5. 从一个边长为a的正方形纸片(如图7①)上剪去两个相同的小长方形,得到一个美术字“5”的图案(如图7②),再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形(如图7③).

(1)求新长方形的周长(用含有a,b的式子表示);
(2)求美术字“5”的图案的面积(用含有a,b的式子表示);
(3)若a=8,剪去的小长方形的宽为1,求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积.

解：
(1) 由图可得新长方形的长为$a-b$，宽为$a-2b$，
新长方形的周长为：
$2[(a-b)+(a-2b)]=2(2a-3b)=4a-6b$。
(2) 原正方形的面积为$a^2$，两个剪下的小长方形的面积和为$(a-b)(a-2b)$，
美术字“5”的图案的面积为：
$a^2-(a-b)(a-2b)=a^2-(a^2-3ab+2b^2)=3ab-2b^2$。
(3) 由题意得剪去的小长方形的宽为$\frac{a-2b}{2}=1$，
将$a=8$代入得$\frac{8-2b}{2}=1$，解得$b=3$。
新长方形的周长为：$4a-6b=4×8-6×3=14$，
美术字“5”的图案的面积为：$3ab-2b^2=3×8×3-2×3^2=54$。
答：新长方形的周长为14，美术字“5”的图案的面积为54。

【分析】
(1) 先观察图形确定剪下的小长方形的尺寸：由图②可知小长方形的长为$a-b$，两个小长方形的宽之和为$a-2b$，因此拼成的新长方形长为$a-b$、宽为$a-2b$，再根据长方形周长公式计算即可。
(2) 美术字“5”的面积用割补法求解：用原正方形的面积减去两个剪下的小长方形的总面积（即新长方形的面积），代入对应代数式化简即可。
(3) 先根据“小长方形的宽为1”，结合小长方形宽为$\frac{a-2b}{2}$，代入$a=8$求出$b$的值，再将$a$、$b$的值分别代入(1)(2)的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可得新长方形的长为$a-b$，宽为$a-2b$，
新长方形的周长为：
$2[(a-b)+(a-2b)]=2(2a-3b)=4a-6b$。
(2) 原正方形的面积为$a^2$，两个剪下的小长方形的面积和为$(a-b)(a-2b)$，
美术字“5”的图案的面积为：
$a^2-(a-b)(a-2b)=a^2-(a^2-3ab+2b^2)=3ab-2b^2$。
(3) 由题意得剪去的小长方形的宽为$\frac{a-2b}{2}=1$，
将$a=8$代入得$\frac{8-2b}{2}=1$，解得$b=3$。
新长方形的周长为：$4a-6b=4×8-6×3=14$，
美术字“5”的图案的面积为：$3ab-2b^2=3×8×3-2×3^2=54$。
【答案】
(1) 新长方形的周长为$4a-6b$；
(2) 美术字“5”的图案的面积为$3ab-2b^2$；
(3) 新长方形的周长为14，美术字“5”的图案的面积为54。
【知识点】
列代数式；整式的运算；代数式求值
【点评】
本题结合图形考查整式的实际应用，解题关键是准确从图形中提取各线段的长度关系，掌握割补法求不规则图形面积的方法，同时能熟练进行整式化简和代入求值运算，可锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7