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4 某学校准备组织龙舟队参加比赛,有两种参赛方案.方案一:租赁龙舟,每艘龙舟租赁费用为300元,另外每人需支付保险费等50元;方案二:自己制作龙舟,制作费用为2000元,另外每人需支付材料等费用30元.设参赛人数为x人.
(1)分别写出两种方案的总费用$y_1,y_2$与$x$的函数解析式.
(2)当参赛人数为多少时,两种方案费用相同?
(3)如何根据参赛人数选择更划算的方案?
(1)分别写出两种方案的总费用$y_1,y_2$与$x$的函数解析式.
(2)当参赛人数为多少时,两种方案费用相同?
(3)如何根据参赛人数选择更划算的方案?
答案
(1) $y_1 = 300 + 50x$, $y_2 = 2000 + 30x$.
(2) 令$y_1 = y_2$,即$300 + 50x = 2000 + 30x$,移项可得$50x - 30x = 2000 - 300,20x = 1700$,解得$x = 85$.所以当参赛人数为85人时,两种方案费用相同.
(3) 当$y_1 ＞ y_2$时,$300 + 50x ＞ 2000 + 30x$,解得$x ＞ 85$,此时方案二更划算;当$y_1 ＜ y_2$时,$300 + 50x ＜ 2000 + 30x$,解得$x ＜ 85$,此时方案一更划算.
(2) 令$y_1 = y_2$,即$300 + 50x = 2000 + 30x$,移项可得$50x - 30x = 2000 - 300,20x = 1700$,解得$x = 85$.所以当参赛人数为85人时,两种方案费用相同.
(3) 当$y_1 ＞ y_2$时,$300 + 50x ＞ 2000 + 30x$,解得$x ＞ 85$,此时方案二更划算;当$y_1 ＜ y_2$时,$300 + 50x ＜ 2000 + 30x$,解得$x ＜ 85$,此时方案一更划算.
解析
【分析】
本题是一次函数实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 总费用由固定费用、可变费用两部分组成，可变费用=人均费用×参赛人数，分别对应两种方案的固定费用、人均费用，即可列出总费用关于人数x的函数解析式；
(2) 两种方案费用相同即两个函数值相等，列出一元一次方程求解即可得到对应的参赛人数；
(3) 选择更划算的方案本质是比较两个函数值的大小，分别列不等式求解，就能得到不同参赛人数对应的最优方案。
【解析】
(1) 方案一的总费用=龙舟租赁费+人均保险费×参赛人数，因此：
$y_1 = 300 + 50x$
方案二的总费用=龙舟制作费+人均材料费×参赛人数，因此：
$y_2 = 2000 + 30x$
(2) 若两种方案费用相同，令$y_1 = y_2$，可得方程：
$300 + 50x = 2000 + 30x$
移项合并同类项得：$20x = 1700$
解得：$x = 85$
即当参赛人数为85人时，两种方案费用相同。
(3) 分情况比较费用大小：
① 当$y_1 ＞ y_2$时，$300 + 50x ＞ 2000 + 30x$，解得$x ＞ 85$，此时方案二更划算；
② 当$y_1 ＜ y_2$时，$300 + 50x ＜ 2000 + 30x$，解得$x ＜ 85$，此时方案一更划算。
【答案】
(1) $y_1 = 300 + 50x$, $y_2 = 2000 + 30x$
(2) 当参赛人数为85人时，两种方案费用相同
(3) 当参赛人数大于85人时选择方案二更划算，当参赛人数小于85人时选择方案一更划算，参赛人数为85人时两种方案费用相同
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 一元一次方程的解法
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查学生用数学知识解决实际方案选择问题的能力，解题核心是准确梳理不同方案的费用构成，再通过代数运算得到最优选择，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.75
本题是一次函数实际应用类问题，解题思路如下：
(1) 总费用由固定费用、可变费用两部分组成，可变费用=人均费用×参赛人数，分别对应两种方案的固定费用、人均费用，即可列出总费用关于人数x的函数解析式；
(2) 两种方案费用相同即两个函数值相等，列出一元一次方程求解即可得到对应的参赛人数；
(3) 选择更划算的方案本质是比较两个函数值的大小，分别列不等式求解，就能得到不同参赛人数对应的最优方案。
【解析】
(1) 方案一的总费用=龙舟租赁费+人均保险费×参赛人数，因此：
$y_1 = 300 + 50x$
方案二的总费用=龙舟制作费+人均材料费×参赛人数，因此：
$y_2 = 2000 + 30x$
(2) 若两种方案费用相同，令$y_1 = y_2$，可得方程：
$300 + 50x = 2000 + 30x$
移项合并同类项得：$20x = 1700$
解得：$x = 85$
即当参赛人数为85人时，两种方案费用相同。
(3) 分情况比较费用大小：
① 当$y_1 ＞ y_2$时，$300 + 50x ＞ 2000 + 30x$，解得$x ＞ 85$，此时方案二更划算；
② 当$y_1 ＜ y_2$时，$300 + 50x ＜ 2000 + 30x$，解得$x ＜ 85$，此时方案一更划算。
【答案】
(1) $y_1 = 300 + 50x$, $y_2 = 2000 + 30x$
(2) 当参赛人数为85人时，两种方案费用相同
(3) 当参赛人数大于85人时选择方案二更划算，当参赛人数小于85人时选择方案一更划算，参赛人数为85人时两种方案费用相同
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 一元一次方程的解法
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查学生用数学知识解决实际方案选择问题的能力，解题核心是准确梳理不同方案的费用构成，再通过代数运算得到最优选择，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.75
5 某龙舟队要采购比赛用的物资，若到甲商店购买，物资单价为10元，另需支付运输费等固定费用500元；若到乙商店购买，物资单价为12元，固定费用为200元。设采购物资的数量为x件。
（1）分别写出在甲、乙两商店采购的总费用$y_甲$，$y_乙$与x的函数解析式。
（2）当采购数量为多少时，在甲商店采购更划算？当采购数量为多少时，在乙商店采购更划算？
（1）分别写出在甲、乙两商店采购的总费用$y_甲$，$y_乙$与x的函数解析式。
（2）当采购数量为多少时，在甲商店采购更划算？当采购数量为多少时，在乙商店采购更划算？
答案
(1) $y_甲 = 10x + 500$,$y_乙 = 12x + 200$.
(2) 令$y_甲 ＜ y_乙$,即$10x + 500 ＜ 12x + 200$,移项得$500 - 200 ＜ 12x - 10x$,$2x ＞ 300$,解得$x ＞ 150$,所以当采购数量大于150件时,在甲商店采购更划算.
当采购数量小于150件时,在乙商店采购更划算.
(2) 令$y_甲 ＜ y_乙$,即$10x + 500 ＜ 12x + 200$,移项得$500 - 200 ＜ 12x - 10x$,$2x ＞ 300$,解得$x ＞ 150$,所以当采购数量大于150件时,在甲商店采购更划算.
当采购数量小于150件时,在乙商店采购更划算.
解析
【分析】
本题为一次函数的实际应用问题，解题思路如下：（1）采购总费用由“购买物资的费用”和“固定费用”两部分组成，购买物资的费用=单价×采购数量，按照这个等量关系分别代入甲、乙商店的单价和固定费用，即可写出对应的函数解析式；（2）“采购更划算”即总费用更低，要判断哪家商店更划算，只需将两个总费用的函数解析式作比较，列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到对应的采购数量范围。
【解析】
（1）根据总费用=物资单价×采购数量+固定费用，可得：
甲商店的总费用：$y_甲 = 10x + 500$（$x$为正整数）；
乙商店的总费用：$y_乙 = 12x + 200$（$x$为正整数）。
（2）①若在甲商店采购更划算，则满足$y_甲 ＜ y_乙$，代入解析式得：
$10x + 500 ＜ 12x + 200$
移项合并同类项得：$2x ＞ 300$
解得：$x ＞ 150$
即当采购数量大于150件时，甲商店采购更划算。
②若在乙商店采购更划算，则满足$y_甲 ＞ y_乙$，代入解析式得：
$10x + 500 ＞ 12x + 200$
移项合并同类项得：$2x ＜ 300$
解得：$x ＜ 150$
即当采购数量小于150件时，乙商店采购更划算。
【答案】
(1) $y_甲 = 10x + 500$，$y_乙 = 12x + 200$；
(2) 当采购数量大于150件时，在甲商店采购更划算；当采购数量小于150件时，在乙商店采购更划算。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活采购场景，考查了函数解析式的建立和利用不等式解决最优方案选择的问题，解题的核心是理清总费用的构成，正确列出函数关系式和不等式，属于基础类应用题，与生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
本题为一次函数的实际应用问题，解题思路如下：（1）采购总费用由“购买物资的费用”和“固定费用”两部分组成，购买物资的费用=单价×采购数量，按照这个等量关系分别代入甲、乙商店的单价和固定费用，即可写出对应的函数解析式；（2）“采购更划算”即总费用更低，要判断哪家商店更划算，只需将两个总费用的函数解析式作比较，列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到对应的采购数量范围。
【解析】
（1）根据总费用=物资单价×采购数量+固定费用，可得：
甲商店的总费用：$y_甲 = 10x + 500$（$x$为正整数）；
乙商店的总费用：$y_乙 = 12x + 200$（$x$为正整数）。
（2）①若在甲商店采购更划算，则满足$y_甲 ＜ y_乙$，代入解析式得：
$10x + 500 ＜ 12x + 200$
移项合并同类项得：$2x ＞ 300$
解得：$x ＞ 150$
即当采购数量大于150件时，甲商店采购更划算。
②若在乙商店采购更划算，则满足$y_甲 ＞ y_乙$，代入解析式得：
$10x + 500 ＞ 12x + 200$
移项合并同类项得：$2x ＜ 300$
解得：$x ＜ 150$
即当采购数量小于150件时，乙商店采购更划算。
【答案】
(1) $y_甲 = 10x + 500$，$y_乙 = 12x + 200$；
(2) 当采购数量大于150件时，在甲商店采购更划算；当采购数量小于150件时，在乙商店采购更划算。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活采购场景，考查了函数解析式的建立和利用不等式解决最优方案选择的问题，解题的核心是理清总费用的构成，正确列出函数关系式和不等式，属于基础类应用题，与生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
