1. 如图①,已知在$△ ABC$中,$CE$是外角$∠ ACD$的平分线,$BE$是$∠ ABC$的平分线.
(1)求证:$∠ A=2∠ E$；
(2)若$∠ A=∠ ABC$,求证:$AB// CE$；
(3)如图②,在$△ ABC$中,$∠ A=θ$,$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$,得$∠ A_1$,$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$,$···$,$∠ A_{n-1}BC$和$∠ A_{n-1}CD$的平分线交于点$A_n$,求$∠ A_n$.

1.(1)证明：
∵ ∠ACD 是△ABC 的一个外角,∠2 是△BCE 的一个外角,
∴ ∠ACD = ∠ABC+∠A, ∠2 = ∠1+∠E,
∴ ∠A = ∠ACD-∠ABC, ∠E=∠2-∠1.
∵ CE 是外角∠ACD 的平分线,BE 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ACD = 2∠2, ∠ABC = 2∠1,
∴ ∠A = 2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠E.
(2)证明：由(1)可知∠A=2∠E,
∵ ∠A = ∠ABC, ∠ABC = 2∠ABE,
∴ 2∠E=2∠ABE,即∠E=∠ABE,
∴ AB//CE.
(3)解：由(1)可得∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A, ∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{2^2}$∠A,···,以此类推,∠Aₙ=$\frac{1}{2^n}$∠A=$\frac{1}{2^n}θ$.

2. 已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为 O，点 A 在射线 OQ 上运动，点 B 在射线 OM 上运动，点 A，B 均不与点 O 重合.
(1)如图①，AI 平分∠BAO 交 OB 于点 I，BC 平分∠ABM，BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点 D.在点 A，B 的运动过程中，∠ADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB 的度数；若变化，请说明理由.
(2)如图②，已知点 E 在 BA 的延长线上，∠BAO 的平分线 AI，∠OAE 的平分线 AF 与∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点 D，F.在△ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3 倍，请直接写出∠ABO 的度数.

2.(1)不变,∠ADB=45°.设∠BAO=α,
∵ AI 平分∠BAO 交 OB 于点 I,BC 平分∠ABM,
∴ ∠BAI = $\frac{1}{2}$∠BAO = $\frac{1}{2}$α, ∠MBA = ∠BOA+α,
∴ ∠CBA = $\frac{1}{2}$∠MBA = $\frac{1}{2}$(∠BOA+α),
∴ ∠ADB = ∠CBA-∠BAD = $\frac{1}{2}$(∠BOA+α) - $\frac{1}{2}$α = $\frac{1}{2}$∠BOA.
∵ ∠BOA=90°,
∴ ∠ADB 的度数不变,∠ADB=45°.
(2)∠ABO 的度数为 60°或 45°. 解析:
∵ ∠BAO 的平分线为 AI,∠OAE 的平分线为 AF,
∴ ∠DAF=90°.
∵ 一个角是另一个角的 3 倍,
∴ 分两种情况讨论:
①当∠DAF=3∠ADF 时,∠ADF=30°,
∵ OD 为∠BOP 的平分线,
∴ ∠DOA=135°,
∴ ∠OAI=15°,
∴ ∠OAB=30°,
∴ ∠ABO=90°-30°=60°.
②当∠AFD=3∠ADF 时,∠ADF=22.5°,
∵ OD 为∠BOP 的平分线,
∴ ∠DOA = 135°,
∴ ∠OAI = 22. 5°,
∴ ∠OAB = 45°,
∴ ∠OBA=90°-45°=45°.综上,∠ABO 等于 60°或 45°.