼具知识性和实用性。
【难度系数】
0.7
