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6.(2024·雅安)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为$30°$,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为$60°$,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计) ()
A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
答案
A
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，解题思路如下：1. 观察图形可知存在共直角边CD的两个直角三角形$Rt△ ACD$和$Rt△ BCD$，已知$AB=50$米，$∠ A=30°$，$∠ DBC=60°$；2. 可先利用三角形外角性质推导$∠ ADB$的度数，得到$△ ABD$为等腰三角形，推出$BD=AB=50$米，再在$Rt△ BCD$中利用特殊角的三角函数求$CD$；也可设$CD$为未知数，分别表示出$AC$、$BC$的长度，利用$AC-BC=AB$列方程求解。
【解析】
解：由题意得$∠ C=90°$，$AB=50$米，$∠ A=30°$，$∠ DBC=60°$。
∵ $∠ DBC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADB=∠ DBC-∠ A=60°-30°=30°$，
∴ $∠ A=∠ ADB$，
∴ $BD=AB=50$米。
在$Rt△ BCD$中，$\sin60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $CD=BD·\sin60°=50×\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$米。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，结合实际测量场景考查直角三角形边角关系的应用能力，解题关键是找到角度、边长之间的关联，解题思路固定，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的仰角应用问题，解题思路如下：1. 观察图形可知存在共直角边CD的两个直角三角形$Rt△ ACD$和$Rt△ BCD$，已知$AB=50$米，$∠ A=30°$，$∠ DBC=60°$；2. 可先利用三角形外角性质推导$∠ ADB$的度数，得到$△ ABD$为等腰三角形，推出$BD=AB=50$米，再在$Rt△ BCD$中利用特殊角的三角函数求$CD$；也可设$CD$为未知数，分别表示出$AC$、$BC$的长度，利用$AC-BC=AB$列方程求解。
【解析】
解：由题意得$∠ C=90°$，$AB=50$米，$∠ A=30°$，$∠ DBC=60°$。
∵ $∠ DBC$是$△ ABD$的外角，
∴ $∠ ADB=∠ DBC-∠ A=60°-30°=30°$，
∴ $∠ A=∠ ADB$，
∴ $BD=AB=50$米。
在$Rt△ BCD$中，$\sin60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $CD=BD·\sin60°=50×\frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$米。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，结合实际测量场景考查直角三角形边角关系的应用能力，解题关键是找到角度、边长之间的关联，解题思路固定，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图5,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=5$,$BC=3$,将$△ BCD$沿$BD$折叠到$△ BED$的位置,$DE$交$AB$于点$F$,则$\cos∠ ADF$的值为 ()
A.$\dfrac{8}{17}$
B.$\dfrac{7}{15}$
C.$\dfrac{15}{17}$
D.$\dfrac{8}{15}$
A.$\dfrac{8}{17}$
B.$\dfrac{7}{15}$
C.$\dfrac{15}{17}$
D.$\dfrac{8}{15}$
答案
C
解析
【分析】
本题是矩形折叠结合锐角三角函数的综合题，解题思路如下：首先利用矩形对边平行的性质和折叠前后对应角相等的性质，推导得到相等的角，进而推出△FBD为等腰三角形，得到FD=FB；其次设未知数表示相关线段长度，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求解FD的长度；最后根据锐角余弦的定义（邻边比斜边）计算∠ADF的余弦值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB//CD，∠A=90°，AD=BC=3，AB=CD=5
∴∠CDB=∠ABD
由折叠的性质可得：∠CDB=∠FDB
∴∠FDB=∠ABD，即FB=FD
设AF=x，则FB=AB-AF=5-x，因此FD=5-x
在Rt△ADF中，根据勾股定理有：
$AD^2 + AF^2 = FD^2$
代入数值得：$3^2 + x^2 = (5-x)^2$
展开化简：$9 + x^2 = 25 - 10x + x^2$
消去$x^2$后解得：$10x=16$，$x=\frac{8}{5}$
∴$FD=5-\frac{8}{5}=\frac{17}{5}$
根据余弦的定义：$\cos∠ADF=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AD}{FD}=\frac{3}{\frac{17}{5}}=\frac{15}{17}$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查折叠变换的性质和锐角三角函数的计算，解题的关键是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，再结合勾股定理求出待求角所在直角三角形的边长，是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是矩形折叠结合锐角三角函数的综合题，解题思路如下：首先利用矩形对边平行的性质和折叠前后对应角相等的性质，推导得到相等的角，进而推出△FBD为等腰三角形，得到FD=FB；其次设未知数表示相关线段长度，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程求解FD的长度；最后根据锐角余弦的定义（邻边比斜边）计算∠ADF的余弦值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AB//CD，∠A=90°，AD=BC=3，AB=CD=5
∴∠CDB=∠ABD
由折叠的性质可得：∠CDB=∠FDB
∴∠FDB=∠ABD，即FB=FD
设AF=x，则FB=AB-AF=5-x，因此FD=5-x
在Rt△ADF中，根据勾股定理有：
$AD^2 + AF^2 = FD^2$
代入数值得：$3^2 + x^2 = (5-x)^2$
展开化简：$9 + x^2 = 25 - 10x + x^2$
消去$x^2$后解得：$10x=16$，$x=\frac{8}{5}$
∴$FD=5-\frac{8}{5}=\frac{17}{5}$
根据余弦的定义：$\cos∠ADF=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AD}{FD}=\frac{3}{\frac{17}{5}}=\frac{15}{17}$
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查折叠变换的性质和锐角三角函数的计算，解题的关键是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，再结合勾股定理求出待求角所在直角三角形的边长，是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图6,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于点P。若P(1,1),则$\tan∠ OAP$的值是 ()
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.3
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.3
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用OP平行AB的性质，得到两条直线斜率相等，据此设出直线AB的解析式，得到A、B两点的含参坐标；再结合OC与BC的比例关系求出C点坐标，进而推导直线AC的解析式；由于P点在AC的延长线上，将P点坐标代入AC解析式即可求出参数值，确定A点坐标；最后过P作x轴的垂线，根据正切的定义，用对边比邻边即可求出tan∠OAP的值。
【解析】
1. 求直线OP的斜率：已知O为坐标原点，P(1,1)，则直线OP的斜率$k_{OP}=\frac{1-0}{1-0}=1$。
2. 由$OP// AB$，得直线AB的斜率与OP相等，即$k_{AB}=1$。设直线AB的解析式为$y=x+b$（$b＞0$）：
令$y=0$，得$x=-b$，故A点坐标为$(-b,0)$；
令$x=0$，得$y=b$，故B点坐标为$(0,b)$。
3. 由$OC:BC=1:2$，得$OC=\frac{1}{1+2}OB=\frac{b}{3}$，故C点坐标为$(0,\frac{b}{3})$。
4. 设直线AC的解析式为$y=kx+m$，代入A$(-b,0)$、C$(0,\frac{b}{3})$：
代入C点得$m=\frac{b}{3}$；
代入A点得$0=-kb+\frac{b}{3}$，解得$k=\frac{1}{3}$，因此直线AC解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{b}{3}$。
5. 由于P$(1,1)$在直线AC上，将坐标代入解析式得：$1=\frac{1}{3}×1+\frac{b}{3}$，解得$b=2$，因此A点坐标为$(-2,0)$。
6. 过P作$PQ⊥ x$轴于Q，则Q点坐标为$(1,0)$，可得$AQ=1-(-2)=3$，$PQ=1$。
在$Rt△ APQ$中，$\tan∠ OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、一次函数解析式求解、正切的定义
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与锐角三角函数的结合应用，解题的核心是通过平行关系建立直线联系，结合点在直线上的性质求出未知点坐标，再利用三角函数的定义计算，解题思路较为常规，注重对坐标法解几何问题的能力考查。
【难度系数】
0.6
解题时先利用OP平行AB的性质，得到两条直线斜率相等，据此设出直线AB的解析式，得到A、B两点的含参坐标；再结合OC与BC的比例关系求出C点坐标，进而推导直线AC的解析式；由于P点在AC的延长线上，将P点坐标代入AC解析式即可求出参数值，确定A点坐标；最后过P作x轴的垂线，根据正切的定义，用对边比邻边即可求出tan∠OAP的值。
【解析】
1. 求直线OP的斜率：已知O为坐标原点，P(1,1)，则直线OP的斜率$k_{OP}=\frac{1-0}{1-0}=1$。
2. 由$OP// AB$，得直线AB的斜率与OP相等，即$k_{AB}=1$。设直线AB的解析式为$y=x+b$（$b＞0$）：
令$y=0$，得$x=-b$，故A点坐标为$(-b,0)$；
令$x=0$，得$y=b$，故B点坐标为$(0,b)$。
3. 由$OC:BC=1:2$，得$OC=\frac{1}{1+2}OB=\frac{b}{3}$，故C点坐标为$(0,\frac{b}{3})$。
4. 设直线AC的解析式为$y=kx+m$，代入A$(-b,0)$、C$(0,\frac{b}{3})$：
代入C点得$m=\frac{b}{3}$；
代入A点得$0=-kb+\frac{b}{3}$，解得$k=\frac{1}{3}$，因此直线AC解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{b}{3}$。
5. 由于P$(1,1)$在直线AC上，将坐标代入解析式得：$1=\frac{1}{3}×1+\frac{b}{3}$，解得$b=2$，因此A点坐标为$(-2,0)$。
6. 过P作$PQ⊥ x$轴于Q，则Q点坐标为$(1,0)$，可得$AQ=1-(-2)=3$，$PQ=1$。
在$Rt△ APQ$中，$\tan∠ OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、一次函数解析式求解、正切的定义
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与锐角三角函数的结合应用，解题的核心是通过平行关系建立直线联系，结合点在直线上的性质求出未知点坐标，再利用三角函数的定义计算，解题思路较为常规，注重对坐标法解几何问题的能力考查。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 已知$\cos59°24'\approx0.509$,则$\sin30°36'\approx$。
9. 已知$\cos59°24'\approx0.509$,则$\sin30°36'\approx$。
答案
$\boldsymbol{0.509}$
解析
【分析】
解题时首先回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即$\sinα=\cos(90°-α)$。首先判断所求的$\sin30°36'$中角度$30°36'$的余角是否为题目给出的已知余弦值对应的角度，先计算$90°-30°36'$，发现结果恰好是$59°24'$，即可直接代入已知的$\cos59°24'$的近似值得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系：$\sinα = \cos(90° - α)$
首先计算$30°36'$的余角：
$90° - 30°36' = 89°60' - 30°36' = 59°24'$
因此$\sin30°36' = \cos(90° - 30°36') = \cos59°24'$
已知$\cos59°24'\approx0.509$，所以$\sin30°36'\approx0.509$
【答案】
$\boldsymbol{0.509}$
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 度分换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余锐角的三角函数转换规律，解题的关键是快速识别两个角度的互余关系，熟练掌握相关三角函数性质即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即$\sinα=\cos(90°-α)$。首先判断所求的$\sin30°36'$中角度$30°36'$的余角是否为题目给出的已知余弦值对应的角度，先计算$90°-30°36'$，发现结果恰好是$59°24'$，即可直接代入已知的$\cos59°24'$的近似值得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系：$\sinα = \cos(90° - α)$
首先计算$30°36'$的余角：
$90° - 30°36' = 89°60' - 30°36' = 59°24'$
因此$\sin30°36' = \cos(90° - 30°36') = \cos59°24'$
已知$\cos59°24'\approx0.509$，所以$\sin30°36'\approx0.509$
【答案】
$\boldsymbol{0.509}$
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 度分换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余锐角的三角函数转换规律，解题的关键是快速识别两个角度的互余关系，熟练掌握相关三角函数性质即可快速得分。
【难度系数】
0.85
10. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$D,E$分别是$AC,AB$边的中点，若$DE=3,AC=8$，则$\cos B$的值是________。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$
解析
【分析】
解题时首先观察到D、E是三角形两边的中点，可优先运用三角形中位线定理求出BC的长度；再结合△ABC是直角三角形的条件，用勾股定理算出斜边AB的长度；最后根据余弦的定义，即锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，代入对应数值即可求出cosB的值。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=3$，则$BC=2DE=2×3=6$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础类综合题，将三角形中位线、直角三角形勾股定理和锐角三角函数的知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础定理和三角函数的定义，整体计算量小，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到D、E是三角形两边的中点，可优先运用三角形中位线定理求出BC的长度；再结合△ABC是直角三角形的条件，用勾股定理算出斜边AB的长度；最后根据余弦的定义，即锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，代入对应数值即可求出cosB的值。
【解析】
解：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=3$，则$BC=2DE=2×3=6$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
根据锐角余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{3}{5}}$
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题是基础类综合题，将三角形中位线、直角三角形勾股定理和锐角三角函数的知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握各基础定理和三角函数的定义，整体计算量小，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图7,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,若将$△ ACB$绕着点A逆时针旋转得到$△ AC'B'$,则$\tan B'$的值为。
答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的旋转条件入手，回忆旋转的性质：旋转前后对应角相等，因此∠B'=∠B，可将求tanB'的问题转化为求原△ABC中∠B的正切值。接下来根据正切的定义，需要构造包含∠B的直角三角形，结合网格特征，过点C作AB的垂线得到直角三角形，数小格得到∠B的对边和邻边长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：
∵将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC'B'，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴∠B' = ∠B。
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，由网格可得：CD=1，BD=3。
在Rt△BCD中，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}} = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{3}$
∴$\tan B' = \tan B = \frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
旋转的性质，正切的定义
【点评】
本题将旋转和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是利用旋转的性质实现角的转化，再结合网格构造直角三角形求解，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的旋转条件入手，回忆旋转的性质：旋转前后对应角相等，因此∠B'=∠B，可将求tanB'的问题转化为求原△ABC中∠B的正切值。接下来根据正切的定义，需要构造包含∠B的直角三角形，结合网格特征，过点C作AB的垂线得到直角三角形，数小格得到∠B的对边和邻边长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
解：
∵将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC'B'，根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，
∴∠B' = ∠B。
设每个小正方形的边长为1，过点C作CD⊥AB，垂足为D，由网格可得：CD=1，BD=3。
在Rt△BCD中，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}} = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{3}$
∴$\tan B' = \tan B = \frac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
旋转的性质，正切的定义
【点评】
本题将旋转和锐角三角函数结合考查，解题的突破口是利用旋转的性质实现角的转化，再结合网格构造直角三角形求解，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
12. 已知$\sqrt{2}+1$是方程$x^2-(3\tanθ)x+\sqrt{2}=0$的一个根，$θ$是三角形中的一个锐角，那么$\cosθ$的值为。图7
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于tanθ的等式，求解得出tanθ的数值；再结合θ是锐角的条件，确定θ的角度，最后根据特殊角的三角函数值即可求出cosθ的值。
【解析】
∵ $\sqrt{2}+1$是方程$x^2-(3\tanθ)x+\sqrt{2}=0$的一个根，
∴ 将$x=\sqrt{2}+1$代入方程，得：
$(\sqrt{2}+1)^2 - 3\tanθ · (\sqrt{2}+1) + \sqrt{2} = 0$
展开并整理：
$3 + 2\sqrt{2} - 3\tanθ(\sqrt{2}+1) + \sqrt{2} = 0$
$3 + 3\sqrt{2} = 3\tanθ(\sqrt{2}+1)$
提取公因式得：
$3(\sqrt{2}+1) = 3\tanθ(\sqrt{2}+1)$
∵ $\sqrt{2}+1 ≠ 0$，两边同时除以$3(\sqrt{2}+1)$，得：
$\tanθ = 1$
又
∵ θ是三角形中的锐角，
∴ $θ = 45°$
∴ $\cosθ = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的意义
2. 特殊角的三角函数值
3. 锐角三角函数性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和锐角三角函数知识结合考查，解题的核心是熟练运用方程根的定义求出tanθ的值，再结合特殊角的三角函数值即可快速得到结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于tanθ的等式，求解得出tanθ的数值；再结合θ是锐角的条件，确定θ的角度，最后根据特殊角的三角函数值即可求出cosθ的值。
【解析】
∵ $\sqrt{2}+1$是方程$x^2-(3\tanθ)x+\sqrt{2}=0$的一个根，
∴ 将$x=\sqrt{2}+1$代入方程，得：
$(\sqrt{2}+1)^2 - 3\tanθ · (\sqrt{2}+1) + \sqrt{2} = 0$
展开并整理：
$3 + 2\sqrt{2} - 3\tanθ(\sqrt{2}+1) + \sqrt{2} = 0$
$3 + 3\sqrt{2} = 3\tanθ(\sqrt{2}+1)$
提取公因式得：
$3(\sqrt{2}+1) = 3\tanθ(\sqrt{2}+1)$
∵ $\sqrt{2}+1 ≠ 0$，两边同时除以$3(\sqrt{2}+1)$，得：
$\tanθ = 1$
又
∵ θ是三角形中的锐角，
∴ $θ = 45°$
∴ $\cosθ = \cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的意义
2. 特殊角的三角函数值
3. 锐角三角函数性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和锐角三角函数知识结合考查，解题的核心是熟练运用方程根的定义求出tanθ的值，再结合特殊角的三角函数值即可快速得到结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
