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8 一题多解 [2025潍坊]某物体的三视图如图所示,则该物体可能是 (
B
)答案
8. B 【解析】解法一:确定每个选项中几何体的三视图,可以看出选项 B 的三视图与所给的三视图一致.解法二:从三视图可以想象上面是长方体,下面是一个圆柱,故选项 B 符合要求.
解析
【分析】
解决此类由三视图判断几何体的题目，通常有两种思考方向：一是反向验证法，逐一判断每个选项对应几何体的三视图，和题干给出的三视图进行比对，完全匹配的就是正确选项；二是正向推导法，先根据给出的三视图分析几何体的组成，从主视图和左视图可以看出几何体分为上下两部分，两部分的主、左视图均为矩形，再结合俯视图下半部分为圆形、上半部分为矩形，可推出下半部分是圆柱、上半部分是长方体，再对应选项即可找到答案。
【解析】
解法一：逐一分析各选项中几何体的三视图，将其与题干给出的三视图进行比对，可发现只有选项B的三视图与题干所给三视图完全一致。
解法二：先分析题干三视图的结构特征：主视图、左视图均由上下两个矩形组成，说明几何体分为上下两部分，且两部分的正视图、侧视图均为矩形；再观察俯视图，下半部分为圆形，上半部分为小矩形，说明下半部分是圆柱（圆柱的俯视图为圆，主视图、左视图为矩形），上半部分是长方体（长方体的三视图均为矩形），该组合几何体对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别，由三视图还原几何体，常见几何体的三视图
【点评】
本题考查三视图相关知识，解题时既可以选择正向推导几何体结构的方法，也可以选择反向验证排除错误选项的方法，主要考查学生的空间想象能力，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解决此类由三视图判断几何体的题目，通常有两种思考方向：一是反向验证法，逐一判断每个选项对应几何体的三视图，和题干给出的三视图进行比对，完全匹配的就是正确选项；二是正向推导法，先根据给出的三视图分析几何体的组成，从主视图和左视图可以看出几何体分为上下两部分，两部分的主、左视图均为矩形，再结合俯视图下半部分为圆形、上半部分为矩形，可推出下半部分是圆柱、上半部分是长方体，再对应选项即可找到答案。
【解析】
解法一：逐一分析各选项中几何体的三视图，将其与题干给出的三视图进行比对，可发现只有选项B的三视图与题干所给三视图完全一致。
解法二：先分析题干三视图的结构特征：主视图、左视图均由上下两个矩形组成，说明几何体分为上下两部分，且两部分的正视图、侧视图均为矩形；再观察俯视图，下半部分为圆形，上半部分为小矩形，说明下半部分是圆柱（圆柱的俯视图为圆，主视图、左视图为矩形），上半部分是长方体（长方体的三视图均为矩形），该组合几何体对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三视图识别，由三视图还原几何体，常见几何体的三视图
【点评】
本题考查三视图相关知识，解题时既可以选择正向推导几何体结构的方法，也可以选择反向验证排除错误选项的方法，主要考查学生的空间想象能力，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9 [2025九江浔阳期末]一个正三棱柱的三视图如图所示，其俯视图是一个等边三角形。若这个正三棱柱的侧面积为$12\sqrt{3}$，则a的值为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
A
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
9. A
解析
【分析】
首先明确正三棱柱三视图的对应关系：左视图中标注的$2\sqrt{3}$是俯视图中等边三角形的高，左视图的长$a$是正三棱柱的侧棱长。解题分三步思考：第一步根据等边三角形的高与边长的关系求出底面等边三角形的边长；第二步明确正三棱柱的侧面积等于3个全等侧面矩形的面积和，即底面周长乘侧棱长；第三步结合已知侧面积列方程求解$a$的值。
【解析】
解：已知俯视图为等边三角形，左视图竖直方向的边长$2\sqrt{3}$是该等边三角形的高。
设等边三角形的边长为$x$，根据等边三角形高与边长的关系可得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}x=2\sqrt{3}$
解得$x=4$。
正三棱柱的侧面是3个全等的矩形，矩形的一边长为底面等边三角形的边长4，另一边长为侧棱长$a$，因此侧面积为：
$S=3×4× a=12a$
已知侧面积为$12\sqrt{3}$，列方程得：
$12a=12\sqrt{3}$
解得$a=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别，正三棱柱侧面积计算，等边三角形性质
【点评】
本题的核心是理清三视图各线段长度对应几何体的棱长，结合常见几何体的面积公式和特殊三角形的性质即可求解，需要注意不要混淆三视图各部分对应的实际意义。
【难度系数】
0.7
首先明确正三棱柱三视图的对应关系：左视图中标注的$2\sqrt{3}$是俯视图中等边三角形的高，左视图的长$a$是正三棱柱的侧棱长。解题分三步思考：第一步根据等边三角形的高与边长的关系求出底面等边三角形的边长；第二步明确正三棱柱的侧面积等于3个全等侧面矩形的面积和，即底面周长乘侧棱长；第三步结合已知侧面积列方程求解$a$的值。
【解析】
解：已知俯视图为等边三角形，左视图竖直方向的边长$2\sqrt{3}$是该等边三角形的高。
设等边三角形的边长为$x$，根据等边三角形高与边长的关系可得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}x=2\sqrt{3}$
解得$x=4$。
正三棱柱的侧面是3个全等的矩形，矩形的一边长为底面等边三角形的边长4，另一边长为侧棱长$a$，因此侧面积为：
$S=3×4× a=12a$
已知侧面积为$12\sqrt{3}$，列方程得：
$12a=12\sqrt{3}$
解得$a=\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
三视图识别，正三棱柱侧面积计算，等边三角形性质
【点评】
本题的核心是理清三视图各线段长度对应几何体的棱长，结合常见几何体的面积公式和特殊三角形的性质即可求解，需要注意不要混淆三视图各部分对应的实际意义。
【难度系数】
0.7
10 由两个长方体组合而成的一个立体图形从两个不同的方向看到的视图如图所示，根据图中所标尺寸(单位:mm)，可知这两个长方体的体积之和是
128
mm³.答案
10. 128
解析
【分析】
要计算两个长方体的体积之和，核心是先从给定的视图中提取两个长方体的长、宽、高参数。首先明确组合体为上下叠放的两个长方体，下层为较大长方体，上层为较小长方体。结合视图标注的尺寸可分别确定两个长方体的长宽高，再利用长方体体积公式分别计算体积后求和即可。
【解析】
解：长方体体积计算公式为$V=长×宽×高$。
根据视图提取尺寸：
1. 下层大长方体：长为8mm，宽为6mm，高为2mm，其体积为：
$V_1=8×6×2=96\ \mathrm{mm}^3$
2. 上层小长方体：长为4mm，宽为2mm，高为4mm，其体积为：
$V_2=4×2×4=32\ \mathrm{mm}^3$
则两个长方体的体积之和为：
$V=V_1+V_2=96+32=128\ \mathrm{mm}^3$
【答案】
128
【知识点】
由三视图确定几何体尺寸，长方体体积计算
【点评】
本题重点考查根据视图还原几何体实际参数的能力，结合基础的体积公式即可求解，解题关键是准确从视图中提取两个长方体的长宽高信息。
【难度系数】
0.7
要计算两个长方体的体积之和，核心是先从给定的视图中提取两个长方体的长、宽、高参数。首先明确组合体为上下叠放的两个长方体，下层为较大长方体，上层为较小长方体。结合视图标注的尺寸可分别确定两个长方体的长宽高，再利用长方体体积公式分别计算体积后求和即可。
【解析】
解：长方体体积计算公式为$V=长×宽×高$。
根据视图提取尺寸：
1. 下层大长方体：长为8mm，宽为6mm，高为2mm，其体积为：
$V_1=8×6×2=96\ \mathrm{mm}^3$
2. 上层小长方体：长为4mm，宽为2mm，高为4mm，其体积为：
$V_2=4×2×4=32\ \mathrm{mm}^3$
则两个长方体的体积之和为：
$V=V_1+V_2=96+32=128\ \mathrm{mm}^3$
【答案】
128
【知识点】
由三视图确定几何体尺寸，长方体体积计算
【点评】
本题重点考查根据视图还原几何体实际参数的能力，结合基础的体积公式即可求解，解题关键是准确从视图中提取两个长方体的长宽高信息。
【难度系数】
0.7
11 如图,某几何体的三视图分别是两个矩形和一个扇形,则该几何体的表面积为
$15π+12$
.答案
11. $15π+12$
解析
【分析】
首先根据三视图判断几何体形状：俯视图为圆心角270°的扇形，主视图、左视图为矩形，可知该几何体是截去$\frac{1}{4}$的圆柱，底面半径$r=2$，高$h=3$。接下来明确表面积的组成：包括上下两个扇形底面的面积、曲面侧面积、截去部分露出的两个矩形的面积，分别计算各部分再求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是$\frac{3}{4}$个圆柱，底面半径$r=2$，高$h=3$。
1. 计算上下两个底面的面积和：
每个底面是$\frac{3}{4}$个圆，故两个底面面积和为$2×\frac{3}{4}×π r^2=2×\frac{3}{4}×π×2^2=6π$。
2. 计算曲面侧面积：
底面扇形弧长$l=\frac{270°}{360°}×2π r=\frac{3}{4}×2π×2=3π$，侧面积为弧长乘高，即$l× h=3π×3=9π$。
3. 计算截去部分露出的两个矩形面积：
每个矩形长为高3，宽为半径2，两个矩形面积和为$2×(2×3)=12$。
总表面积为各部分之和：$6π+9π+12=15π+12$。
【答案】
$15π+12$
【知识点】
三视图还原几何体，扇形相关计算，几何体表面积计算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏截去部分露出的两个矩形的面积，解题时需先明确几何体的形状，梳理清楚表面积包含的所有组成部分再计算。
【难度系数】
0.65
首先根据三视图判断几何体形状：俯视图为圆心角270°的扇形，主视图、左视图为矩形，可知该几何体是截去$\frac{1}{4}$的圆柱，底面半径$r=2$，高$h=3$。接下来明确表面积的组成：包括上下两个扇形底面的面积、曲面侧面积、截去部分露出的两个矩形的面积，分别计算各部分再求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是$\frac{3}{4}$个圆柱，底面半径$r=2$，高$h=3$。
1. 计算上下两个底面的面积和：
每个底面是$\frac{3}{4}$个圆，故两个底面面积和为$2×\frac{3}{4}×π r^2=2×\frac{3}{4}×π×2^2=6π$。
2. 计算曲面侧面积：
底面扇形弧长$l=\frac{270°}{360°}×2π r=\frac{3}{4}×2π×2=3π$，侧面积为弧长乘高，即$l× h=3π×3=9π$。
3. 计算截去部分露出的两个矩形面积：
每个矩形长为高3，宽为半径2，两个矩形面积和为$2×(2×3)=12$。
总表面积为各部分之和：$6π+9π+12=15π+12$。
【答案】
$15π+12$
【知识点】
三视图还原几何体，扇形相关计算，几何体表面积计算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏截去部分露出的两个矩形的面积，解题时需先明确几何体的形状，梳理清楚表面积包含的所有组成部分再计算。
【难度系数】
0.65
12 如图所示为一个物体的三视图，根据图上标明的尺寸(单位：mm)，计算这个物体的体积.
答案
12. 由三视图,可知这个物体的体积为 $(\frac{8}{2})^2×π×8+(\frac{4}{2})^2×π×2=136π(\mathrm{mm}^3)$
解析
【分析】
解题时首先根据三视图还原几何体：主视图、左视图为上下拼接的矩形，俯视图为两个同心圆，可知该物体是上下两个同轴叠放的圆柱，下方为大圆柱，上方为小圆柱。接下来分别确定两个圆柱的底面直径和高：从俯视图可得大圆柱底面直径为8mm、小圆柱底面直径为4mm，从主视图可得大圆柱高为8mm、小圆柱高为2mm。最后根据圆柱体积公式分别计算两个圆柱的体积，相加即可得到总体积。
【解析】
解：由三视图可知，该物体是由上下两个同轴圆柱组成的组合体：
下方大圆柱的底面直径为8mm，高为8mm，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，其体积为：
$V_1=π×(\frac{8}{2})^2×8=128π(\mathrm{mm}^3)$
上方小圆柱的底面直径为4mm，高为2mm，其体积为：
$V_2=π×(\frac{4}{2})^2×2=8π(\mathrm{mm}^3)$
则该物体的总体积为：
$V=V_1+V_2=128π+8π=136π(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$136π\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
三视图还原几何体、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题是三视图与体积计算的结合题型，解题的核心是准确通过三视图判断组合体的结构，找准各部分几何体的对应尺寸，代入对应公式计算即可，是对空间想象能力和基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三视图还原几何体：主视图、左视图为上下拼接的矩形，俯视图为两个同心圆，可知该物体是上下两个同轴叠放的圆柱，下方为大圆柱，上方为小圆柱。接下来分别确定两个圆柱的底面直径和高：从俯视图可得大圆柱底面直径为8mm、小圆柱底面直径为4mm，从主视图可得大圆柱高为8mm、小圆柱高为2mm。最后根据圆柱体积公式分别计算两个圆柱的体积，相加即可得到总体积。
【解析】
解：由三视图可知，该物体是由上下两个同轴圆柱组成的组合体：
下方大圆柱的底面直径为8mm，高为8mm，根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，其体积为：
$V_1=π×(\frac{8}{2})^2×8=128π(\mathrm{mm}^3)$
上方小圆柱的底面直径为4mm，高为2mm，其体积为：
$V_2=π×(\frac{4}{2})^2×2=8π(\mathrm{mm}^3)$
则该物体的总体积为：
$V=V_1+V_2=128π+8π=136π(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$136π\ \mathrm{mm}^3$
【知识点】
三视图还原几何体、圆柱体积计算、组合体体积计算
【点评】
本题是三视图与体积计算的结合题型，解题的核心是准确通过三视图判断组合体的结构，找准各部分几何体的对应尺寸，代入对应公式计算即可，是对空间想象能力和基础公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13 一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形.请写出这个几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积.
答案
13. 这个几何体是直四棱柱,其侧面积为 $8×\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}×4=80(\mathrm{cm}^2)$,体积为 $\frac{1}{2}×3×4×8=48(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】
首先根据三视图特征判断几何体形状：主视图、左视图均为矩形说明是柱体，俯视图为菱形，因此该几何体是底面为菱形的直四棱柱。接下来求解侧面积和体积：①侧面积：直棱柱侧面积=底面周长×高，需先求底面菱形的边长，主视图的水平长度4cm、左视图的水平长度3cm分别对应菱形的两条对角线长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理可求菱形边长，进而得到底面周长，乘以高8cm即可得侧面积；②体积：直棱柱体积=底面积×高，菱形面积为对角线乘积的一半，先算出底面积再乘以高即可得到体积。
【解析】
1. 确定几何体：由三视图可知，该几何体是底面为菱形的直四棱柱，棱柱的高为8cm，底面菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm。
2. 求底面菱形的边长：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为 $\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
直四棱柱的4个侧面均为长8cm、宽2.5cm的矩形，
因此侧面积为 $4×(2.5×8)=80\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算体积：
底面菱形的面积为 $\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$，
因此体积为 $6×8=48\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
这个几何体是直四棱柱，侧面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，体积为$48\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
1. 三视图判断几何体
2. 菱形的性质
3. 直棱柱的侧面积与体积计算
【点评】
本题考查三视图还原几何体及直棱柱相关量的计算，解题关键是准确将三视图中的数据对应到几何体的棱长，结合菱形的性质进行运算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图特征判断几何体形状：主视图、左视图均为矩形说明是柱体，俯视图为菱形，因此该几何体是底面为菱形的直四棱柱。接下来求解侧面积和体积：①侧面积：直棱柱侧面积=底面周长×高，需先求底面菱形的边长，主视图的水平长度4cm、左视图的水平长度3cm分别对应菱形的两条对角线长，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理可求菱形边长，进而得到底面周长，乘以高8cm即可得侧面积；②体积：直棱柱体积=底面积×高，菱形面积为对角线乘积的一半，先算出底面积再乘以高即可得到体积。
【解析】
1. 确定几何体：由三视图可知，该几何体是底面为菱形的直四棱柱，棱柱的高为8cm，底面菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm。
2. 求底面菱形的边长：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴菱形的边长为 $\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：
直四棱柱的4个侧面均为长8cm、宽2.5cm的矩形，
因此侧面积为 $4×(2.5×8)=80\ \mathrm{cm}^2$。
4. 计算体积：
底面菱形的面积为 $\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$，
因此体积为 $6×8=48\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
这个几何体是直四棱柱，侧面积为$80\ \mathrm{cm}^2$，体积为$48\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
1. 三视图判断几何体
2. 菱形的性质
3. 直棱柱的侧面积与体积计算
【点评】
本题考查三视图还原几何体及直棱柱相关量的计算，解题关键是准确将三视图中的数据对应到几何体的棱长，结合菱形的性质进行运算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
