10.「2025浙江杭州萧山月考，★★★」某校数学课外小组在坐标纸上为某湿地公园设计植树方案如下:第$k$棵树种在点$P_k(x_k,y_k)$处,其中$x_1=1,y_1=1$,且$k≥2$时,

$[a]$表示非负实数$a$的整数部分,例如$[2.3]=2,[0.5]=0$,按此方案,第2024棵树所在的种植点的坐标为
()

A.$(5,2024)$
B.$(2024,4)$
C.$(506,4)$
D.$(3,506)$

10.C 由题意可知$ P_1(1,1) ,P_2(1,2) ,P_3(1,3) ,P_4(1,4) $,
$ P_5(2,1) ,P_6(2,2) ,P_7(2,3) ,P_8(2,4) $,……,
找规律可知,点$ P_{2024} $的横坐标是$ \dfrac{2\ 024}{4}=506 $,纵坐标每4个为一个循环组,
∵$ 2\ 024÷4=506 $,
∴ 点$ P_{2024} $的纵坐标是 4,
∴$ P_{2024}(506,4) $,故选 C.

11.「★☆☆」在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为$(x,y)$,且$x,y$满足$(x-5)^2 + |y+7| = 0$,则点P在第象限.

11.答案 四
解析 $ \because (x-5)^2+|y+7|=0 $,
$ \therefore x-5=0,y+7=0, \therefore x=5,y=-7 $,
$ \therefore $ 点$ P $的坐标为$ (5,-7) $,
∴ 点$ P $在第四象限.

12.「2026上海静安期末，★☆」如图，某海域有三个小岛A,B,O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东$60°$的方向上，观测到小岛B在它南偏东$38°$的方向上，则$∠ AOB$的度数是。

12.答案 $ 82° $
解析 如图,由题意可知$ ∠ AON=60° $, $ ∠ BOS=38° $,
$ \therefore ∠ AOB=180°-38°-60°=82° $.

13.「2026广东广州期末，★★☆」剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变化.如图所示的是一张蕴含着轴对称变化的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，若点A,B,C的坐标分别为(2,0),(4,0),(0.5,4)，则点D的坐标为.

13.答案 $ (5.5,4) $
解析 $ \because A(2,0) $与$ B(4,0) $对称,
∴ 该图形的对称轴为直线$ x=\dfrac{2+4}{2}=3 $(直线上所有点的横坐标均为3),
∵$ C(0.5,4) $,
∴ 点$ D $的横坐标为$ 2×3-0.5=5.5 $,纵坐标为 4,
∴ 点$ D $的坐标为$ (5.5,4) $.

14.「2026云南昆明十四中月考，★★☆」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A$的坐标为$(0,6)$,过点$A$作$x$轴的平行线,交第一象限角平分线于点$B$,则点$B$的坐标为.

14.答案 $ (6,6) $
解析 $ \because $ 点$ A(0,6) $, $ AB// x $轴,
∴ 点$ B $的纵坐标为 6.
∵ 点$ B $在第一象限的角平分线上,
∴ 点$ B $的横坐标和纵坐标相等,
∴ 点$ B $的坐标为$ (6,6) $.

15.「2025广东广州天河中学期末，★★☆」在平面直角坐标系中，已知点A(-1,3),B(5,3),若C是y轴上的一点,且∠ACB=90°,则满足条件的点C的坐标为.

15.答案 $ (0,3+\sqrt{5}) $或$ (0,3-\sqrt{5}) $
解析 $ \because A(-1,3) ,B(5,3) $,
∴$ AB// x $轴, $ AB=5-(-1)=5+1=6 $,
∵$ ∠ ACB=90° $,
∴$ AC^2+BC^2=AB^2=36 $,
∵ 点$ C $在$ y $轴上,
∴ 设点$ C $的坐标为$ (0,m) $,
∴$ AC^2=1^2+(3-m)^2 $, $ BC^2=5^2+(3-m)^2 $,
∴$ 1+(3-m)^2+25+(3-m)^2=36 $,
∴$ (3-m)^2=5 $,
∴$ 3-m=\pm\sqrt{5} $,
∴$ m=3+\sqrt{5} $或$ 3-\sqrt{5} $,
∴ 点$ C $的坐标为$ (0,3+\sqrt{5}) $或$ (0,3-\sqrt{5}) $.

16.「2026江西抚州月考，★★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,4),过点A分别作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,点D在射线AB上.将△CAD沿直线CD翻折,使点A恰好落在坐标轴上,则点D的坐标为。

16.答案 $ (5,\dfrac{3}{2}) $或$ (5,-1) $或$ (5,-6) $
解析 分情况讨论:①如图1,设翻折之后点$ A $落在点$ E $处,设$ DB = m $,由题意可得$ OB = CA = 5 $, $ OC = AB = 4 $,
∵$ △ CED $与$ △ CAD $关于直线$ CD $对称,
∴$ CE = CA = 5 $, $ DE = DA = 4-m $,在$ \mathrm{Rt}△ COE $中,由勾股定理可得$ OE = \sqrt{5^2-4^2}=3 $,
∴$ BE = 5-3 = 2 $,在$ \mathrm{Rt}△ DEB $中, $ ∠ DBE = 90° $,由勾股定理可得$ DE^2 = DB^2 + BE^2 $,即$ (4-m)^2 = m^2+2^2 $,解得$ m=\dfrac{3}{2} $,
∴ 点$ D $的坐标为$ (5,\dfrac{3}{2}) $.

②如图2,设翻折之后点$ A $落在点$ F $处,由题意可知$ CF=CA=5 $,易得$ AD=CF=5 $,
∴$ DB=5-4=1 $,
∴ 点$ D $的坐标为$ (5,-1) $.

③如图3,设翻折之后点$ A $落在点$ G $处,由题意得$ CG=CA=5 $,在$ \mathrm{Rt}△ CGO $中,由勾股定理得$ OG=\sqrt{CG^2-CO^2}=3 $,则$ BG=3+5=8 $,设$ BD=m $,则$ AD=m+4 $,在$ \mathrm{Rt}△ DBG $中,由勾股定理可得$ BD^2+BG^2=DG^2=AD^2 $,
∴$ m^2+8^2=(m+4)^2 $,解得$ m=6 $,
∴ 点$ D $的坐标为$ (5,-6) $.

综上,点$ D $的坐标为$ (5,\dfrac{3}{2}) $或$ (5,-1) $或$ (5,-6) $.