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① 龙舟从起点O出发，先向正东方向划行80米到A点，再向正北方向划行150米到B点。求起点O到终点B的直线距离。
答案
170米
解析
【分析】
首先根据方位特征，正东方向和正北方向是互相垂直的，因此龙舟的行进路线构成了直角三角形OAB，其中∠A为直角，OA、AB分别为两条直角边，长度已知，要求的起点O到终点B的直线距离就是这个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理求解。
【解析】
解：由题意得，正东与正北方向互相垂直，故∠OAB=90°，△OAB为直角三角形。
其中OA=80米，AB=150米，根据勾股定理：
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
代入数值计算：
$OB^2 = 80^2 + 150^2 = 6400 + 22500 = 28900$
因为距离为正数，所以$OB = \sqrt{28900} = 170$（米）
【答案】
170米
【知识点】
勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题结合龙舟运动的实际场景出题，将抽象的数学知识融入生活场景，主要考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对勾股定理的掌握和应用能力，解题的关键是根据方位判断出直角三角形。
【难度系数】
0.8
首先根据方位特征，正东方向和正北方向是互相垂直的，因此龙舟的行进路线构成了直角三角形OAB，其中∠A为直角，OA、AB分别为两条直角边，长度已知，要求的起点O到终点B的直线距离就是这个直角三角形的斜边，因此可以用勾股定理求解。
【解析】
解：由题意得，正东与正北方向互相垂直，故∠OAB=90°，△OAB为直角三角形。
其中OA=80米，AB=150米，根据勾股定理：
$OB^2 = OA^2 + AB^2$
代入数值计算：
$OB^2 = 80^2 + 150^2 = 6400 + 22500 = 28900$
因为距离为正数，所以$OB = \sqrt{28900} = 170$（米）
【答案】
170米
【知识点】
勾股定理，直角三角形判定
【点评】
本题结合龙舟运动的实际场景出题，将抽象的数学知识融入生活场景，主要考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，以及对勾股定理的掌握和应用能力，解题的关键是根据方位判断出直角三角形。
【难度系数】
0.8
2 某龙舟队搭建直角三角形棚架存放龙舟，棚架斜边(屋顶)长5米，水平跨度(底边)为4米.求棚架的垂直高度(顶端到地面的距离).
答案
3米
解析
【分析】
首先从题目中可抽象出直角三角形数学模型：棚架为直角三角形，斜边（屋顶）长5米，其中一条直角边（水平跨度）长4米，待求的垂直高度是另一条直角边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，可直接用勾股定理求解，计算时注意实际问题中长度为正数，最终结果取正值即可。
【解析】
解：设棚架的垂直高度为$x$米。
∵ 棚架为直角三角形，斜边长为5米，水平跨度（直角边）长为4米
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 4^2 = 5^2$
整理计算：
$x^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵ 垂直高度为正数
∴ $x = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3米
【知识点】
勾股定理，直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础运用，解题关键是从实际问题中提取出直角三角形模型，准确对应各边长度后代入公式计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
首先从题目中可抽象出直角三角形数学模型：棚架为直角三角形，斜边（屋顶）长5米，其中一条直角边（水平跨度）长4米，待求的垂直高度是另一条直角边。已知直角三角形的斜边和一条直角边，求另一条直角边，可直接用勾股定理求解，计算时注意实际问题中长度为正数，最终结果取正值即可。
【解析】
解：设棚架的垂直高度为$x$米。
∵ 棚架为直角三角形，斜边长为5米，水平跨度（直角边）长为4米
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 4^2 = 5^2$
整理计算：
$x^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵ 垂直高度为正数
∴ $x = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3米
【知识点】
勾股定理，直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的基础运用，解题关键是从实际问题中提取出直角三角形模型，准确对应各边长度后代入公式计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
3 某龙舟队的旗帜为长方形，长1.8米，宽1.2米。求旗帜对角线长度（结果保留根号）。
答案
$\dfrac{3\sqrt{13}}{5}$米
解析
【分析】
长方形的四个角均为直角，因此旗帜的长、宽与对角线可构成直角三角形，其中长、宽是直角三角形的两条直角边，对角线为斜边。我们可以利用勾股定理求斜边长度，计算后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
设旗帜的对角线长度为$x$米，
根据长方形的性质，对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 = 1.8^2 + 1.2^2$
将小数化为分数计算：$1.8=\frac{9}{5}$，$1.2=\frac{6}{5}$，代入得：
$x^2 = (\frac{9}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2 = \frac{81}{25} + \frac{36}{25} = \frac{117}{25}$
因为长度为正数，故取正根：
$x = \sqrt{\frac{117}{25}} = \frac{\sqrt{9×13}}{5} = \frac{3\sqrt{13}}{5}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{13}}{5}$米
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；长方形的性质
【点评】
本题结合龙舟文化的实际场景，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，运算时注意最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
长方形的四个角均为直角，因此旗帜的长、宽与对角线可构成直角三角形，其中长、宽是直角三角形的两条直角边，对角线为斜边。我们可以利用勾股定理求斜边长度，计算后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
设旗帜的对角线长度为$x$米，
根据长方形的性质，对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 = 1.8^2 + 1.2^2$
将小数化为分数计算：$1.8=\frac{9}{5}$，$1.2=\frac{6}{5}$，代入得：
$x^2 = (\frac{9}{5})^2 + (\frac{6}{5})^2 = \frac{81}{25} + \frac{36}{25} = \frac{117}{25}$
因为长度为正数，故取正根：
$x = \sqrt{\frac{117}{25}} = \frac{\sqrt{9×13}}{5} = \frac{3\sqrt{13}}{5}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{13}}{5}$米
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；长方形的性质
【点评】
本题结合龙舟文化的实际场景，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，运算时注意最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
