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15.已知a的相反数是它本身，b是最小的正整数，$|c|=3$.
(1)$a=$,$b=$,$c=$；
(2)求$a - b - c$的值；
(3)要使算式$a - b □ c^2$的运算结果为负数，且最大，则“”内应填入的运算符号为.
A.＋ B.－ C.× D.÷
(1)$a=$,$b=$,$c=$；
(2)求$a - b - c$的值；
(3)要使算式$a - b □ c^2$的运算结果为负数，且最大，则“”内应填入的运算符号为.
A.＋ B.－ C.× D.÷
答案
解：
(1) 相反数是它本身的数为0，故$a=0$；最小的正整数是1，故$b=1$；由$|c|=3$得$c=\pm3$。
答案依次为：$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\pm3}$。
(2) 已知$a=0$，$b=1$：
当$c=3$时，
$a-b-c=0-1-3=-4$；
当$c=-3$时，
$a-b-c=0-1-(-3)=0-1+3=2$。
综上，$a-b-c$的值为$-4$或$2$。
(3) 由题意得$c^2=9$，分别代入各运算符号计算：
A. 填入$+$：$a-b+c^2=0-1+9=8$，结果为正数，不符合要求；
B. 填入$-$：$a-b-c^2=0-1-9=-10$，结果为负数；
C. 填入$×$：$a-b× c^2=0-1×9=-9$，结果为负数；
D. 填入$÷$：$a-b÷ c^2=0-1÷9=-\frac{1}{9}$，结果为负数。
比较三个负数得：$-\frac{1}{9}＞-9＞-10$，满足结果为负数且最大的运算符号为$÷$，故选$\boldsymbol{D}$。
(1) 相反数是它本身的数为0，故$a=0$；最小的正整数是1，故$b=1$；由$|c|=3$得$c=\pm3$。
答案依次为：$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\pm3}$。
(2) 已知$a=0$，$b=1$：
当$c=3$时，
$a-b-c=0-1-3=-4$；
当$c=-3$时，
$a-b-c=0-1-(-3)=0-1+3=2$。
综上，$a-b-c$的值为$-4$或$2$。
(3) 由题意得$c^2=9$，分别代入各运算符号计算：
A. 填入$+$：$a-b+c^2=0-1+9=8$，结果为正数，不符合要求；
B. 填入$-$：$a-b-c^2=0-1-9=-10$，结果为负数；
C. 填入$×$：$a-b× c^2=0-1×9=-9$，结果为负数；
D. 填入$÷$：$a-b÷ c^2=0-1÷9=-\frac{1}{9}$，结果为负数。
比较三个负数得：$-\frac{1}{9}＞-9＞-10$，满足结果为负数且最大的运算符号为$÷$，故选$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
(1) 结合基础概念求解：相反数等于自身的数只有0；最小的正整数是1；绝对值为3的数有两个，即±3。
(2) 由于c的取值有两种可能，需采用分类讨论思想，将a、b的值和c的两个取值分别代入代数式计算即可。
(3) 先算出c²的固定值，再把四个选项的运算符号分别代入算式计算，先筛选出结果为负数的选项，再根据负数比较大小的规则（绝对值越小，负数越大），选出对应结果最大的运算符号即可。
【解析】
(1) 相反数是它本身的数为0，故$a=0$；最小的正整数是1，故$b=1$；由$|c|=3$得$c=\pm3$。
(2) 已知$a=0$，$b=1$：
当$c=3$时，
$a-b-c=0-1-3=-4$；
当$c=-3$时，
$a-b-c=0-1-(-3)=0-1+3=2$。
综上，$a-b-c$的值为$-4$或$2$。
(3) 由题意得$c^2=9$，分别代入各运算符号计算：
A. 填入$+$：$a-b+c^2=0-1+9=8$，结果为正数，不符合要求；
B. 填入$-$：$a-b-c^2=0-1-9=-10$，结果为负数；
C. 填入$×$：$a-b× c^2=0-1×9=-9$，结果为负数；
D. 填入$÷$：$a-b÷ c^2=0-1÷9=-\frac{1}{9}$，结果为负数。
比较三个负数得：$-\frac{1}{9}＞-9＞-10$，满足结果为负数且最大的运算符号为$÷$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\pm3}$
(2) $\boldsymbol{-4}$或$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{D}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；有理数混合运算
【点评】
本题侧重考察有理数的基础概念与运算，解题时需注意c的取值有两种情况，避免漏解；第三问计算后要正确掌握负数比较大小的规则，才能选出符合要求的运算符号，整体考察的知识点较为基础。
【难度系数】
0.8
(1) 结合基础概念求解：相反数等于自身的数只有0；最小的正整数是1；绝对值为3的数有两个，即±3。
(2) 由于c的取值有两种可能，需采用分类讨论思想，将a、b的值和c的两个取值分别代入代数式计算即可。
(3) 先算出c²的固定值，再把四个选项的运算符号分别代入算式计算，先筛选出结果为负数的选项，再根据负数比较大小的规则（绝对值越小，负数越大），选出对应结果最大的运算符号即可。
【解析】
(1) 相反数是它本身的数为0，故$a=0$；最小的正整数是1，故$b=1$；由$|c|=3$得$c=\pm3$。
(2) 已知$a=0$，$b=1$：
当$c=3$时，
$a-b-c=0-1-3=-4$；
当$c=-3$时，
$a-b-c=0-1-(-3)=0-1+3=2$。
综上，$a-b-c$的值为$-4$或$2$。
(3) 由题意得$c^2=9$，分别代入各运算符号计算：
A. 填入$+$：$a-b+c^2=0-1+9=8$，结果为正数，不符合要求；
B. 填入$-$：$a-b-c^2=0-1-9=-10$，结果为负数；
C. 填入$×$：$a-b× c^2=0-1×9=-9$，结果为负数；
D. 填入$÷$：$a-b÷ c^2=0-1÷9=-\frac{1}{9}$，结果为负数。
比较三个负数得：$-\frac{1}{9}＞-9＞-10$，满足结果为负数且最大的运算符号为$÷$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{\pm3}$
(2) $\boldsymbol{-4}$或$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{D}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；有理数混合运算
【点评】
本题侧重考察有理数的基础概念与运算，解题时需注意c的取值有两种情况，避免漏解；第三问计算后要正确掌握负数比较大小的规则，才能选出符合要求的运算符号，整体考察的知识点较为基础。
【难度系数】
0.8
16. 先观察下列等式，再回答后面的问题.
$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···.$
（1）通过观察发现，$2^n$的个位上的数字是由________种数字组成的；
（2）用你所发现的规律求出$2^{2024}$的个位上的数字；
（3）探究：$3^{2026}$的个位上的数字.
$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···.$
（1）通过观察发现，$2^n$的个位上的数字是由________种数字组成的；
（2）用你所发现的规律求出$2^{2024}$的个位上的数字；
（3）探究：$3^{2026}$的个位上的数字.
答案
解：
(1) 观察$2^n$的个位数字依次为2,4,8,6，循环出现，共4种数字。
故答案为：4。
(2) 由已知等式可得：$2^n$的个位数字以2,4,8,6为一个周期，每4个数字循环一次。
因为 $2024÷4=506$，余数为0，
所以$2^{2024}$的个位数字是该周期的最后一个数字，即6。
(3) 先计算观察规律：
$3^1=3$，个位数字是3；
$3^2=9$，个位数字是9；
$3^3=27$，个位数字是7；
$3^4=81$，个位数字是1；
$3^5=243$，个位数字是3；
由此可得：$3^n$的个位数字以3,9,7,1为一个周期，每4个数字循环一次。
因为 $2026÷4=506······2$，余数为2，
所以$3^{2026}$的个位数字是该周期的第2个数字，即9。
(1) 观察$2^n$的个位数字依次为2,4,8,6，循环出现，共4种数字。
故答案为：4。
(2) 由已知等式可得：$2^n$的个位数字以2,4,8,6为一个周期，每4个数字循环一次。
因为 $2024÷4=506$，余数为0，
所以$2^{2024}$的个位数字是该周期的最后一个数字，即6。
(3) 先计算观察规律：
$3^1=3$，个位数字是3；
$3^2=9$，个位数字是9；
$3^3=27$，个位数字是7；
$3^4=81$，个位数字是1；
$3^5=243$，个位数字是3；
由此可得：$3^n$的个位数字以3,9,7,1为一个周期，每4个数字循环一次。
因为 $2026÷4=506······2$，余数为2，
所以$3^{2026}$的个位数字是该周期的第2个数字，即9。
解析
【分析】
解决本题的核心是找到正整数幂的个位数字的循环规律：(1)直接观察给出的2的幂的个位数字，统计不同数字的个数即可；(2)先确定$2^n$个位数字的循环周期，再用指数2024除以周期，根据余数判断对应个位数字，余数为0时对应周期的最后一个数字；(3)仿照2的幂的规律探究方法，先列举出前几个3的幂的个位数字，找到其循环周期，再用2026除以周期，根据余数对应找到个位数字。
【解析】
(1) 观察给出的等式，$2^n$的个位数字依次为2、4、8、6，循环出现，共有4种不同的数字。
(2) 由已知可得，$2^n$的个位数字以2、4、8、6为1个周期，每4个数字循环1次。
计算$2024÷4=506$，余数为0，说明$2^{2024}$的个位数字是周期的最后一个数字，即6。
(3) 先计算前几个3的幂的个位数字找规律：
$3^1=3$，个位数字是3；
$3^2=9$，个位数字是9；
$3^3=27$，个位数字是7；
$3^4=81$，个位数字是1；
$3^5=243$，个位数字回到3，可知$3^n$的个位数字以3、9、7、1为1个周期，每4个数字循环1次。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字是周期的第2个数字，即9。
【答案】
(1) 4；(2) 6；(3) 9
【知识点】
有理数乘方，数字规律探究，周期循环问题
【点评】
本题是典型的乘方个位数字规律探究题，解题的关键是先通过列举少量运算结果找到个位数字的循环周期，再通过除法运算得到余数，结合余数匹配周期内的对应数字，解题思路可迁移到其他正整数幂的个位数字探究中。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是找到正整数幂的个位数字的循环规律：(1)直接观察给出的2的幂的个位数字，统计不同数字的个数即可；(2)先确定$2^n$个位数字的循环周期，再用指数2024除以周期，根据余数判断对应个位数字，余数为0时对应周期的最后一个数字；(3)仿照2的幂的规律探究方法，先列举出前几个3的幂的个位数字，找到其循环周期，再用2026除以周期，根据余数对应找到个位数字。
【解析】
(1) 观察给出的等式，$2^n$的个位数字依次为2、4、8、6，循环出现，共有4种不同的数字。
(2) 由已知可得，$2^n$的个位数字以2、4、8、6为1个周期，每4个数字循环1次。
计算$2024÷4=506$，余数为0，说明$2^{2024}$的个位数字是周期的最后一个数字，即6。
(3) 先计算前几个3的幂的个位数字找规律：
$3^1=3$，个位数字是3；
$3^2=9$，个位数字是9；
$3^3=27$，个位数字是7；
$3^4=81$，个位数字是1；
$3^5=243$，个位数字回到3，可知$3^n$的个位数字以3、9、7、1为1个周期，每4个数字循环1次。
计算$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字是周期的第2个数字，即9。
【答案】
(1) 4；(2) 6；(3) 9
【知识点】
有理数乘方，数字规律探究，周期循环问题
【点评】
本题是典型的乘方个位数字规律探究题，解题的关键是先通过列举少量运算结果找到个位数字的循环周期，再通过除法运算得到余数，结合余数匹配周期内的对应数字，解题思路可迁移到其他正整数幂的个位数字探究中。
【难度系数】
0.8
