13. 新考向·数学文化 2025·烟台莱州市期末 《棋盘上的麦粒》故事中，国王往棋盘的第1格中放1粒麦子，第2格中放2粒麦子，第3格中放4粒麦子，…，依次类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的麦粒数是。

13.$2^{19}$

14. 新考向 知识情境化 当你把纸对折1次时，就得到2层；对折2次时，就得到4层……照这样对折下去.（最多对折7次）
(1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？
(2)对折6次时，层数是多少？
(3)如果纸的厚度是0.1 mm，求对折7次时，总厚度是多少.

14.【解】(1)设对折的次数是$n$,则折得的层数是$2^n$($1≤ n≤ 7$ 且 $n$ 为正整数).
(2)对折 6 次,即当$n=6$时,层数为$2^6=64$.
(3)对折 7 次时,总厚度为$0.1×2^7=0.1×128=12.8$(mm).

15. 在一次综合实践活动课上，张老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值.
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图(1)，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图(1)中空白部分的面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$. “破浪”小组是这样思考的：设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$，将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}$，$S-\frac{1}{2}S$，得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^7}$，所以$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$.

【过程思考】
(1)图(1)中阴影部分(第⑦部分)的面积是，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^7}=$；
(2)请你利用图(2)，再设计能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值的几何图形；(只画出图形即可)
(3)根据以上规律，解决下面的问题.
①$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n}=$；(n为正整数)
②求$2+4+8+16+\dots+2^n$的值.(n为正整数)

15.【解】(1)$\frac{1}{64};\frac{127}{128}$ 【点拨】由题知,正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半,所以图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等.
又因为第①部分的面积为$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$,第②部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$,第③部分的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$,…,依次类推,第$n$部分的面积为$\frac{1}{2^n}$.当$n=6$时,$\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$.所以阴影部分(第⑦部分)的面积为$\frac{1}{64}$.易知$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^7}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^7}=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
(2)如图,标序号部分即为求$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$的值的几何图形.(答案不唯一)
(3)①$1-\frac{1}{2^n}$
②令 $S=2+4+8+16+…+2^n$ ①,
将等式两边同时乘 2,得$2S=4+8+16+32+…+2^{n+1}$ ②,
将②式减去①式,得$S=2^{n+1}-2$,即$2+4+8+16+…+2^n=2^{n+1}-2$.