1. 把$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$分解因式的结果是()

A.$(a^2 + 1 - 4a)^2$
B.$(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 - 2a)$
C.$(a + 1)^2(a - 1)^2$
D.$(a^2 - 1)^2$

1.C

2.小敏做了如下四道分解因式题:你认为她做得不完整的是()

A.$a^3 - a = a(a^2 - 1)$
B.$m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$
C.$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
D.$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

2.A

3.已知$m^2 + n^2 + 10 = 6m - 2n$，则$m - n=$.

3.4 点拨:$m^2 + n^2 + 10 = 6m - 2n$,$\therefore m^2 + n^2 + 10 - 6m + 2n = 0$,即$(m-3)^2 + (n+1)^2 = 0$,$\therefore m=3$,$n=-1$,$\therefore m-n=3-(-1)=4$.

4.分解因式：
(1)$x^2y^2 + xy + \frac{1}{4}$；
(2)$36(m+n)^2 -12(m^2 -n^2)+(m-n)^2$.

4.解:(1)原式$=(xy)^2 + 2×\frac{1}{2}xy + (\frac{1}{2})^2$
$=(xy+\frac{1}{2})^2$.
(2)原式$=[6(m+n)-(m-n)]^2$
$=(6m+6n-m+n)^2$
$=(5m+7n)^2$.

5.若一个三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2+2b^2+c^2=2ab+2bc$，试判断该三角形的形状.

5.解:$\because a^2 + 2b^2 + c^2 = 2ab + 2bc$,
$\therefore a^2 + c^2 + 2b^2 - 2ab - 2bc = 0$,
$\therefore (a^2 + b^2 - 2ab) + (c^2 + b^2 - 2bc) = 0$,
$\therefore (a-b)^2 + (b-c)^2 = 0$.
由平方的非负性,可知$\begin{cases} a-b=0, \\ b-c=0, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} a=b, \\ b=c, \end{cases}$
$\therefore a=b=c$,$\therefore$该三角形是等边三角形.

【阅读理解】已知二次三项式$x^2 - 4x + m$有一个因式是$x+3$，求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$x+n$,得$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$,
则$x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$. $\therefore n+3=-4,m=3n$.
解得$n=-7,m=-21$. $\therefore$另一个因式为$x-7,m$的值为$-21$.
(1)若二次三项式$x^2 -5x +6$可分解为$(x-2)·(x+a)$,则$a=$.
(2)若二次三项式$2x^2 +bx -5$可分解为$(2x-1)(x+5)$,则$b=$.
(3)仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式$2x^2 +5x -k$有一个因式是$2x-3$,求另一个因式以及$k$的值.

解:(1)$-3$ (2)$9$
(3)设另一个因式为$x+n$,
得$2x^2 +5x -k=(2x-3)(x+n)$,
$\therefore 2x^2 +5x -k=2x^2 +(2n-3)x -3n$.
$\therefore \begin{cases} 2n-3=5, \\ 3n=k, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} n=4, \\ k=12. \end{cases}$
即另一个因式为$x+4$,$k=12$.