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【例1】把下列各数表示成各位上的数字与基数(10)的幂的乘积之和的形式：
(1)$32\ 567=$；
；
(2)$0.754\ 6=$；
。
【例2】把下列各数转换为二进制数(用除以2取余法)：
(1)$17$；
(2)$31$。
• 方法归纳 •
把十进制数转换为二进制数的方法
除以2取余法：将十进制数的整数部分除以2，余数作为二进制数的最低位，而商继续除以2，余数作为二进制数的次低位，这个步骤一直持续下去，直至商为0为止，即得到二进制数。
(1)$32\ 567=$；
；
(2)$0.754\ 6=$；
。
【例2】把下列各数转换为二进制数(用除以2取余法)：
(1)$17$；
(2)$31$。
• 方法归纳 •
把十进制数转换为二进制数的方法
除以2取余法：将十进制数的整数部分除以2，余数作为二进制数的最低位，而商继续除以2，余数作为二进制数的次低位，这个步骤一直持续下去，直至商为0为止，即得到二进制数。
答案
解：
例1
(1) $32567 = 3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$
(2) $0.7546 = 7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2
(1) 对17做除以2取余运算：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得$17=10001_{(2)}$
(2) 对31做除以2取余运算：
$31÷2=15······1$
$15÷2=7······1$
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得$31=11111_{(2)}$
例1
(1) $32567 = 3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$
(2) $0.7546 = 7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2
(1) 对17做除以2取余运算：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得$17=10001_{(2)}$
(2) 对31做除以2取余运算：
$31÷2=15······1$
$15÷2=7······1$
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得$31=11111_{(2)}$
解析
【分析】
1. 例1解题思路：十进制数的每一位数字对应不同的位权，整数部分从右往左，个位对应10⁰，十位对应10¹，位数每高一位，10的指数加1；小数部分从小数点后第一位开始，十分位对应10⁻¹，位数每往后一位，10的指数减1，将各位数字与对应位权相乘再相加即可得到展开式。
2. 例2解题思路：按照题目给出的除2取余法规则操作，每次用当前的数除以2，记录余数，再用商继续除以2，直到商为0为止，最后把所有余数从最后得到的余数往最开始得到的余数逆序排列，就是对应的二进制数，注意余数排列顺序不能颠倒。
【解析】
例1解答
(1) 32567中，3在万位（对应10⁴）、2在千位（对应10³）、5在百位（对应10²）、6在十位（对应10¹）、7在个位（对应10⁰），因此：
$32567 = 3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$
(2) 0.7546中，7在十分位（对应10⁻¹）、5在百分位（对应10⁻²）、4在千分位（对应10⁻³）、6在万分位（对应10⁻⁴），因此：
$0.7546 = 7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2解答
(1) 对17做除以2取余运算：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得17对应的二进制数。
(2) 对31做除以2取余运算：
$31÷2=15······1$
$15÷2=7······1$
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得31对应的二进制数。
【答案】
例1：(1) $3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$；(2) $7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2：(1) $10001_{(2)}$；(2) $11111_{(2)}$
【知识点】
十进制位权展开，除2取余法，十进制转二进制
【点评】
本题是进位制的基础练习题，既可以帮助理解十进制数的位权构成原理，也能熟练掌握十进制整数转二进制的基本操作，是后续学习其他进制转换的重要基础。
【难度系数】
0.8
1. 例1解题思路：十进制数的每一位数字对应不同的位权，整数部分从右往左，个位对应10⁰，十位对应10¹，位数每高一位，10的指数加1；小数部分从小数点后第一位开始，十分位对应10⁻¹，位数每往后一位，10的指数减1，将各位数字与对应位权相乘再相加即可得到展开式。
2. 例2解题思路：按照题目给出的除2取余法规则操作，每次用当前的数除以2，记录余数，再用商继续除以2，直到商为0为止，最后把所有余数从最后得到的余数往最开始得到的余数逆序排列，就是对应的二进制数，注意余数排列顺序不能颠倒。
【解析】
例1解答
(1) 32567中，3在万位（对应10⁴）、2在千位（对应10³）、5在百位（对应10²）、6在十位（对应10¹）、7在个位（对应10⁰），因此：
$32567 = 3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$
(2) 0.7546中，7在十分位（对应10⁻¹）、5在百分位（对应10⁻²）、4在千分位（对应10⁻³）、6在万分位（对应10⁻⁴），因此：
$0.7546 = 7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2解答
(1) 对17做除以2取余运算：
$17÷2=8······1$
$8÷2=4······0$
$4÷2=2······0$
$2÷2=1······0$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得17对应的二进制数。
(2) 对31做除以2取余运算：
$31÷2=15······1$
$15÷2=7······1$
$7÷2=3······1$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将所有余数从最后一个向前排列，得31对应的二进制数。
【答案】
例1：(1) $3×10^4 + 2×10^3 + 5×10^2 + 6×10^1 + 7×10^0$；(2) $7×10^{-1} + 5×10^{-2} + 4×10^{-3} + 6×10^{-4}$
例2：(1) $10001_{(2)}$；(2) $11111_{(2)}$
【知识点】
十进制位权展开，除2取余法，十进制转二进制
【点评】
本题是进位制的基础练习题，既可以帮助理解十进制数的位权构成原理，也能熟练掌握十进制整数转二进制的基本操作，是后续学习其他进制转换的重要基础。
【难度系数】
0.8
【例3】将下列各数转换为八进制数(用除以8取余法)：
(1)17； (2)31； (3)253.
(1)17； (2)31； (3)253.
答案
解：
(1) 对17使用除8取余法：
$17 ÷ 8 = 2$，余$1$
$2 ÷ 8 = 0$，余$2$
将所得余数从后往前排列，得17对应的八进制数为$21_{(8)}$。
(2) 对31使用除8取余法：
$31 ÷ 8 = 3$，余$7$
$3 ÷ 8 = 0$，余$3$
将所得余数从后往前排列，得31对应的八进制数为$37_{(8)}$。
(3) 对253使用除8取余法：
$253 ÷ 8 = 31$，余$5$
$31 ÷ 8 = 3$，余$7$
$3 ÷ 8 = 0$，余$3$
将所得余数从后往前排列，得253对应的八进制数为$375_{(8)}$。
(1) 对17使用除8取余法：
$17 ÷ 8 = 2$，余$1$
$2 ÷ 8 = 0$，余$2$
将所得余数从后往前排列，得17对应的八进制数为$21_{(8)}$。
(2) 对31使用除8取余法：
$31 ÷ 8 = 3$，余$7$
$3 ÷ 8 = 0$，余$3$
将所得余数从后往前排列，得31对应的八进制数为$37_{(8)}$。
(3) 对253使用除8取余法：
$253 ÷ 8 = 31$，余$5$
$31 ÷ 8 = 3$，余$7$
$3 ÷ 8 = 0$，余$3$
将所得余数从后往前排列，得253对应的八进制数为$375_{(8)}$。
解析
【分析】
本题考查十进制整数转换为八进制数的方法，解题核心是掌握除8取余法的操作规则：将待转换的十进制数反复除以8，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按从后往前的顺序排列，得到的结果就是对应的八进制数，三个小题均按该规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 对17使用除8取余法：
$17 ÷ 8 = 2$，余数为1
$2 ÷ 8 = 0$，余数为2
将所得余数从后往前排列，可得17对应的八进制数。
(2) 对31使用除8取余法：
$31 ÷ 8 = 3$，余数为7
$3 ÷ 8 = 0$，余数为3
将所得余数从后往前排列，可得31对应的八进制数。
(3) 对253使用除8取余法：
$253 ÷ 8 = 31$，余数为5
$31 ÷ 8 = 3$，余数为7
$3 ÷ 8 = 0$，余数为3
将所得余数从后往前排列，可得253对应的八进制数。
【答案】
(1)$21_{(8)}$；(2)$37_{(8)}$；(3)$375_{(8)}$
【知识点】
除8取余法；十进制转八进制；进位制转换
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，重点考查除8取余法的操作步骤，解题时需注意两点：一是除法计算时余数要计算准确，二是最终排列余数时要按从后往前的顺序，避免因顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.85
本题考查十进制整数转换为八进制数的方法，解题核心是掌握除8取余法的操作规则：将待转换的十进制数反复除以8，每次记录得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按从后往前的顺序排列，得到的结果就是对应的八进制数，三个小题均按该规则逐步计算即可。
【解析】
(1) 对17使用除8取余法：
$17 ÷ 8 = 2$，余数为1
$2 ÷ 8 = 0$，余数为2
将所得余数从后往前排列，可得17对应的八进制数。
(2) 对31使用除8取余法：
$31 ÷ 8 = 3$，余数为7
$3 ÷ 8 = 0$，余数为3
将所得余数从后往前排列，可得31对应的八进制数。
(3) 对253使用除8取余法：
$253 ÷ 8 = 31$，余数为5
$31 ÷ 8 = 3$，余数为7
$3 ÷ 8 = 0$，余数为3
将所得余数从后往前排列，可得253对应的八进制数。
【答案】
(1)$21_{(8)}$；(2)$37_{(8)}$；(3)$375_{(8)}$
【知识点】
除8取余法；十进制转八进制；进位制转换
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，重点考查除8取余法的操作步骤，解题时需注意两点：一是除法计算时余数要计算准确，二是最终排列余数时要按从后往前的顺序，避免因顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.85
