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【例2】某集团公司将旗下甲、乙两个工厂下半年的经营情况记录(其中“＋”表示盈利，“－”表示亏损，单位：亿元)如下：
(1)八月份，乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
(2)下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利多少亿元或亏损多少亿元？
(1)八月份，乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
(2)下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利多少亿元或亏损多少亿元？
答案
解：
(1) 列式计算：
$-0.7 - (-0.4) = -0.3$
答：八月份，乙厂比甲厂多亏损0.3亿元。
(2) 先计算甲厂下半年总盈亏：
$-0.2 + (-0.4) + 0.5 + 0 + 1.2 + 1.3 = 2.4 \ (\mathrm{亿元})$
甲厂平均每月盈亏：
$2.4 ÷ 6 = 0.4 \ (\mathrm{亿元})$
再计算乙厂下半年总盈亏：
$1.0 + (-0.7) + (-1.5) + 1.8 + (-1.8) + 0 = -1.2 \ (\mathrm{亿元})$
乙厂平均每月盈亏：
$-1.2 ÷ 6 = -0.2 \ (\mathrm{亿元})$
答：下半年甲工厂平均每月盈利0.4亿元，乙工厂平均每月亏损0.2亿元。
(1) 列式计算：
$-0.7 - (-0.4) = -0.3$
答：八月份，乙厂比甲厂多亏损0.3亿元。
(2) 先计算甲厂下半年总盈亏：
$-0.2 + (-0.4) + 0.5 + 0 + 1.2 + 1.3 = 2.4 \ (\mathrm{亿元})$
甲厂平均每月盈亏：
$2.4 ÷ 6 = 0.4 \ (\mathrm{亿元})$
再计算乙厂下半年总盈亏：
$1.0 + (-0.7) + (-1.5) + 1.8 + (-1.8) + 0 = -1.2 \ (\mathrm{亿元})$
乙厂平均每月盈亏：
$-1.2 ÷ 6 = -0.2 \ (\mathrm{亿元})$
答：下半年甲工厂平均每月盈利0.4亿元，乙工厂平均每月亏损0.2亿元。
解析
【分析】
(1) 首先明确题中正负数的含义：“+”表示盈利，“-”表示亏损。要解决第一问，先找到八月份甲、乙两厂的盈亏数据，求乙厂比甲厂多亏损的金额，用乙厂八月份的盈亏额减去甲厂八月份的盈亏额，再根据结果的正负判断含义即可。
(2) 第二问求平均每月盈亏，需要先分别计算甲、乙两厂下半年6个月的总盈亏额，再将总盈亏额除以6得到平均值，结果为正代表平均每月盈利，结果为负代表平均每月亏损，计算时遵循有理数加减混合运算的规则即可。
【解析】
(1) 八月份甲厂盈亏为$-0.4$亿元，乙厂盈亏为$-0.7$亿元，列式计算：
$-0.7 - (-0.4) = -0.7 + 0.4 = -0.3$（亿元）
结果为负，代表乙厂比甲厂多亏损0.3亿元。
(2) 计算甲厂下半年总盈亏：
$\begin{aligned}&-0.2 + (-0.4) + 0.5 + 0 + 1.2 + 1.3\\=&-0.6 + 0.5 + 2.5\\=&2.4 \ (\mathrm{亿元})\end{aligned}$
甲厂平均每月盈亏：$2.4 ÷ 6 = 0.4$（亿元），为正数，代表盈利。
计算乙厂下半年总盈亏：
$\begin{aligned}&1.0 + (-0.7) + (-1.5) + 1.8 + (-1.8) + 0\\=&0.3 -1.5 + 0\\=&-1.2 \ (\mathrm{亿元})\end{aligned}$
乙厂平均每月盈亏：$-1.2 ÷ 6 = -0.2$（亿元），为负数，代表亏损。
【答案】
(1) 八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；
(2) 下半年甲工厂平均每月盈利0.4亿元，乙工厂平均每月亏损0.2亿元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减混合运算；平均数计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查有理数的相关运算，解题核心是准确理解正负数的实际含义，熟练掌握有理数加减混合运算的符号规则，计算时注意运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确题中正负数的含义：“+”表示盈利，“-”表示亏损。要解决第一问，先找到八月份甲、乙两厂的盈亏数据，求乙厂比甲厂多亏损的金额，用乙厂八月份的盈亏额减去甲厂八月份的盈亏额，再根据结果的正负判断含义即可。
(2) 第二问求平均每月盈亏，需要先分别计算甲、乙两厂下半年6个月的总盈亏额，再将总盈亏额除以6得到平均值，结果为正代表平均每月盈利，结果为负代表平均每月亏损，计算时遵循有理数加减混合运算的规则即可。
【解析】
(1) 八月份甲厂盈亏为$-0.4$亿元，乙厂盈亏为$-0.7$亿元，列式计算：
$-0.7 - (-0.4) = -0.7 + 0.4 = -0.3$（亿元）
结果为负，代表乙厂比甲厂多亏损0.3亿元。
(2) 计算甲厂下半年总盈亏：
$\begin{aligned}&-0.2 + (-0.4) + 0.5 + 0 + 1.2 + 1.3\\=&-0.6 + 0.5 + 2.5\\=&2.4 \ (\mathrm{亿元})\end{aligned}$
甲厂平均每月盈亏：$2.4 ÷ 6 = 0.4$（亿元），为正数，代表盈利。
计算乙厂下半年总盈亏：
$\begin{aligned}&1.0 + (-0.7) + (-1.5) + 1.8 + (-1.8) + 0\\=&0.3 -1.5 + 0\\=&-1.2 \ (\mathrm{亿元})\end{aligned}$
乙厂平均每月盈亏：$-1.2 ÷ 6 = -0.2$（亿元），为负数，代表亏损。
【答案】
(1) 八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；
(2) 下半年甲工厂平均每月盈利0.4亿元，乙工厂平均每月亏损0.2亿元。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减混合运算；平均数计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查有理数的相关运算，解题核心是准确理解正负数的实际含义，熟练掌握有理数加减混合运算的符号规则，计算时注意运算顺序，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
【变式3】某飞机在进行特技表演时，其中一架飞机起飞到达0.5 km的高度后，其后续的高度变化为：上升2.5 km，下降1.1 km，上升2.2 km，下降1.8 km.
(1)飞机完成上述四个表演动作后，飞机离地面的高度为多少千米？
(2)如果飞机平均上升1 km需要消耗5 L燃油，平均下降1 km需要消耗3 L燃油，那么这架飞机在这四个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
(1)飞机完成上述四个表演动作后，飞机离地面的高度为多少千米？
(2)如果飞机平均上升1 km需要消耗5 L燃油，平均下降1 km需要消耗3 L燃油，那么这架飞机在这四个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
答案
解：
(1) 由题意列式计算：
0.5 + 2.5 - 1.1 + 2.2 - 1.8
= 3 - 1.1 + 2.2 - 1.8
= 2.3(km)
(2) 先计算上升、下降的总路程：
上升总路程：2.5 + 2.2 = 4.7(km)
下降总路程：1.1 + 1.8 = 2.9(km)
总燃油消耗量：
4.7×5 + 2.9×3
= 23.5 + 8.7
= 32.2(L)
答：(1) 飞机完成上述四个表演动作后离地面的高度为2.3千米；(2) 这架飞机在四个动作表演过程中一共消耗了32.2升燃油。
(1) 由题意列式计算：
0.5 + 2.5 - 1.1 + 2.2 - 1.8
= 3 - 1.1 + 2.2 - 1.8
= 2.3(km)
(2) 先计算上升、下降的总路程：
上升总路程：2.5 + 2.2 = 4.7(km)
下降总路程：1.1 + 1.8 = 2.9(km)
总燃油消耗量：
4.7×5 + 2.9×3
= 23.5 + 8.7
= 32.2(L)
答：(1) 飞机完成上述四个表演动作后离地面的高度为2.3千米；(2) 这架飞机在四个动作表演过程中一共消耗了32.2升燃油。
解析
【分析】
(1) 求解飞机最终高度时，可先规定上升为正、下降为负，最终高度等于初始高度加上四次动作的高度变化量，按照有理数加减混合运算的规则计算即可得到结果。
(2) 求解燃油消耗量时，需注意燃油消耗仅与飞机上升、下降的路程长度有关，与移动方向无关，因此先分别统计上升的总路程和下降的总路程，再分别乘对应每千米的燃油消耗量，求和后即可得到总耗油量。
【解析】
(1) 根据题意列式计算最终高度：
$0.5 + 2.5 - 1.1 + 2.2 - 1.8$
$= 3 - 1.1 + 2.2 - 1.8$
$= 2.3(\mathrm{km})$
(2) 先分别计算上升、下降的总路程：
上升总路程：$2.5 + 2.2 = 4.7(\mathrm{km})$
下降总路程：$1.1 + 1.8 = 2.9(\mathrm{km})$
总燃油消耗量：
$4.7× 5 + 2.9× 3$
$= 23.5 + 8.7$
$= 32.2(\mathrm{L})$
【答案】
(1) 飞机完成四个表演动作后离地面的高度为2.3千米；(2) 四个动作表演过程中一共消耗32.2升燃油。
【知识点】
有理数加减混合运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合飞行特技的生活场景考察有理数运算的实际应用，解题时要注意区分两类计算的逻辑：计算高度需要考虑移动方向，计算油耗仅需考虑移动距离，能够有效锻炼学生的实际问题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求解飞机最终高度时，可先规定上升为正、下降为负，最终高度等于初始高度加上四次动作的高度变化量，按照有理数加减混合运算的规则计算即可得到结果。
(2) 求解燃油消耗量时，需注意燃油消耗仅与飞机上升、下降的路程长度有关，与移动方向无关，因此先分别统计上升的总路程和下降的总路程，再分别乘对应每千米的燃油消耗量，求和后即可得到总耗油量。
【解析】
(1) 根据题意列式计算最终高度：
$0.5 + 2.5 - 1.1 + 2.2 - 1.8$
$= 3 - 1.1 + 2.2 - 1.8$
$= 2.3(\mathrm{km})$
(2) 先分别计算上升、下降的总路程：
上升总路程：$2.5 + 2.2 = 4.7(\mathrm{km})$
下降总路程：$1.1 + 1.8 = 2.9(\mathrm{km})$
总燃油消耗量：
$4.7× 5 + 2.9× 3$
$= 23.5 + 8.7$
$= 32.2(\mathrm{L})$
【答案】
(1) 飞机完成四个表演动作后离地面的高度为2.3千米；(2) 四个动作表演过程中一共消耗32.2升燃油。
【知识点】
有理数加减混合运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合飞行特技的生活场景考察有理数运算的实际应用，解题时要注意区分两类计算的逻辑：计算高度需要考虑移动方向，计算油耗仅需考虑移动距离，能够有效锻炼学生的实际问题分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列计算中，不正确的是().
A.-(-6)+(-4)=2
B.(-9)-(-4)=-5
C.-9+(-4)=-13
D.-|-9|+4=13
A.-(-6)+(-4)=2
B.(-9)-(-4)=-5
C.-9+(-4)=-13
D.-|-9|+4=13
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数的加减相关运算，解题思路是先对每个选项中的去括号、绝对值部分先化简，再按照有理数加减运算法则计算出结果，最后对比选出计算不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：先去括号，-(-6)=6，+(-4)=-4，因此原式=6-4=2，计算正确，不符合题意；
B选项：根据“减去一个数等于加上它的相反数”，(-9)-(-4)=-9+4=-5，计算正确，不符合题意；
C选项：加上一个负数等于减去这个数的绝对值，-9+(-4)=-9-4=-13，计算正确，不符合题意；
D选项：先化简绝对值，|-9|=9，因此-|-9|=-9，原式=-9+4=-5≠13，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算，去括号法则，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心易错点是符号处理，运算时要注意去括号、化简绝对值时的符号变化，熟练掌握运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查有理数的加减相关运算，解题思路是先对每个选项中的去括号、绝对值部分先化简，再按照有理数加减运算法则计算出结果，最后对比选出计算不正确的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A选项：先去括号，-(-6)=6，+(-4)=-4，因此原式=6-4=2，计算正确，不符合题意；
B选项：根据“减去一个数等于加上它的相反数”，(-9)-(-4)=-9+4=-5，计算正确，不符合题意；
C选项：加上一个负数等于减去这个数的绝对值，-9+(-4)=-9-4=-13，计算正确，不符合题意；
D选项：先化简绝对值，|-9|=9，因此-|-9|=-9，原式=-9+4=-5≠13，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算，去括号法则，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心易错点是符号处理，运算时要注意去括号、化简绝对值时的符号变化，熟练掌握运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2.将式子3－10－7写成和的形式，正确的是().
A.$3+10+7$
B.$-3+(-10)+(-7)$
C.$3-(+10)-(+7)$
D.$3+(-10)+(-7)$
A.$3+10+7$
B.$-3+(-10)+(-7)$
C.$3-(+10)-(+7)$
D.$3+(-10)+(-7)$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确有理数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。我们的目标是把原式中的所有减法运算都转化为加法运算，得到和的形式后，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
根据有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，对原式$3-10-7$进行转化：
1. 运算“$-10$”是减去10，等价于加上10的相反数，即$+(-10)$；
2. 运算“$-7$”是减去7，等价于加上7的相反数，即$+(-7)$。
因此原式转化为和的形式为：$3+(-10)+(-7)$。
逐一分析选项：
A选项符号转化错误，不符合要求；
B选项误将正数3改写为$-3$，错误；
C选项仍为减法形式，未写成和的形式，错误；
D选项符合转化结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数加减混合运算
【点评】
本题考查有理数减法到加法的转化，解题的关键是准确把握减法变加法时的符号变化规律，属于基础概念考查题，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确有理数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。我们的目标是把原式中的所有减法运算都转化为加法运算，得到和的形式后，再逐一比对选项选出正确答案。
【解析】
根据有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，对原式$3-10-7$进行转化：
1. 运算“$-10$”是减去10，等价于加上10的相反数，即$+(-10)$；
2. 运算“$-7$”是减去7，等价于加上7的相反数，即$+(-7)$。
因此原式转化为和的形式为：$3+(-10)+(-7)$。
逐一分析选项：
A选项符号转化错误，不符合要求；
B选项误将正数3改写为$-3$，错误；
C选项仍为减法形式，未写成和的形式，错误；
D选项符合转化结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数加减混合运算
【点评】
本题考查有理数减法到加法的转化，解题的关键是准确把握减法变加法时的符号变化规律，属于基础概念考查题，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 小明同学在解题时，将式子$-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+(-\frac{2}{3})-(-\frac{3}{5})$变成$[-\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})]+[\frac{2}{5}-(-\frac{3}{5})]$后再进行计算，该同学运用了（）。
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律和加法结合律
D.乘法分配律
A.加法交换律
B.加法结合律
C.加法交换律和加法结合律
D.乘法分配律
答案
C
解析
【分析】
首先明确有理数加法的两个运算律：加法交换律是交换加数的位置和不变，加法结合律是改变相加的顺序和不变。解题时先观察原式到变形后的式子的变化：第一步，式子中$\frac{2}{5}$和$-\frac{2}{3}$的位置发生了交换，符合加法交换律的特征；第二步，把同分母的两个分数分别组合在一起优先计算，符合加法结合律的特征，同时式子中没有乘法运算，不可能用到乘法分配律，由此即可判断正确选项。
【解析】
首先将原式的减法统一为加法：
$-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+(-\frac{2}{3})-(-\frac{3}{5})=-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$
对比变形后的式子$[-\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})]+[\frac{2}{5}-(-\frac{3}{5})]$：
1. 变形时交换了$\frac{2}{5}$和$-\frac{2}{3}$的位置，应用了加法交换律；
2. 变形时将$-\frac{1}{3}$与$-\frac{2}{3}$结合、$\frac{2}{5}$与$\frac{3}{5}$结合优先计算，应用了加法结合律。
整个过程没有涉及乘法运算，不涉及乘法分配律，因此同时用到了加法交换律和加法结合律。
【答案】
C
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查加法运算律在有理数加减混合运算中的应用，解题的关键是区分两种运算律的特征：交换律改变的是加数的位置，结合律改变的是运算的先后顺序，注意交换加数位置时要连同它前面的符号一起移动。
【难度系数】
0.9
首先明确有理数加法的两个运算律：加法交换律是交换加数的位置和不变，加法结合律是改变相加的顺序和不变。解题时先观察原式到变形后的式子的变化：第一步，式子中$\frac{2}{5}$和$-\frac{2}{3}$的位置发生了交换，符合加法交换律的特征；第二步，把同分母的两个分数分别组合在一起优先计算，符合加法结合律的特征，同时式子中没有乘法运算，不可能用到乘法分配律，由此即可判断正确选项。
【解析】
首先将原式的减法统一为加法：
$-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+(-\frac{2}{3})-(-\frac{3}{5})=-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+\frac{3}{5}$
对比变形后的式子$[-\frac{1}{3}+(-\frac{2}{3})]+[\frac{2}{5}-(-\frac{3}{5})]$：
1. 变形时交换了$\frac{2}{5}$和$-\frac{2}{3}$的位置，应用了加法交换律；
2. 变形时将$-\frac{1}{3}$与$-\frac{2}{3}$结合、$\frac{2}{5}$与$\frac{3}{5}$结合优先计算，应用了加法结合律。
整个过程没有涉及乘法运算，不涉及乘法分配律，因此同时用到了加法交换律和加法结合律。
【答案】
C
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加减混合运算
【点评】
本题考查加法运算律在有理数加减混合运算中的应用，解题的关键是区分两种运算律的特征：交换律改变的是加数的位置，结合律改变的是运算的先后顺序，注意交换加数位置时要连同它前面的符号一起移动。
【难度系数】
0.9
4.计算:
(1)$13-16-12+17$;
(2)$0-(+3)+(-5)-(-7)-(-3)$;
(3)$(-0.25)-2\dfrac{3}{8}+1\dfrac{1}{4}-0.125$.
(1)$13-16-12+17$;
(2)$0-(+3)+(-5)-(-7)-(-3)$;
(3)$(-0.25)-2\dfrac{3}{8}+1\dfrac{1}{4}-0.125$.
答案
解：
(1) 原式$=(13+17)+(-16-12)$
$=30-28$
$=2$
(2) 原式$=0-3-5+7+3$
$=(-3+3)+(-5+7)$
$=0+2$
$=2$
(3) 原式$=(-0.25+1\dfrac{1}{4})+(-2\dfrac{3}{8}-0.125)$
$=1-2.5$
$=-1.5$
(1) 原式$=(13+17)+(-16-12)$
$=30-28$
$=2$
(2) 原式$=0-3-5+7+3$
$=(-3+3)+(-5+7)$
$=0+2$
$=2$
(3) 原式$=(-0.25+1\dfrac{1}{4})+(-2\dfrac{3}{8}-0.125)$
$=1-2.5$
$=-1.5$
解析
【分析】
这三道题均为有理数的加减混合运算，解题遵循“先化简符号，再用运算律简便计算”的思路：首先根据去括号法则或“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法转化为加法，化简式子的正负号；再观察数字特征，利用加法交换律、结合律，把互为相反数的数、能凑整的数、同属性的数（同正同负、同小数同分数）分组结合计算，降低运算难度，减少计算错误。
【解析】
(1) 原式$=(13+17)+(-16-12)$
$=30-28$
$=2$
(2) 原式$=0-3-5+7+3$
$=(-3+3)+(-5+7)$
$=0+2$
$=2$
(3) 原式$=(-0.25+1\dfrac{1}{4})+(-2\dfrac{3}{8}-0.125)$
$=1-2.5$
$=-1.5$
【答案】
(1)$2$；(2)$2$；(3)$-1.5$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律应用、去括号法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，重点考察计算熟练度和简便运算意识，计算时优先观察数字特点，通过分组凑整、消去相反数等方式简化运算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.8
这三道题均为有理数的加减混合运算，解题遵循“先化简符号，再用运算律简便计算”的思路：首先根据去括号法则或“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法转化为加法，化简式子的正负号；再观察数字特征，利用加法交换律、结合律，把互为相反数的数、能凑整的数、同属性的数（同正同负、同小数同分数）分组结合计算，降低运算难度，减少计算错误。
【解析】
(1) 原式$=(13+17)+(-16-12)$
$=30-28$
$=2$
(2) 原式$=0-3-5+7+3$
$=(-3+3)+(-5+7)$
$=0+2$
$=2$
(3) 原式$=(-0.25+1\dfrac{1}{4})+(-2\dfrac{3}{8}-0.125)$
$=1-2.5$
$=-1.5$
【答案】
(1)$2$；(2)$2$；(3)$-1.5$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律应用、去括号法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，重点考察计算熟练度和简便运算意识，计算时优先观察数字特点，通过分组凑整、消去相反数等方式简化运算，能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.8
