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7.某上市公司负责人三年共获酬金1400万元，若前一年的酬金总是后一年的一半，且不考虑税金，则他第一年应得酬金多少万元？
答案
解：设他第一年应得酬金x万元。
根据题意，第二年的酬金为2x万元，第三年的酬金为4x万元，列方程得：
$x + 2x + 4x = 1400$
合并同类项，得：
$7x = 1400$
系数化为1，得：
$x = 200$
答：他第一年应得酬金200万元。
根据题意，第二年的酬金为2x万元，第三年的酬金为4x万元，列方程得：
$x + 2x + 4x = 1400$
合并同类项，得：
$7x = 1400$
系数化为1，得：
$x = 200$
答：他第一年应得酬金200万元。
解析
【分析】
解题时首先找准题目中的等量关系：三年酬金总和为1400万元。再根据“前一年的酬金总是后一年的一半”可知后一年酬金是前一年的2倍，我们可以设第一年酬金为未知数，依次表示出第二年、第三年的酬金，代入等量关系列一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设他第一年应得酬金x万元。
根据题意，第二年的酬金为2x万元，第三年的酬金为4x万元，列方程得：
$x + 2x + 4x = 1400$
合并同类项，得：
$7x = 1400$
系数化为1，得：
$x = 200$
答：他第一年应得酬金200万元。
【答案】
200万元
【知识点】
一元一次方程应用，合并同类项解方程，和差倍分问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是抓住各年酬金的倍数关系，正确表示未知量，结合总酬金的等量关系列方程求解，侧重考察基础的方程列式与计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先找准题目中的等量关系：三年酬金总和为1400万元。再根据“前一年的酬金总是后一年的一半”可知后一年酬金是前一年的2倍，我们可以设第一年酬金为未知数，依次表示出第二年、第三年的酬金，代入等量关系列一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可得到结果。
【解析】
解：设他第一年应得酬金x万元。
根据题意，第二年的酬金为2x万元，第三年的酬金为4x万元，列方程得：
$x + 2x + 4x = 1400$
合并同类项，得：
$7x = 1400$
系数化为1，得：
$x = 200$
答：他第一年应得酬金200万元。
【答案】
200万元
【知识点】
一元一次方程应用，合并同类项解方程，和差倍分问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是抓住各年酬金的倍数关系，正确表示未知量，结合总酬金的等量关系列方程求解，侧重考察基础的方程列式与计算能力。
【难度系数】
0.8
8. 如果单项式$-xy^{b+1}$与$\frac{1}{2}x^{a+2}y^3$是同类项，那么关于$x$的方程$ax+b=0$的解为（）。
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=2$
D.$x=-2$
答案
C
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。我们先根据这个性质求出参数a、b的值，再把a、b代入关于x的一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求出x的解，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据同类项的定义列等式求参数：
已知单项式$-xy^{b+1}$与$\frac{1}{2}x^{a+2}y^3$是同类项，因此相同字母的指数相等：
x的指数相等：$a+2=1$，解得$a=1-2=-1$
y的指数相等：$b+1=3$，解得$b=3-1=2$
2. 代入参数解方程：
把$a=-1$，$b=2$代入方程$ax+b=0$，可得：
$-x+2=0$
移项得$x=2$
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础综合题，将同类项概念与一元一次方程解法结合考查，核心是抓住同类项的特征求出未知参数，再代入解方程即可，是该知识点板块的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。我们先根据这个性质求出参数a、b的值，再把a、b代入关于x的一元一次方程，最后按解一元一次方程的步骤求出x的解，对应选项即可得到答案。
【解析】
1. 根据同类项的定义列等式求参数：
已知单项式$-xy^{b+1}$与$\frac{1}{2}x^{a+2}y^3$是同类项，因此相同字母的指数相等：
x的指数相等：$a+2=1$，解得$a=1-2=-1$
y的指数相等：$b+1=3$，解得$b=3-1=2$
2. 代入参数解方程：
把$a=-1$，$b=2$代入方程$ax+b=0$，可得：
$-x+2=0$
移项得$x=2$
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础综合题，将同类项概念与一元一次方程解法结合考查，核心是抓住同类项的特征求出未知参数，再代入解方程即可，是该知识点板块的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
9.一个三角形三边长之比为2:3:4，这个三角形的周长为36，则这个三角形最长边的长度是（）.
A.8
B.12
C.16
D.32
A.8
B.12
C.16
D.32
答案
C
解析
【分析】
遇到已知几个量的比例关系和总量的问题，我们可以先设每份的量为未知数，再根据各量所占的份数表示出对应量，最后结合总量的等量关系列方程求解。本题已知三角形三边的比和周长，我们先设每份长度为x，用含x的式子表示出三边长，再根据“三角形周长=三边长之和”列方程，解方程求出x后，再计算最长边的长度即可。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$2x$、$3x$、$4x$（$x＞0$）。
根据三角形周长为36，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 36$
合并同类项，得：$9x = 36$
系数化为1，得：$x = 4$
最长边为$4x$，代入$x=4$，得最长边长度为$4×4=16$。
【答案】
C
【知识点】
比例分配问题、合并同类项解一元一次方程、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是根据比例关系设出未知数，结合周长的等量关系列方程，掌握合并同类项解一元一次方程的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到已知几个量的比例关系和总量的问题，我们可以先设每份的量为未知数，再根据各量所占的份数表示出对应量，最后结合总量的等量关系列方程求解。本题已知三角形三边的比和周长，我们先设每份长度为x，用含x的式子表示出三边长，再根据“三角形周长=三边长之和”列方程，解方程求出x后，再计算最长边的长度即可。
【解析】
解：设三角形三边长分别为$2x$、$3x$、$4x$（$x＞0$）。
根据三角形周长为36，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 36$
合并同类项，得：$9x = 36$
系数化为1，得：$x = 4$
最长边为$4x$，代入$x=4$，得最长边长度为$4×4=16$。
【答案】
C
【知识点】
比例分配问题、合并同类项解一元一次方程、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是根据比例关系设出未知数，结合周长的等量关系列方程，掌握合并同类项解一元一次方程的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.若关于$x$的一元一次方程$kx - x = 2$的解为整数，则整数$k$的所有可能的值为。.
答案
解：
合并同类项，得
$(k-1)x=2$
∵该方程是关于$x$的一元一次方程，
∴$k-1≠0$，
系数化为1，得
$x=\frac{2}{k-1}$
∵方程的解$x$为整数，且$k$为整数，
∴$k-1$是2的整数因数，即$k-1$的取值为$\pm1,\pm2$。
当$k-1=1$时，$k=2$；
当$k-1=-1$时，$k=0$；
当$k-1=2$时，$k=3$；
当$k-1=-2$时，$k=-1$。
∴整数$k$的所有可能的值为$-1,0,2,3$。
合并同类项，得
$(k-1)x=2$
∵该方程是关于$x$的一元一次方程，
∴$k-1≠0$，
系数化为1，得
$x=\frac{2}{k-1}$
∵方程的解$x$为整数，且$k$为整数，
∴$k-1$是2的整数因数，即$k-1$的取值为$\pm1,\pm2$。
当$k-1=1$时，$k=2$；
当$k-1=-1$时，$k=0$；
当$k-1=2$时，$k=3$；
当$k-1=-2$时，$k=-1$。
∴整数$k$的所有可能的值为$-1,0,2,3$。
解析
【分析】
解题时首先整理给定的一元一次方程，先合并含x的同类项，再根据一元一次方程的定义明确未知数的系数不能为0，确定k的基本限制条件；接着将x用含k的代数式表示，结合方程的解x为整数、k为整数的要求，可知分母k-1是2的整数因数，注意正负因数都要考虑，最后分别计算对应k的取值即可得到所有结果。
【解析】
合并同类项，得
$(k-1)x=2$
∵该方程是关于$x$的一元一次方程，
∴$k-1≠0$，
系数化为1，得
$x=\frac{2}{k-1}$
∵方程的解$x$为整数，且$k$为整数，
∴$k-1$是2的整数因数，即$k-1$的取值为$\pm1,\pm2$。
当$k-1=1$时，$k=2$；
当$k-1=-1$时，$k=0$；
当$k-1=2$时，$k=3$；
当$k-1=-2$时，$k=-1$。
∴整数$k$的所有可能的值为$-1,0,2,3$。
【答案】
$-1,0,2,3$
【知识点】
一元一次方程的定义；合并同类项解方程；整数因数的应用
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法及整数解的相关条件，解题时需注意一元一次方程未知数系数不为0的隐含要求，考虑因数时不要遗漏负因数，保证取值的全面性。
【难度系数】
0.7
解题时首先整理给定的一元一次方程，先合并含x的同类项，再根据一元一次方程的定义明确未知数的系数不能为0，确定k的基本限制条件；接着将x用含k的代数式表示，结合方程的解x为整数、k为整数的要求，可知分母k-1是2的整数因数，注意正负因数都要考虑，最后分别计算对应k的取值即可得到所有结果。
【解析】
合并同类项，得
$(k-1)x=2$
∵该方程是关于$x$的一元一次方程，
∴$k-1≠0$，
系数化为1，得
$x=\frac{2}{k-1}$
∵方程的解$x$为整数，且$k$为整数，
∴$k-1$是2的整数因数，即$k-1$的取值为$\pm1,\pm2$。
当$k-1=1$时，$k=2$；
当$k-1=-1$时，$k=0$；
当$k-1=2$时，$k=3$；
当$k-1=-2$时，$k=-1$。
∴整数$k$的所有可能的值为$-1,0,2,3$。
【答案】
$-1,0,2,3$
【知识点】
一元一次方程的定义；合并同类项解方程；整数因数的应用
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法及整数解的相关条件，解题时需注意一元一次方程未知数系数不为0的隐含要求，考虑因数时不要遗漏负因数，保证取值的全面性。
【难度系数】
0.7
11. 对任意四个有理数$a,b,c,d$,定义新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$. 若$\begin{vmatrix}-2x&-x+1\\-5&4\end{vmatrix}=18$,则$x=$ ______ .
答案
解：根据新运算定义，得
$(-2x) × 4 - (-x+1) × (-5) = 18$
化简，得
$-8x -5x +5 = 18$
合并同类项，得
$-13x +5 = 18$
移项，得
$-13x = 18 - 5$
合并同类项，得
$-13x = 13$
系数化为1，得
$x = -1$
$(-2x) × 4 - (-x+1) × (-5) = 18$
化简，得
$-8x -5x +5 = 18$
合并同类项，得
$-13x +5 = 18$
移项，得
$-13x = 18 - 5$
合并同类项，得
$-13x = 13$
系数化为1，得
$x = -1$
解析
【分析】
这是一道结合新定义运算的一元一次方程求解问题。解题首先要准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的结果为左上角数乘右下角数，减去右上角数乘左下角数。接下来把行列式中对应的含x的式子和常数代入运算规则，即可得到关于x的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤逐步计算就能求出x的值，代入运算时要特别注意符号，避免计算错误。
【解析】
根据新运算的定义，可得：
$(-2x) × 4 - (-x+1) × (-5) = 18$
计算乘法、去括号，得：
$-8x -5x +5 = 18$
合并同类项，得：
$-13x +5 = 18$
移项，得：
$-13x = 18 - 5$
合并同类项，得：
$-13x = 13$
系数化为1，得：
$x = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础综合题型，解题核心是正确理解新运算的规则，代入列式时要注意负数运算、去括号的符号问题，熟练掌握一元一次方程的解法是得分的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道结合新定义运算的一元一次方程求解问题。解题首先要准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的结果为左上角数乘右下角数，减去右上角数乘左下角数。接下来把行列式中对应的含x的式子和常数代入运算规则，即可得到关于x的一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤逐步计算就能求出x的值，代入运算时要特别注意符号，避免计算错误。
【解析】
根据新运算的定义，可得：
$(-2x) × 4 - (-x+1) × (-5) = 18$
计算乘法、去括号，得：
$-8x -5x +5 = 18$
合并同类项，得：
$-13x +5 = 18$
移项，得：
$-13x = 18 - 5$
合并同类项，得：
$-13x = 13$
系数化为1，得：
$x = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，合并同类项
【点评】
本题属于基础综合题型，解题核心是正确理解新运算的规则，代入列式时要注意负数运算、去括号的符号问题，熟练掌握一元一次方程的解法是得分的关键。
【难度系数】
0.8
12. 解下列方程：
(1) $5a - 6a - 2a = 3 - 8$；
(2) $-\frac{9}{4}x - x + 4x = -3\frac{1}{3} + 8 - \frac{4}{3}$。
(1) $5a - 6a - 2a = 3 - 8$；
(2) $-\frac{9}{4}x - x + 4x = -3\frac{1}{3} + 8 - \frac{4}{3}$。
答案
解：
(1) 合并同类项，得
$-3a = -5$
系数化为1，得
$a = \dfrac{5}{3}$
(2) 合并同类项，得
$\dfrac{3}{4}x = \dfrac{10}{3}$
系数化为1，得
$x = \dfrac{40}{9}$
(1) 合并同类项，得
$-3a = -5$
系数化为1，得
$a = \dfrac{5}{3}$
(2) 合并同类项，得
$\dfrac{3}{4}x = \dfrac{10}{3}$
系数化为1，得
$x = \dfrac{40}{9}$
解析
【分析】
这两道题均为利用合并同类项求解一元一次方程的基础题，解题思路分为两步：第一步分别合并等式左右两边的同类项，将含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，简化方程；第二步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。计算时要注意系数的正负号，分数运算时要先通分再计算，避免出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$-3a = -5$
系数化为1，两边同时除以$-3$，得
$a = \dfrac{5}{3}$
(2) 先整理各项：左边含$x$的项通分合并，右边将带分数化为假分数后合并常数项，
合并同类项，得
$\dfrac{3}{4}x = \dfrac{10}{3}$
系数化为1，两边同时乘$\dfrac{4}{3}$，得
$x = \dfrac{40}{9}$
【答案】
(1) $a=\dfrac{5}{3}$；(2) $x=\dfrac{40}{9}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，主要考查合并同类项的运算能力，计算过程中要注意系数符号、分数通分约分的准确性，熟练掌握合并同类项和系数化为1的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这两道题均为利用合并同类项求解一元一次方程的基础题，解题思路分为两步：第一步分别合并等式左右两边的同类项，将含未知数的项合并为一项，常数项合并为一项，简化方程；第二步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。计算时要注意系数的正负号，分数运算时要先通分再计算，避免出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$-3a = -5$
系数化为1，两边同时除以$-3$，得
$a = \dfrac{5}{3}$
(2) 先整理各项：左边含$x$的项通分合并，右边将带分数化为假分数后合并常数项，
合并同类项，得
$\dfrac{3}{4}x = \dfrac{10}{3}$
系数化为1，两边同时乘$\dfrac{4}{3}$，得
$x = \dfrac{40}{9}$
【答案】
(1) $a=\dfrac{5}{3}$；(2) $x=\dfrac{40}{9}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，主要考查合并同类项的运算能力，计算过程中要注意系数符号、分数通分约分的准确性，熟练掌握合并同类项和系数化为1的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13.某厂今年计划生产 A,B,C 三种型号的设备共 12 500 台,其中 A 型、B 型、C 型的设备数量比为 2：3：5,那么 C 型设备预计生产多少台?
答案
解：设A型设备生产2x台，B型设备生产3x台，C型设备生产5x台。
根据题意列方程，得
$2x + 3x + 5x = 12500$
合并同类项，得
$10x = 12500$
系数化为1，得
$x = 1250$
则$5x = 5×1250 = 6250$
答：C型设备预计生产6250台。
根据题意列方程，得
$2x + 3x + 5x = 12500$
合并同类项，得
$10x = 12500$
系数化为1，得
$x = 1250$
则$5x = 5×1250 = 6250$
答：C型设备预计生产6250台。
解析
【分析】
本题属于按比例分配的实际应用问题，解题时先根据三种设备的数量比，设每一份的数量为x，即可用含x的代数式分别表示出三种型号设备的生产数量；再结合三种设备的总台数为12500台这一等量关系列出一元一次方程，通过解方程求出x的值，最后代入C型设备对应的代数式即可求出结果。
【解析】
设A型设备生产2x台，B型设备生产3x台，C型设备生产5x台。
根据题意列方程，得
$2x + 3x + 5x = 12500$
合并同类项，得
$10x = 12500$
系数化为1，得
$x = 1250$
则C型设备的数量为$5x = 5×1250 = 6250$（台）
答：C型设备预计生产6250台。
【答案】
6250台
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；按比例分配问题
【点评】
本题是方程实际应用中的基础题型，核心是掌握按比例设未知数的方法，结合总量建立等量关系列方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
本题属于按比例分配的实际应用问题，解题时先根据三种设备的数量比，设每一份的数量为x，即可用含x的代数式分别表示出三种型号设备的生产数量；再结合三种设备的总台数为12500台这一等量关系列出一元一次方程，通过解方程求出x的值，最后代入C型设备对应的代数式即可求出结果。
【解析】
设A型设备生产2x台，B型设备生产3x台，C型设备生产5x台。
根据题意列方程，得
$2x + 3x + 5x = 12500$
合并同类项，得
$10x = 12500$
系数化为1，得
$x = 1250$
则C型设备的数量为$5x = 5×1250 = 6250$（台）
答：C型设备预计生产6250台。
【答案】
6250台
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程；按比例分配问题
【点评】
本题是方程实际应用中的基础题型，核心是掌握按比例设未知数的方法，结合总量建立等量关系列方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
14.(运算能力)有这样一列数,按一定规律排列成-1,2,-4,8,-16,….其中某三个相邻数的和是768,则这三个数分别是多少?
答案
解：设这三个相邻数中的第一个数为x，则第二个数为-2x，第三个数为4x。
根据题意列方程，得
$x - 2x + 4x = 768$
合并同类项，得
$3x = 768$
系数化为1，得
$x = 256$
则$-2x = -512$，$4x = 1024$
答：这三个数分别是256，-512，1024。
根据题意列方程，得
$x - 2x + 4x = 768$
合并同类项，得
$3x = 768$
系数化为1，得
$x = 256$
则$-2x = -512$，$4x = 1024$
答：这三个数分别是256，-512，1024。
解析
【分析】
首先观察这列数的排列规律：后一个数是前一个数的-2倍。要求三个相邻数的和为768，我们可以先设三个相邻数中的第一个数为x，根据规律就能用含x的式子表示出另外两个数，再根据“三个数的和是768”的等量关系列一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可求出三个数。
【解析】
解：设这三个相邻数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-2x$，第三个数为$4x$。
根据题意列方程，得
$x - 2x + 4x = 768$
合并同类项，得
$3x = 768$
系数化为1，得
$x = 256$
则$-2x = -2×256=-512$，$4x=4×256=1024$
答：这三个数分别是256，-512，1024。
【答案】
256，-512，1024
【知识点】
数字规律探究，列一元一次方程，合并同类项解方程
【点评】
本题解题的关键是准确找到数列的排列规律，合理设未知数，再根据等量关系列方程求解，既考察对数字规律的观察归纳能力，也考察一元一次方程的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察这列数的排列规律：后一个数是前一个数的-2倍。要求三个相邻数的和为768，我们可以先设三个相邻数中的第一个数为x，根据规律就能用含x的式子表示出另外两个数，再根据“三个数的和是768”的等量关系列一元一次方程，最后用合并同类项的方法解方程即可求出三个数。
【解析】
解：设这三个相邻数中的第一个数为$x$，则第二个数为$-2x$，第三个数为$4x$。
根据题意列方程，得
$x - 2x + 4x = 768$
合并同类项，得
$3x = 768$
系数化为1，得
$x = 256$
则$-2x = -2×256=-512$，$4x=4×256=1024$
答：这三个数分别是256，-512，1024。
【答案】
256，-512，1024
【知识点】
数字规律探究，列一元一次方程，合并同类项解方程
【点评】
本题解题的关键是准确找到数列的排列规律，合理设未知数，再根据等量关系列方程求解，既考察对数字规律的观察归纳能力，也考察一元一次方程的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
