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6 如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G. 下列结论错误的是 （
A.若$\frac{CE}{CF}=\frac{AD}{AB}$，则$EF// BD$
B.若$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，$AE=AF$，则$EF// BD$
C.若$EF// BD$，$CE=CF$，则$∠ EAC=∠ FAC$
D.若$AB=AD$，$AE=AF$，则$EF// BD$
D
）A.若$\frac{CE}{CF}=\frac{AD}{AB}$，则$EF// BD$
B.若$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，$AE=AF$，则$EF// BD$
C.若$EF// BD$，$CE=CF$，则$∠ EAC=∠ FAC$
D.若$AB=AD$，$AE=AF$，则$EF// BD$
答案
6. D
7 如图，在$△ ABC$中，D为BC上一点，$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，则$AD:AC$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
7. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
8 分类讨论思想 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，$D$为$AB$的中点。若点$E$在边$AC$上，且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，则$AE$的长为
1或2
。答案
8. 1或2
9 如图，点C，D在线段AB上，$△ PCD$是等边三角形.
（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，$△ ACP ∽ △ PDB$？请说明理由.
（2）当$△ ACP ∽ △ PDB$时，求$∠ APB$的度数.
（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，$△ ACP ∽ △ PDB$？请说明理由.
（2）当$△ ACP ∽ △ PDB$时，求$∠ APB$的度数.
答案
9. (1) 当 AC,CD,DB 满足 $CD^2 = AC · DB$ 时,△ACP∽△PDB 理由:
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ ∠PCD=∠PDC=60°,PD=CD=CP.
∴ ∠ACP=∠PDB=120°.
∴ 当$\frac{AC}{PD}=\frac{CP}{DB}$,即$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DB}$时,△ACP∽△PDB.
∴ 当 $CD^2=AC · DB$ 时,△ACP∽△PDB.
(2)
∵ △ACP∽△PDB,
∴ ∠A=∠BPD.
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ ∠CPD=∠DCP=60°.
∴ ∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=∠APC+∠CPD+∠A=∠DCP+∠CPD=120°
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ ∠PCD=∠PDC=60°,PD=CD=CP.
∴ ∠ACP=∠PDB=120°.
∴ 当$\frac{AC}{PD}=\frac{CP}{DB}$,即$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DB}$时,△ACP∽△PDB.
∴ 当 $CD^2=AC · DB$ 时,△ACP∽△PDB.
(2)
∵ △ACP∽△PDB,
∴ ∠A=∠BPD.
∵ △PCD 是等边三角形,
∴ ∠CPD=∠DCP=60°.
∴ ∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=∠APC+∠CPD+∠A=∠DCP+∠CPD=120°
10 [2026 烟台改编]【尝试发现】
（1）如图①，$△ ABC ∽ △ ADE$，$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$。当点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上时，$\frac{BD}{CE}$的值是
【变式探究】
（2）如图②，将（1）中的$△ ADE$绕点 A 按逆时针方向旋转一定的角度，其他条件不变，连接 CE，BD，AC 与 BD 交于点 O，CE 与 BD 的延长线交于点 F。
① 求$\frac{BD}{CE}$的值；
② 写出$∠ BAC$和$∠ BFC$的数量关系并证明。
（1）如图①，$△ ABC ∽ △ ADE$，$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$。当点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上时，$\frac{BD}{CE}$的值是
$\frac{2}{3}$
。【变式探究】
（2）如图②，将（1）中的$△ ADE$绕点 A 按逆时针方向旋转一定的角度，其他条件不变，连接 CE，BD，AC 与 BD 交于点 O，CE 与 BD 的延长线交于点 F。
① 求$\frac{BD}{CE}$的值；
② 写出$∠ BAC$和$∠ BFC$的数量关系并证明。
答案
10. (1) $\frac{2}{3}$ 【解析】
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$.
∴ $AD=\frac{2}{3}AE$,$AB=\frac{2}{3}AC$.
∵ 点 D,E 分别在边 AB 和 AC 上,
∴ BD=AB-AD,CE=AC-AE.
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB-AD}{AC-AE}=\frac{\frac{2}{3}AC-\frac{2}{3}AE}{AC-AE}=\frac{\frac{2}{3}(AC-AE)}{AC-AE}=\frac{2}{3}$.
(2) ①
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,∠BAC=∠DAE.
∴ ∠BAC+∠CAD = ∠DAE + ∠CAD, $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{2}{3}$.
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD∽△CAE.
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$
② ∠BAC = ∠BFC
∵ △BAD ∽△CAE,
∴ ∠ABD=∠ACE.又
∵ ∠AOB=∠COF,
∴ 180°-∠ABD-∠AOB=180°-∠ACE-∠COF,即∠BAC=∠BFC
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$.
∴ $AD=\frac{2}{3}AE$,$AB=\frac{2}{3}AC$.
∵ 点 D,E 分别在边 AB 和 AC 上,
∴ BD=AB-AD,CE=AC-AE.
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB-AD}{AC-AE}=\frac{\frac{2}{3}AC-\frac{2}{3}AE}{AC-AE}=\frac{\frac{2}{3}(AC-AE)}{AC-AE}=\frac{2}{3}$.
(2) ①
∵ △ABC∽△ADE,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,∠BAC=∠DAE.
∴ ∠BAC+∠CAD = ∠DAE + ∠CAD, $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{2}{3}$.
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD∽△CAE.
∴ $\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$
② ∠BAC = ∠BFC
∵ △BAD ∽△CAE,
∴ ∠ABD=∠ACE.又
∵ ∠AOB=∠COF,
∴ 180°-∠ABD-∠AOB=180°-∠ACE-∠COF,即∠BAC=∠BFC
