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1 阅读教材第134页数学活动1,解决下列问题:
【观察思考】
观察可以发现:任意一个个位上的数字是5的自然数的平方可用代数式$(10n+5)^2$来表示(其中$n$为自然数).请你仔细观察下列各式,探索其规律,并归纳猜想出一般结论.
第1个等式:$15^2=225=1×2×100+25$;
第2个等式:$25^2=625=2×3×100+25$;
第3个等式:$35^2=1225=3×4×100+25$;
第4个等式:$45^2=2025=4×5×100+25$;
……
【解决问题】
(1) 写出第5个等式:
(2) 写出你猜想的第$n$个等式:
(3) 验证(2)中猜想的等式的正确性,并根据以上规律计算$2025^2$的值.
【观察思考】
观察可以发现:任意一个个位上的数字是5的自然数的平方可用代数式$(10n+5)^2$来表示(其中$n$为自然数).请你仔细观察下列各式,探索其规律,并归纳猜想出一般结论.
第1个等式:$15^2=225=1×2×100+25$;
第2个等式:$25^2=625=2×3×100+25$;
第3个等式:$35^2=1225=3×4×100+25$;
第4个等式:$45^2=2025=4×5×100+25$;
……
【解决问题】
(1) 写出第5个等式:
$55^2 = 3\ 025 = 5 × 6 × 100 + 25$
;(2) 写出你猜想的第$n$个等式:
$(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$
(用含$n$的等式表示,$n$为自然数);(3) 验证(2)中猜想的等式的正确性,并根据以上规律计算$2025^2$的值.
答案
1.(1) $55^2 = 3\ 025 = 5 × 6 × 100 + 25$
(2) $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$
(3) $\because (10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$，$\therefore$ (2)中猜想的等式正确。当$n = 202$时，$2\ 025^2 = 202 × 203 × 100 + 25 = 4\ 100\ 625$
(2) $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$
(3) $\because (10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25$，$\therefore$ (2)中猜想的等式正确。当$n = 202$时，$2\ 025^2 = 202 × 203 × 100 + 25 = 4\ 100\ 625$
解析
【分析】
（1）观察前4个等式的规律：第m个等式的底数为10m+5，计算结果等于m×(m+1)×100 +25，因此第5个等式对应m=5，按规律书写即可；
（2）将上述规律中的m换成自然数n，即可得到第n个等式的通用表达式；
（3）验证规律时，利用完全平方公式将等式左边的$(10n+5)^2$展开，整理后和右边对比即可证明正确性；计算$2025^2$时，先根据$10n+5=2025$求出n的值，再代入归纳的规律公式计算即可简化运算。
【解析】
(1) 根据前4个等式的规律，第5个等式的底数为55，计算得：
$55^2 = 3025 = 5×6×100 +25$
(2) 观察规律可得第n个等式：
$(10n+5)^2 = 100n(n+1)+25$（n为自然数）
(3) 验证：根据完全平方公式展开左边得
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2 + 2×10n×5 +5^2\\&=100n^2 +100n +25\\&=100n(n+1)+25\end{aligned}$
左边等于右边，因此猜想的等式正确。
计算$2025^2$：令$10n+5=2025$，解得$n=202$，代入规律公式得：
$2025^2=202×203×100 +25=41006×100 +25=4100625$
【答案】
(1) $55^2 = 3025 = 5 × 6 × 100 + 25$
(2) $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$
(3) 猜想正确，$2025^2=4100625$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题以个位为5的自然数的平方计算为载体，考查从特殊到一般的数学思维，先通过观察特例归纳通用规律，再用代数运算验证规律，最后应用规律简化计算，有助于提升规律探究能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察前4个等式的规律：第m个等式的底数为10m+5，计算结果等于m×(m+1)×100 +25，因此第5个等式对应m=5，按规律书写即可；
（2）将上述规律中的m换成自然数n，即可得到第n个等式的通用表达式；
（3）验证规律时，利用完全平方公式将等式左边的$(10n+5)^2$展开，整理后和右边对比即可证明正确性；计算$2025^2$时，先根据$10n+5=2025$求出n的值，再代入归纳的规律公式计算即可简化运算。
【解析】
(1) 根据前4个等式的规律，第5个等式的底数为55，计算得：
$55^2 = 3025 = 5×6×100 +25$
(2) 观察规律可得第n个等式：
$(10n+5)^2 = 100n(n+1)+25$（n为自然数）
(3) 验证：根据完全平方公式展开左边得
$\begin{aligned}(10n+5)^2&=(10n)^2 + 2×10n×5 +5^2\\&=100n^2 +100n +25\\&=100n(n+1)+25\end{aligned}$
左边等于右边，因此猜想的等式正确。
计算$2025^2$：令$10n+5=2025$，解得$n=202$，代入规律公式得：
$2025^2=202×203×100 +25=41006×100 +25=4100625$
【答案】
(1) $55^2 = 3025 = 5 × 6 × 100 + 25$
(2) $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$
(3) 猜想正确，$2025^2=4100625$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题以个位为5的自然数的平方计算为载体，考查从特殊到一般的数学思维，先通过观察特例归纳通用规律，再用代数运算验证规律，最后应用规律简化计算，有助于提升规律探究能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
2 阅读教材第134页数学活动2，解决下列问题：
【问题背景】
在信息快速发展的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，因此设置一组便于记忆的密码很有必要。
某班的学生在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种利用因式分解生成的密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式$x^3 - x$，将其分解因式为$x(x-1)(x+1)$。若取$x=10$，则有$x-1=9$，$x+1=11$，其中9，10，11分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码091011。
【实际应用】
（1）根据上述方法，小明设置了某学习网站的登录密码。他将多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码。当$x=9,y=3$时，小明的密码是多少？
（2）数学老师设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，请你求出把多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码。
【问题背景】
在信息快速发展的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，因此设置一组便于记忆的密码很有必要。
某班的学生在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种利用因式分解生成的密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式$x^3 - x$，将其分解因式为$x(x-1)(x+1)$。若取$x=10$，则有$x-1=9$，$x+1=11$，其中9，10，11分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码091011。
【实际应用】
（1）根据上述方法，小明设置了某学习网站的登录密码。他将多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码。当$x=9,y=3$时，小明的密码是多少？
（2）数学老师设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，请你求出把多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码。
答案
2.(1) $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$。当$x=9,y=3$时，$x=9,x-y=9-3=6,x+y=9+3=12$，$\therefore$ 小明的密码是060912
(2) $\because$ 一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，$\therefore 2x + y = 12$。$\because x,y$都为整数，$\therefore x=5,y=2$(不合题意的已舍去)。$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$。当$x=5,y=2$时，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$，$\therefore$ 把多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码是010509
(2) $\because$ 一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数$x,y$，$\therefore 2x + y = 12$。$\because x,y$都为整数，$\therefore x=5,y=2$(不合题意的已舍去)。$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$。当$x=5,y=2$时，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$，$\therefore$ 把多项式$x^3 - 4xy^2$分解因式后得到的密码是010509
解析
【分析】
（1）解第一问的思路：首先按照题目给出的密码生成规则，第一步对多项式$x^3 - xy^2$因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解得到三个因式；第二步代入$x=9$、$y=3$计算三个因式的结果；第三步将结果从小到大排序，每个因式码补为两位数，拼接后得到密码。
（2）解第二问的思路：首先根据等腰三角形周长公式和三边关系，结合$x$、$y$为不同正整数的条件，筛选出符合要求的$x$、$y$值；再对多项式$x^3 - 4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值计算三个因式的结果，排序补0后拼接得到密码。
【解析】
（1）对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$
当$x=9$，$y=3$时，计算各因式的值：
$x=9$，$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将三个因式码从小到大排序为6、9、12，不足两位的前面补0，拼接后得到密码060912。
（2）先求符合条件的$x$、$y$：
等腰三角形周长为12，腰长$x$、底边长$y$为不同正整数，可得$2x + y = 12$。
根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，即$2x＞y$，且$y＞0$，将$y=12-2x$代入得：
$2x＞12-2x$，解得$x＞3$；$12-2x＞0$，解得$x＜6$，故$x$的整数取值为4、5。
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合要求，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合要求。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$
代入$x=5$，$y=2$得：
$x=5$，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$
将三个因式码从小到大排序为1、5、9，补0后拼接得到密码010509。
【答案】
（1）060912；（2）010509
【知识点】
因式分解，等腰三角形三边关系，代数式求值
【点评】
本题结合密码设置的生活场景，融合多个基础知识点，既考查因式分解、代数式求值的运算能力，也要求学生能根据等腰三角形的隐含条件筛选有效数值，解题时需注意因式码不足两位要补0的规则，避免因细节失分。
【难度系数】
0.7
（1）解第一问的思路：首先按照题目给出的密码生成规则，第一步对多项式$x^3 - xy^2$因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解得到三个因式；第二步代入$x=9$、$y=3$计算三个因式的结果；第三步将结果从小到大排序，每个因式码补为两位数，拼接后得到密码。
（2）解第二问的思路：首先根据等腰三角形周长公式和三边关系，结合$x$、$y$为不同正整数的条件，筛选出符合要求的$x$、$y$值；再对多项式$x^3 - 4xy^2$因式分解，代入$x$、$y$的值计算三个因式的结果，排序补0后拼接得到密码。
【解析】
（1）对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$
当$x=9$，$y=3$时，计算各因式的值：
$x=9$，$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将三个因式码从小到大排序为6、9、12，不足两位的前面补0，拼接后得到密码060912。
（2）先求符合条件的$x$、$y$：
等腰三角形周长为12，腰长$x$、底边长$y$为不同正整数，可得$2x + y = 12$。
根据三角形三边关系，两腰之和大于底边，即$2x＞y$，且$y＞0$，将$y=12-2x$代入得：
$2x＞12-2x$，解得$x＞3$；$12-2x＞0$，解得$x＜6$，故$x$的整数取值为4、5。
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合要求，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合要求。
对多项式因式分解：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2) = x(x + 2y)(x - 2y)$
代入$x=5$，$y=2$得：
$x=5$，$x+2y=5+2×2=9$，$x-2y=5-2×2=1$
将三个因式码从小到大排序为1、5、9，补0后拼接得到密码010509。
【答案】
（1）060912；（2）010509
【知识点】
因式分解，等腰三角形三边关系，代数式求值
【点评】
本题结合密码设置的生活场景，融合多个基础知识点，既考查因式分解、代数式求值的运算能力，也要求学生能根据等腰三角形的隐含条件筛选有效数值，解题时需注意因式码不足两位要补0的规则，避免因细节失分。
【难度系数】
0.7
