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9. [2026 泉州惠安模拟] 如图,在$□ ABCD$中,点F在AD上,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G.若$EF=1,EC=3$,则GF的长为 (
A.4
B.6
C.8
D.10
C
)A.4
B.6
C.8
D.10
答案
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BG//CD,
∴△DFC∽△AFG,
∴$\frac{CF}{GF}=\frac{DF}{AF}$.
∵AD//BC,
∴△DEF∽△BEC,
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{EC}$.
∵AD=BC=AF+DF,EF=1,EC=3,
∴$\frac{DF}{AF+DF}=\frac{EF}{EC}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{4}{GF}=\frac{1}{2}$,
∴GF=8.
解析
【分析】
拿到本题首先要结合平行四边形的性质和相似三角形的知识解题：第一步，利用平行四边形对边平行的性质，先由AD//BC得到△DEF∽△BEC，结合已知的EF、EC长度求出DF与BC的比值，再根据BC=AD，推导得到DF与AF的比值；第二步，再利用AB//CD（即BG//CD）的性质得到△AFG∽△DFC，结合已求出的DF与AF的比值，代入CF的长度即可求出GF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BG//CD，AD=BC。
∵AD//BC，
∴∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{EC}$。
已知EF=1，EC=3，AD=BC=AF+DF，代入得：
$\frac{DF}{AF+DF}=\frac{1}{3}$，
化简得2DF=AF，即$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$。
∵BG//CD，
∴∠G=∠DCF，∠GAF=∠CDF，
∴△AFG∽△DFC，
∴$\frac{CF}{GF}=\frac{DF}{AF}$。
其中CF=EF+EC=1+3=4，$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$，代入得：
$\frac{4}{GF}=\frac{1}{2}$，
解得GF=8。
【答案】
C
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，解题关键是灵活运用平行四边形对边平行的性质找到对应相似三角形，通过比例线段的转化求解未知线段，能有效考查对相似三角形应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
拿到本题首先要结合平行四边形的性质和相似三角形的知识解题：第一步，利用平行四边形对边平行的性质，先由AD//BC得到△DEF∽△BEC，结合已知的EF、EC长度求出DF与BC的比值，再根据BC=AD，推导得到DF与AF的比值；第二步，再利用AB//CD（即BG//CD）的性质得到△AFG∽△DFC，结合已求出的DF与AF的比值，代入CF的长度即可求出GF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BG//CD，AD=BC。
∵AD//BC，
∴∠FDE=∠CBE，∠DFE=∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{EF}{EC}$。
已知EF=1，EC=3，AD=BC=AF+DF，代入得：
$\frac{DF}{AF+DF}=\frac{1}{3}$，
化简得2DF=AF，即$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$。
∵BG//CD，
∴∠G=∠DCF，∠GAF=∠CDF，
∴△AFG∽△DFC，
∴$\frac{CF}{GF}=\frac{DF}{AF}$。
其中CF=EF+EC=1+3=4，$\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$，代入得：
$\frac{4}{GF}=\frac{1}{2}$，
解得GF=8。
【答案】
C
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，解题关键是灵活运用平行四边形对边平行的性质找到对应相似三角形，通过比例线段的转化求解未知线段，能有效考查对相似三角形应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
10. [2024 陕西中考A卷]如图,正方形$CEFG$的顶点$G$在正方形$ABCD$的边$CD$上,$AF$与$DC$交于点$H$.若$AB=6,CE=2$,则$DH$的长为 (
A.$2$
B.$3$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\dfrac{8}{3}$
B
)A.$2$
B.$3$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$\dfrac{8}{3}$
答案
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CD=6.
∵四边形CEFG是正方形,
∴CE=FG=CG=2,
∴DG=CD-CG=4.易得AD//GF,
∴△ADH∽△FGH,
∴$\frac{AD}{FG}=\frac{DH}{GH}$,即$\frac{6}{2}=\frac{DH}{4-DH}$,解得DH=3.
解析
【分析】
本题要求DH的长度，可结合正方形性质与相似三角形的知识求解：首先根据正方形四条边相等的性质，得到AD、CD、FG、CG的长度，进而算出DG的长度；再观察可得AD和GF均垂直于CD，因此AD//GF，可判定△ADH与△FGH相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于DH的方程，解方程即可得到DH的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=6。
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE=FG=CG=2，
∴DG=CD - CG=6 - 2=4。
易得AD//GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴$\frac{AD}{FG}=\frac{DH}{GH}$，
设DH=x，则GH=DG - DH=4 - x，代入比例式得$\frac{6}{2}=\frac{x}{4 - x}$，
解得x=3，即DH=3。
【答案】B
【知识点】正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】本题是几何基础计算题，解题的核心是结合正方形的性质找到相似三角形，再通过相似三角形的边的比例关系建立方程求解，是相似三角形应用的常见典型题型。
【难度系数】0.7
本题要求DH的长度，可结合正方形性质与相似三角形的知识求解：首先根据正方形四条边相等的性质，得到AD、CD、FG、CG的长度，进而算出DG的长度；再观察可得AD和GF均垂直于CD，因此AD//GF，可判定△ADH与△FGH相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于DH的方程，解方程即可得到DH的长。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=6。
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE=FG=CG=2，
∴DG=CD - CG=6 - 2=4。
易得AD//GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴$\frac{AD}{FG}=\frac{DH}{GH}$，
设DH=x，则GH=DG - DH=4 - x，代入比例式得$\frac{6}{2}=\frac{x}{4 - x}$，
解得x=3，即DH=3。
【答案】B
【知识点】正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】本题是几何基础计算题，解题的核心是结合正方形的性质找到相似三角形，再通过相似三角形的边的比例关系建立方程求解，是相似三角形应用的常见典型题型。
【难度系数】0.7
11. 教材例题变式 [2025长春中考] 将直角三角形纸片$ABC(∠C=90°)$按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是 (
A.$MN// DE// PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$
D
)A.$MN// DE// PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$
答案
根据折叠的性质,得$ED⊥AC,QP⊥AC,NM⊥AC,AM=MD=DP=PC$. 选项A中,
∵$ED⊥AC,QP⊥AC,NM⊥AC,BC⊥AC$,
∴$MN//DE//PQ//BC$. 选项B中,
∵$MN//DE//PQ//BC$,
∴△AMN∽△ADE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴$CB=2DE,DE=2MN$,
∴$CB=4MN$,
∴$BC=2DE=4MN$. 选项C中,
∵$MN//PQ//BC,AM=MD=DP=PC$,
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{QB}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$BQ=AN=\frac{1}{4}AB$,$QN=\frac{1}{2}AB$,
∴$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$. 选项D中,
∵△AMN∽△ADE∽△APQ∽△ACB,
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$,$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$,
∴$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$.
∵$ED⊥AC,QP⊥AC,NM⊥AC,BC⊥AC$,
∴$MN//DE//PQ//BC$. 选项B中,
∵$MN//DE//PQ//BC$,
∴△AMN∽△ADE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴$CB=2DE,DE=2MN$,
∴$CB=4MN$,
∴$BC=2DE=4MN$. 选项C中,
∵$MN//PQ//BC,AM=MD=DP=PC$,
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{QB}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$,$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$BQ=AN=\frac{1}{4}AB$,$QN=\frac{1}{2}AB$,
∴$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$. 选项D中,
∵△AMN∽△ADE∽△APQ∽△ACB,
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$,$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$,
∴$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$.
解析
【分析】
解决本题首先要利用折叠的性质确定核心条件：两次折叠均是将点A向点C方向折叠，因此所有折痕都垂直于AC，且AC被三条折痕平均分为4段，即$AM=MD=DP=PC$。接下来结合“垂直于同一直线的多条直线互相平行”判断平行关系，再利用平行线推导相似三角形，根据相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例的性质逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
根据折叠的性质可得：$ED⊥AC$，$QP⊥AC$，$NM⊥AC$，且$AM=MD=DP=PC$。
1. 验证选项A
∵$ED⊥AC$，$QP⊥AC$，$NM⊥AC$，$BC⊥AC$，
∴垂直于同一直线的直线互相平行，即$MN// DE// PQ// BC$，故A结论正确。
2. 验证选项B
∵$MN// DE// PQ// BC$，
∴$△ AMN ∽ △ ADE ∽ △ ACB$，
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}=\frac{2AM}{4AM}=\frac{1}{2}$，$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{AM}{2AM}=\frac{1}{2}$，
可得$CB=2DE$，$DE=2MN$，即$BC=2DE=4MN$，故B结论正确。
3. 验证选项C
∵$MN// PQ// BC$，$AM=MD=DP=PC$，
根据平行线分线段成比例：$\frac{PC}{AC}=\frac{QB}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$BQ=AN=\frac{1}{4}AB$，$QN=\frac{1}{2}AB$，即$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$，故C结论正确。
4. 验证选项D
∵$△ AMN ∽ △ ADE ∽ △ APQ ∽ △ ACB$，
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$，$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$，
显然$\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}≠\frac{3}{4}$，即$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$，故D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是折叠变换与相似三角形结合的典型考题，解题的核心是先通过折叠性质得到线段的等量关系与垂直关系，再结合平行线、相似三角形的性质逐一推导选项，需要注意相似三角形的对应边比例要和对应线段的比例对应，避免混淆。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要利用折叠的性质确定核心条件：两次折叠均是将点A向点C方向折叠，因此所有折痕都垂直于AC，且AC被三条折痕平均分为4段，即$AM=MD=DP=PC$。接下来结合“垂直于同一直线的多条直线互相平行”判断平行关系，再利用平行线推导相似三角形，根据相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例的性质逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
根据折叠的性质可得：$ED⊥AC$，$QP⊥AC$，$NM⊥AC$，且$AM=MD=DP=PC$。
1. 验证选项A
∵$ED⊥AC$，$QP⊥AC$，$NM⊥AC$，$BC⊥AC$，
∴垂直于同一直线的直线互相平行，即$MN// DE// PQ// BC$，故A结论正确。
2. 验证选项B
∵$MN// DE// PQ// BC$，
∴$△ AMN ∽ △ ADE ∽ △ ACB$，
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}=\frac{2AM}{4AM}=\frac{1}{2}$，$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{AM}{2AM}=\frac{1}{2}$，
可得$CB=2DE$，$DE=2MN$，即$BC=2DE=4MN$，故B结论正确。
3. 验证选项C
∵$MN// PQ// BC$，$AM=MD=DP=PC$，
根据平行线分线段成比例：$\frac{PC}{AC}=\frac{QB}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}$，$\frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$BQ=AN=\frac{1}{4}AB$，$QN=\frac{1}{2}AB$，即$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$，故C结论正确。
4. 验证选项D
∵$△ AMN ∽ △ ADE ∽ △ APQ ∽ △ ACB$，
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$，$\frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}$，$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}$，
显然$\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}≠\frac{3}{4}$，即$\frac{MN}{DE}≠\frac{DE}{PQ}≠\frac{PQ}{BC}$，故D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是折叠变换与相似三角形结合的典型考题，解题的核心是先通过折叠性质得到线段的等量关系与垂直关系，再结合平行线、相似三角形的性质逐一推导选项，需要注意相似三角形的对应边比例要和对应线段的比例对应，避免混淆。
【难度系数】
0.6
12. [2026洛阳汝阳期末]如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=4,BD=8,点E在边AD上,AE=$\frac{1}{3}$AD,连接BE交AC于点M.
微专题
一题多变→ 作平
微专题
一题多变→ 作平
答案
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AD//BC$,
∴△AEM∽△CBM,
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{CB}$.
∵$AD=BC$,
∴$AE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC$,
∴$\frac{AM}{AC-AM}=\frac{AM}{4-AM}=\frac{1}{3}$,
∴$AM=1$.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AC⊥BD$,$OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=\frac{1}{2}BD$,
∴$∠BOM=90°$.
在Rt△BOM中,由勾股定理可得$BM=\sqrt{MO^2+OB^2}$.
∵$OA=\frac{1}{2}AC=2$,$AM=1$,$OB=\frac{1}{2}BD=4$,
∴$OM=1$,
∴$BM=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$.
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AD//BC$,
∴△AEM∽△CBM,
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{CB}$.
∵$AD=BC$,
∴$AE=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC$,
∴$\frac{AM}{AC-AM}=\frac{AM}{4-AM}=\frac{1}{3}$,
∴$AM=1$.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,
∴$AC⊥BD$,$OA=\frac{1}{2}AC$,$OB=\frac{1}{2}BD$,
∴$∠BOM=90°$.
在Rt△BOM中,由勾股定理可得$BM=\sqrt{MO^2+OB^2}$.
∵$OA=\frac{1}{2}AC=2$,$AM=1$,$OB=\frac{1}{2}BD=4$,
∴$OM=1$,
∴$BM=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$.
解析
【分析】
本题可分两步求解：①求AM的长度：先利用菱形对边平行的性质，得到△AEM和△CBM相似，再结合相似三角形对应边成比例，以及AE与AD、AD与BC的数量关系，列出关于AM的比例式即可求解；②求BM的长度：先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角△BOM，再算出OM、OB的长度，最后用勾股定理计算BM的长即可。
【解析】
(1) 求AM的长：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD//BC$，$AD=BC$，
∴△AEM∽△CBM，
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{CB}$。
∵$AE=\frac{1}{3}AD$，$AD=BC$，
∴$AE=\frac{1}{3}BC$，即$\frac{AE}{CB}=\frac{1}{3}$，
又
∵$AC=4$，$CM=AC-AM=4-AM$，
∴$\frac{AM}{4-AM}=\frac{1}{3}$，
交叉解得：$AM=1$。
(2) 求BM的长：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$∠BOM=90°$。
∵$AC=4$，$BD=8$，
∴$OA=\frac{1}{2}×4=2$，$OB=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵$AM=1$，
∴$OM=OA-AM=2-1=1$，
在Rt△BOM中，由勾股定理可得：
$BM=\sqrt{MO^2+OB^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$。
【答案】
$AM=1$，$BM=\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何基础综合题，将菱形性质、相似三角形、勾股定理三个核心考点结合考查，解题的关键是利用菱形的平行性质得到相似三角形求线段比例，再结合对角线垂直的性质用勾股定理计算线段长，对巩固几何基础知识点有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
本题可分两步求解：①求AM的长度：先利用菱形对边平行的性质，得到△AEM和△CBM相似，再结合相似三角形对应边成比例，以及AE与AD、AD与BC的数量关系，列出关于AM的比例式即可求解；②求BM的长度：先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角△BOM，再算出OM、OB的长度，最后用勾股定理计算BM的长即可。
【解析】
(1) 求AM的长：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AD//BC$，$AD=BC$，
∴△AEM∽△CBM，
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{AE}{CB}$。
∵$AE=\frac{1}{3}AD$，$AD=BC$，
∴$AE=\frac{1}{3}BC$，即$\frac{AE}{CB}=\frac{1}{3}$，
又
∵$AC=4$，$CM=AC-AM=4-AM$，
∴$\frac{AM}{4-AM}=\frac{1}{3}$，
交叉解得：$AM=1$。
(2) 求BM的长：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴$∠BOM=90°$。
∵$AC=4$，$BD=8$，
∴$OA=\frac{1}{2}×4=2$，$OB=\frac{1}{2}×8=4$，
又
∵$AM=1$，
∴$OM=OA-AM=2-1=1$，
在Rt△BOM中，由勾股定理可得：
$BM=\sqrt{MO^2+OB^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$。
【答案】
$AM=1$，$BM=\sqrt{17}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何基础综合题，将菱形性质、相似三角形、勾股定理三个核心考点结合考查，解题的关键是利用菱形的平行性质得到相似三角形求线段比例，再结合对角线垂直的性质用勾股定理计算线段长，对巩固几何基础知识点有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
1. 三角形边的比例分割 [2026长春南关区期末] 如图，在$△ ABC$中，点$F$在$AB$上，$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，点$D$是$BC$延长线上的一点，$\frac{BC}{CD}=2$，连接$FD$与$AC$交于点$N$，则$\frac{FN}{ND}$的值为
变式题图
(1)求$AM$的长；(2)求$BM$的长。
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
。变式题图
(1)求$AM$的长；(2)求$BM$的长。
答案
$\frac{2}{3}$ 如图,过点F作$FE//BD$交AC于点E(∵要求$\frac{FN}{ND}$的值,
∴可作辅助线平行于CD,根据平行线分线段成比例求解),
∴△FEN∽△DCN,
∴$\frac{FN}{DN}=\frac{EF}{CD}$.
∵$FE//BD$,
∴△AFE∽△ABC,
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AB}$.
∵$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{3}$,
∴$FE=\frac{1}{3}BC$.
∵$\frac{BC}{CD}=2$,
∴$\frac{FN}{ND}=\frac{FE}{CD}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
要求线段比$\frac{FN}{ND}$，可通过构造平行线得到相似三角形，将待求比值转化为可通过已知条件计算的线段比。首先过点F作$FE// BD$交AC于点E，此时可得$△ FEN ∽ △ DCN$，能将$\frac{FN}{ND}$转化为$\frac{FE}{CD}$；再结合$FE// BD$可得$△ AFE ∽ △ ABC$，利用已知的$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$求出FE与BC的数量关系，最后结合$\frac{BC}{CD}=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
过点F作$FE// BD$交AC于点E，
∵$FE// BD$，
∴$∠ FEN=∠ DCN$，又$∠ FNE=∠ DNC$，
∴$△ FEN ∽ △ DCN$，
∴$\frac{FN}{ND}=\frac{FE}{CD}$。
又
∵$FE// BD$，
∴$∠ AFE=∠ B$，$∠ AEF=∠ ACB$，
∴$△ AFE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AB}$。
已知$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，则$AB=AF+BF=3AF$，即$\frac{AF}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{1}{3}$，即$FE=\frac{1}{3}BC$。
又
∵$\frac{BC}{CD}=2$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$，
将$FE=\frac{1}{3}BC$、$CD=\frac{1}{2}BC$代入$\frac{FN}{ND}=\frac{FE}{CD}$得：
$\frac{FN}{ND}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是典型的线段比例求解问题，通过构造平行线得到相似三角形，实现待求线段比与已知线段比的转化，解题核心是合理作出辅助线，熟练运用相似三角形的性质进行比例推导。
【难度系数】
0.6
要求线段比$\frac{FN}{ND}$，可通过构造平行线得到相似三角形，将待求比值转化为可通过已知条件计算的线段比。首先过点F作$FE// BD$交AC于点E，此时可得$△ FEN ∽ △ DCN$，能将$\frac{FN}{ND}$转化为$\frac{FE}{CD}$；再结合$FE// BD$可得$△ AFE ∽ △ ABC$，利用已知的$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$求出FE与BC的数量关系，最后结合$\frac{BC}{CD}=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
过点F作$FE// BD$交AC于点E，
∵$FE// BD$，
∴$∠ FEN=∠ DCN$，又$∠ FNE=∠ DNC$，
∴$△ FEN ∽ △ DCN$，
∴$\frac{FN}{ND}=\frac{FE}{CD}$。
又
∵$FE// BD$，
∴$∠ AFE=∠ B$，$∠ AEF=∠ ACB$，
∴$△ AFE ∽ △ ABC$，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AB}$。
已知$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，则$AB=AF+BF=3AF$，即$\frac{AF}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{FE}{BC}=\frac{1}{3}$，即$FE=\frac{1}{3}BC$。
又
∵$\frac{BC}{CD}=2$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC$，
将$FE=\frac{1}{3}BC$、$CD=\frac{1}{2}BC$代入$\frac{FN}{ND}=\frac{FE}{CD}$得：
$\frac{FN}{ND}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是典型的线段比例求解问题，通过构造平行线得到相似三角形，实现待求线段比与已知线段比的转化，解题核心是合理作出辅助线，熟练运用相似三角形的性质进行比例推导。
【难度系数】
0.6
13. 几何直观 图1,2,3均是由边长为1的小正方形组成的网格,图中的点A,B,C,D均在格点上.
(1)在图1中,PC:PB=
(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.
①如图2,在AB上找一点P,使AP=3;
②如图3,在BD上找一点P,使△APB∽△CPD.
答案 P27
行线转化线段的比
(1)在图1中,PC:PB=
1:3
.(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.
①如图2,在AB上找一点P,使AP=3;
②如图3,在BD上找一点P,使△APB∽△CPD.
答案 P27
行线转化线段的比
答案
解:(1)1:3
题图1中,
∵$AB//CD$,
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{3}$.
(2)①如图1,点P即为所要找的点。
②如图2,点P即为所要找的点。
解析
【分析】
(1) 观察图1可发现AB与CD平行，可证得△ABP与△DCP相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，再根据格点得到AB、CD的长度，就能求出PC与PB的比值。
(2) ①先通过勾股定理计算AB的总长度：由格点信息可知AB横向占4格、纵向占3格，因此AB=√(3²+4²)=5，要得到AP=3，即AP:PB=3:2，根据平行线分线段成比例的原理，在网格中找到将AB分为3:2的分点即可。
②要使△APB∽△CPD，已知AB//CD，因此∠ABP=∠CDP=90°，只需满足AB/CD=BP/PD即可，利用对称构造相似条件，找到对应连线与BD的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) 图1中，
∵$AB//CD$，
∴$△ ABP ∽ △ DCP$，因此$\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{AB}$，由格点可得CD=1，AB=3，因此$\frac{PC}{PB}=\frac{1}{3}$，即PC:PB=1:3。
(2) ①所求点P如下图所示：
②所求点P如下图所示：
【答案】
(1) $\boldsymbol{1:3}$
(2) ①
②
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，网格作图
【点评】
本题依托网格背景考查相似三角形的相关知识，既包含基础的比例计算，又考查动手作图能力，能有效提升几何直观素养和对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图1可发现AB与CD平行，可证得△ABP与△DCP相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，再根据格点得到AB、CD的长度，就能求出PC与PB的比值。
(2) ①先通过勾股定理计算AB的总长度：由格点信息可知AB横向占4格、纵向占3格，因此AB=√(3²+4²)=5，要得到AP=3，即AP:PB=3:2，根据平行线分线段成比例的原理，在网格中找到将AB分为3:2的分点即可。
②要使△APB∽△CPD，已知AB//CD，因此∠ABP=∠CDP=90°，只需满足AB/CD=BP/PD即可，利用对称构造相似条件，找到对应连线与BD的交点就是所求的点P。
【解析】
(1) 图1中，
∵$AB//CD$，
∴$△ ABP ∽ △ DCP$，因此$\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{AB}$，由格点可得CD=1，AB=3，因此$\frac{PC}{PB}=\frac{1}{3}$，即PC:PB=1:3。
(2) ①所求点P如下图所示：
②所求点P如下图所示：
【答案】
(1) $\boldsymbol{1:3}$
(2) ①
②
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，网格作图
【点评】
本题依托网格背景考查相似三角形的相关知识，既包含基础的比例计算，又考查动手作图能力，能有效提升几何直观素养和对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
变式 如图，$AG:GD = 4:1$，$BD:DC = 2:3$，求$\frac{AE}{EC}$的值
$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$
。答案
$\frac{8}{5}$ 解题思路:本题是已知线段的比,求线段的比,且题中不存在平行线,可考虑作辅助线构造相似三角形. 观察题中所给条件 $BD:DC = 2:3$,$AG:GD = 4:1$ 和 $△DGB$,$△CEB$,$△AGE$ 的位置,可推出需过点 $D$ 作 $AC$ 的平行线.
如图,过点 $D$ 作 $DF//CA$ 交 $BE$ 于点 $F$.
∵ $DF//CE$,
∴ $△BDF∽△BCE$,
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}$.
∵ $BD: DC = 2: 3$,
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{2}{5}$,则 $CE = \frac{5}{2}DF$.
∵ $DF//AE$,
∴ $△DFG ∽ △AEG$,
∴ $\frac{DF}{AE} = \frac{DG}{AG}$.
∵ $AG: GD = 4: 1$,
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{1}{4}$,则 $AE = 4DF$,
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{4DF}{\frac{5}{2}DF}=\frac{8}{5}$。
解析
【分析】
本题要求两条线段的比值，题目中没有现成的平行线，无法直接得到比例关系，因此考虑作辅助线构造相似三角形，建立已知线段比和待求线段比的联系。观察已知条件$AG:GD=4:1$、$BD:DC=2:3$均和点D相关，因此选择过点D作AC的平行线，交BE于点F，即可得到两组相似三角形，分别通过相似三角形的性质把$EC$和$AE$用中间量$DF$表示，最后作比消去$DF$即可得到$AE:EC$的值。
【解析】
解：过点D作$DF// CA$，交BE于点F。
1. 推导$CE$与$DF$的关系：
∵ $DF// CE$，
∴ $△ BDF ∽ △ BCE$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}$。
∵ $BD:DC=2:3$，$BC=BD+DC$，
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，整理得$CE=\frac{5}{2}DF$。
2. 推导$AE$与$DF$的关系：
∵ $DF// AE$，
∴ $△ DFG ∽ △ AEG$（平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{DG}{AG}$。
∵ $AG:GD=4:1$，
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{1}{4}$，整理得$AE=4DF$。
3. 计算待求比值：
$\frac{AE}{EC}=\frac{4DF}{\frac{5}{2}DF}=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形中线段比求解的常见题型，解题关键是通过作平行线构造相似三角形，将已知比例和待求比例通过公共中间量建立联系，消去中间量即可得到结果，需要熟练掌握构造相似的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.65
本题要求两条线段的比值，题目中没有现成的平行线，无法直接得到比例关系，因此考虑作辅助线构造相似三角形，建立已知线段比和待求线段比的联系。观察已知条件$AG:GD=4:1$、$BD:DC=2:3$均和点D相关，因此选择过点D作AC的平行线，交BE于点F，即可得到两组相似三角形，分别通过相似三角形的性质把$EC$和$AE$用中间量$DF$表示，最后作比消去$DF$即可得到$AE:EC$的值。
【解析】
解：过点D作$DF// CA$，交BE于点F。
1. 推导$CE$与$DF$的关系：
∵ $DF// CE$，
∴ $△ BDF ∽ △ BCE$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}$。
∵ $BD:DC=2:3$，$BC=BD+DC$，
∴ $\frac{DF}{CE}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，整理得$CE=\frac{5}{2}DF$。
2. 推导$AE$与$DF$的关系：
∵ $DF// AE$，
∴ $△ DFG ∽ △ AEG$（平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{DG}{AG}$。
∵ $AG:GD=4:1$，
∴ $\frac{DF}{AE}=\frac{1}{4}$，整理得$AE=4DF$。
3. 计算待求比值：
$\frac{AE}{EC}=\frac{4DF}{\frac{5}{2}DF}=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形中线段比求解的常见题型，解题关键是通过作平行线构造相似三角形，将已知比例和待求比例通过公共中间量建立联系，消去中间量即可得到结果，需要熟练掌握构造相似的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.65
2. 菱形的边及对角线的比例分割
[2025西安碑林区期中]如图, 在菱形ABCD中, EF⊥AC于点H,分别交AD,AB及CB的延长线于点E,M,F,且$\frac{AE}{FB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{AH}{AC}$的值为
[2025西安碑林区期中]如图, 在菱形ABCD中, EF⊥AC于点H,分别交AD,AB及CB的延长线于点E,M,F,且$\frac{AE}{FB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{AH}{AC}$的值为
$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
.答案
$\frac{1}{5}$ 如图,连接BD.
∵四边形ABCD为菱形,
∴$AC⊥BD$,$AD=BC$,$AD//BC$.
∵$EF⊥AC$,
∴$EF//BD$.
∵$DE//BF$,
∴四边形BDEF为平行四边形,
∴$DE=BF$.
∵$\frac{AE}{FB}=\frac{2}{3}$,
∴设 $AE = 2x$,则 $FB = DE = 3x$,
∴ $AD = BC = 5x$,
∴ $CF = FB + BC = 3x + 5x = 8x$,
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{2x}{8x}=\frac{1}{4}$.
∵ $AE//CF$,
∴ $△AEH ∽ △CFH$,
∴ $\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{CF}=\frac{1}{4}$,
∴ $\frac{AH}{AC}=\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对角线互相垂直，且对边平行且相等，已知EF⊥AC，可通过连接对角线BD，得到EF//BD；再由AD//BC，可判定四边形BDEF是平行四边形，得到DE=FB，将已知的线段比例转化为AE与DE的比例关系；接着观察到AE//CF，可得到△AEH∽△CFH，利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AH与AC的比值。计算时可通过设参数的方式简化比例运算，避免出错。
【解析】
如图，连接BD。
∵四边形ABCD为菱形，
∴$AC⊥BD$，$AD=BC$，$AD//BC$。
∵$EF⊥AC$，
∴$EF//BD$。
又
∵$DE//BF$，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴$DE=BF$。
∵$\frac{AE}{FB}=\frac{2}{3}$，
∴设 $AE = 2x$，则 $FB = DE = 3x$，
∴ $AD = BC = AE+DE=2x+3x=5x$，
∴ $CF = FB + BC = 3x + 5x = 8x$，
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{2x}{8x}=\frac{1}{4}$。
∵ $AE//CF$，
∴ $△AEH ∽ △CFH$，
∴ $\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{CF}=\frac{1}{4}$，
∴ $\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是几何比例计算的典型题型，综合考查了特殊四边形和相似三角形的相关知识，解题的关键是合理添加辅助线构造平行线，结合参数法处理比例关系，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合菱形的性质思考：菱形的对角线互相垂直，且对边平行且相等，已知EF⊥AC，可通过连接对角线BD，得到EF//BD；再由AD//BC，可判定四边形BDEF是平行四边形，得到DE=FB，将已知的线段比例转化为AE与DE的比例关系；接着观察到AE//CF，可得到△AEH∽△CFH，利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AH与AC的比值。计算时可通过设参数的方式简化比例运算，避免出错。
【解析】
如图，连接BD。
∵四边形ABCD为菱形，
∴$AC⊥BD$，$AD=BC$，$AD//BC$。
∵$EF⊥AC$，
∴$EF//BD$。
又
∵$DE//BF$，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴$DE=BF$。
∵$\frac{AE}{FB}=\frac{2}{3}$，
∴设 $AE = 2x$，则 $FB = DE = 3x$，
∴ $AD = BC = AE+DE=2x+3x=5x$，
∴ $CF = FB + BC = 3x + 5x = 8x$，
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{2x}{8x}=\frac{1}{4}$。
∵ $AE//CF$，
∴ $△AEH ∽ △CFH$，
∴ $\frac{AH}{CH}=\frac{AE}{CF}=\frac{1}{4}$，
∴ $\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是几何比例计算的典型题型，综合考查了特殊四边形和相似三角形的相关知识，解题的关键是合理添加辅助线构造平行线，结合参数法处理比例关系，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
