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1. 如图,在四边形ABDC中,$∠D=∠B=90°$,O为BD的中点,AO平分$∠BAC$,连接CO.求证:
(1)CO平分$∠ACD$;
(2)$OA⊥OC$.
(1)CO平分$∠ACD$;
(2)$OA⊥OC$.
答案
1. 【证明】
(1) 过点O作$OE⊥AC$于点E.
$\because ∠B=90^{\circ }$,AO平分$∠BAC$,
$\therefore OB=OE$.
$\because O$为BD的中点,$\therefore OB=OD$.
$\therefore OE=OD$.
又$\because ∠D=90^{\circ },∠OEC=90^{\circ }$,
$\therefore CO$平分$∠ACD$.
(2) 在$Rt△ABO$和$Rt△AEO$中,$\because \begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).$
$\therefore ∠AOB=∠AOE=\frac {1}{2}∠BOE.$
同理可得$∠COD=∠COE=\frac {1}{2}∠DOE.$
$\because ∠AOC=∠AOE+∠COE,$
$\therefore ∠AOC=\frac {1}{2}∠BOE+\frac {1}{2}∠DOE=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }.$
$\therefore OA⊥OC.$
解析
【分析】
要解决这道证明题，我们可以分两步梳理思路：
1. 证明CO平分∠ACD：根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知∠D=90°，即OD⊥CD，因此我们只需证明点O到AC的距离等于OD即可。已知AO平分∠BAC，∠B=90°，根据角平分线的性质，我们过O作OE⊥AC于E，可得OB=OE；再结合O是BD中点，OB=OD，即可推出OE=OD，满足角平分线的判定条件，得证CO平分∠ACD。
2. 证明OA⊥OC：即证明∠AOC=90°。我们可通过证明三角形全等得到角的等量关系：先利用HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO，得到∠AOB=∠AOE；同理可证∠COD=∠COE。由于∠BOE+∠DOE=180°（平角定义），因此∠AOC=∠AOE+∠COE=½(∠BOE+∠DOE)=90°，即可得证OA⊥OC。
【解析】
(1) 过点O作$OE⊥AC$于点E。
因为$∠B=90^{\circ }$，AO平分$∠BAC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OB=OE$。
又因为O为BD的中点，所以$OB=OD$，等量代换得$OE=OD$。
已知$∠D=90^{\circ },∠OEC=90^{\circ }$，即点O到∠ACD的两边CD、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，可得$CO$平分$∠ACD$。
(2) 在$Rt△ABO$和$Rt△AEO$中，
$\begin{cases} AO=AO（公共边）\\ OB=OE（已证） \end{cases}$
根据HL判定定理，可得$Rt△ABO≌Rt△AEO$，因此$∠AOB=∠AOE=\frac{1}{2}∠BOE$。
同理可证$Rt△CDO≌Rt△CEO$，得$∠COD=∠COE=\frac{1}{2}∠DOE$。
因为∠BOE与∠DOE组成平角，所以$∠BOE+∠DOE=180°$，因此：
$∠AOC=∠AOE+∠COE=\frac{1}{2}∠BOE+\frac{1}{2}∠DOE=\frac{1}{2}(∠BOE+∠DOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$
根据垂直的定义，可得$OA⊥OC$。
【答案】
(1) 过点O作$OE⊥AC$于点E.
$\because ∠B=90^{\circ }$,AO平分$∠BAC$,
$\therefore OB=OE$.
$\because O$为BD的中点,$\therefore OB=OD$.
$\therefore OE=OD$.
又$\because ∠D=90^{\circ },∠OEC=90^{\circ }$,
$\therefore CO$平分$∠ACD$.
(2) 在$Rt△ABO$和$Rt△AEO$中,$\because \begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).$
$\therefore ∠AOB=∠AOE=\frac {1}{2}∠BOE.$
同理可得$∠COD=∠COE=\frac {1}{2}∠DOE.$
$\because ∠AOC=∠AOE+∠COE,$
$\therefore ∠AOC=\frac {1}{2}∠BOE+\frac {1}{2}∠DOE=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }.$
$\therefore OA⊥OC.$
【知识点】
角平分线的性质与判定、直角三角形全等的判定、垂直的判定
【点评】
本题是角平分线应用的典型习题，重点考查“遇角平分线作垂线段”这一常用辅助线的作法，将角平分线的性质、判定与全等三角形的知识相结合，解题逻辑连贯，能帮助学生熟练掌握角平分线相关辅助线的应用技巧。
【难度系数】
0.7
要解决这道证明题，我们可以分两步梳理思路：
1. 证明CO平分∠ACD：根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知∠D=90°，即OD⊥CD，因此我们只需证明点O到AC的距离等于OD即可。已知AO平分∠BAC，∠B=90°，根据角平分线的性质，我们过O作OE⊥AC于E，可得OB=OE；再结合O是BD中点，OB=OD，即可推出OE=OD，满足角平分线的判定条件，得证CO平分∠ACD。
2. 证明OA⊥OC：即证明∠AOC=90°。我们可通过证明三角形全等得到角的等量关系：先利用HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO，得到∠AOB=∠AOE；同理可证∠COD=∠COE。由于∠BOE+∠DOE=180°（平角定义），因此∠AOC=∠AOE+∠COE=½(∠BOE+∠DOE)=90°，即可得证OA⊥OC。
【解析】
(1) 过点O作$OE⊥AC$于点E。
因为$∠B=90^{\circ }$，AO平分$∠BAC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OB=OE$。
又因为O为BD的中点，所以$OB=OD$，等量代换得$OE=OD$。
已知$∠D=90^{\circ },∠OEC=90^{\circ }$，即点O到∠ACD的两边CD、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，可得$CO$平分$∠ACD$。
(2) 在$Rt△ABO$和$Rt△AEO$中，
$\begin{cases} AO=AO（公共边）\\ OB=OE（已证） \end{cases}$
根据HL判定定理，可得$Rt△ABO≌Rt△AEO$，因此$∠AOB=∠AOE=\frac{1}{2}∠BOE$。
同理可证$Rt△CDO≌Rt△CEO$，得$∠COD=∠COE=\frac{1}{2}∠DOE$。
因为∠BOE与∠DOE组成平角，所以$∠BOE+∠DOE=180°$，因此：
$∠AOC=∠AOE+∠COE=\frac{1}{2}∠BOE+\frac{1}{2}∠DOE=\frac{1}{2}(∠BOE+∠DOE)=\frac{1}{2}×180°=90°$
根据垂直的定义，可得$OA⊥OC$。
【答案】
(1) 过点O作$OE⊥AC$于点E.
$\because ∠B=90^{\circ }$,AO平分$∠BAC$,
$\therefore OB=OE$.
$\because O$为BD的中点,$\therefore OB=OD$.
$\therefore OE=OD$.
又$\because ∠D=90^{\circ },∠OEC=90^{\circ }$,
$\therefore CO$平分$∠ACD$.
(2) 在$Rt△ABO$和$Rt△AEO$中,$\because \begin{cases} AO=AO,\\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).$
$\therefore ∠AOB=∠AOE=\frac {1}{2}∠BOE.$
同理可得$∠COD=∠COE=\frac {1}{2}∠DOE.$
$\because ∠AOC=∠AOE+∠COE,$
$\therefore ∠AOC=\frac {1}{2}∠BOE+\frac {1}{2}∠DOE=\frac {1}{2}×180^{\circ }=90^{\circ }.$
$\therefore OA⊥OC.$
【知识点】
角平分线的性质与判定、直角三角形全等的判定、垂直的判定
【点评】
本题是角平分线应用的典型习题，重点考查“遇角平分线作垂线段”这一常用辅助线的作法，将角平分线的性质、判定与全等三角形的知识相结合，解题逻辑连贯，能帮助学生熟练掌握角平分线相关辅助线的应用技巧。
【难度系数】
0.7
2. 新考法等面积法 如图，点F,G是OA上两点，点M,N是OB上两点，且$FG=MN$，$△ PFG$和$△ PMN$的面积相等.试判断点P是否在$∠ AOB$的平分线上，并说明理由.
答案
2. 【解】点P在$∠AOB$的平分线上.
理由如下:
作$PD⊥OA$于点D,$PE⊥OB$于点E.$\because S_{△PFG}=\frac {1}{2}FG· PD,$
$S_{△PMN}=\frac {1}{2}MN· PE,$
$S_{△PFG}=S_{△PMN},$
$\therefore \frac {1}{2}FG· PD=\frac {1}{2}MN· PE.$
又$\because FG=MN,\therefore PD=PE.$
$\therefore$ 点P在$∠AOB$的平分线上.
点方法 等线段证角平分线法就是利用角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上这一定理,通过证明角内部的点到角两边的距离相等从而得到点在角的平分线上,即距离相等→角平分线.
解析
【分析】
要判断点P是否在∠AOB的平分线上，依据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB两边的距离相等即可。已知△PFG和△PMN的面积相等，且底FG=MN，我们可过点P分别作OA、OB的垂线，两条垂线即为两个三角形对应底边上的高，结合三角形面积公式即可推导出两条高相等，进而得出结论。
【解析】
过点P作$PD⊥OA$于点D，$PE⊥OB$于点E。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△PFG}=\frac{1}{2}FG·PD$，$S_{△PMN}=\frac{1}{2}MN·PE$
$\because S_{△PFG}=S_{△PMN}$
$\therefore \frac{1}{2}FG·PD=\frac{1}{2}MN·PE$
又$\because FG=MN$，等式两边同时约去相等的量，可得$PD=PE$
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此点P在∠AOB的平分线上。
【答案】
点P在$∠AOB$的平分线上.
理由如下:作$PD⊥OA$于点D,$PE⊥OB$于点E.
$\because S_{△PFG}=\frac {1}{2}FG· PD,$
$S_{△PMN}=\frac {1}{2}MN· PE,$
$S_{△PFG}=S_{△PMN},$
$\therefore \frac {1}{2}FG· PD=\frac {1}{2}MN· PE.$
又$\because FG=MN,\therefore PD=PE.$
$\therefore$ 点P在$∠AOB$的平分线上.
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形面积公式
3. 等面积法
【点评】
本题考查等面积法在几何证明中的应用，解题关键是通过作点到角两边的垂线这一常用辅助线，将面积相等的条件转化为点到两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，是角平分线判定的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断点P是否在∠AOB的平分线上，依据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB两边的距离相等即可。已知△PFG和△PMN的面积相等，且底FG=MN，我们可过点P分别作OA、OB的垂线，两条垂线即为两个三角形对应底边上的高，结合三角形面积公式即可推导出两条高相等，进而得出结论。
【解析】
过点P作$PD⊥OA$于点D，$PE⊥OB$于点E。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△PFG}=\frac{1}{2}FG·PD$，$S_{△PMN}=\frac{1}{2}MN·PE$
$\because S_{△PFG}=S_{△PMN}$
$\therefore \frac{1}{2}FG·PD=\frac{1}{2}MN·PE$
又$\because FG=MN$，等式两边同时约去相等的量，可得$PD=PE$
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此点P在∠AOB的平分线上。
【答案】
点P在$∠AOB$的平分线上.
理由如下:
作$PD⊥OA$于点D,$PE⊥OB$于点E.$\because S_{△PFG}=\frac {1}{2}FG· PD,$
$S_{△PMN}=\frac {1}{2}MN· PE,$
$S_{△PFG}=S_{△PMN},$
$\therefore \frac {1}{2}FG· PD=\frac {1}{2}MN· PE.$
又$\because FG=MN,\therefore PD=PE.$
$\therefore$ 点P在$∠AOB$的平分线上.
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形面积公式
3. 等面积法
【点评】
本题考查等面积法在几何证明中的应用，解题关键是通过作点到角两边的垂线这一常用辅助线，将面积相等的条件转化为点到两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理得出结论，是角平分线判定的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ AOB$中，$AO=OB$，$∠ AOB=90°$，$BD$平分$∠ ABO$交$AO$于点$D$，$AE⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$. 求证:$BD=2AE$. 
答案
3. 【证明】
延长AE交BO的延长线于点F.$\because AE⊥BE,\therefore ∠AEB=∠FEB=90^{\circ }.$
$\because BD$平分$∠ABO$,
$\therefore ∠ABE=∠FBE$.又$\because BE=BE$,
$\therefore △ABE≌△FBE(ASA).$
$\therefore AE=FE.\therefore AF=2AE.$
$\because ∠AOF=∠AOB=90^{\circ },$
$∠FEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90^{\circ },∠OBD+∠AFO=90^{\circ }.$
$\therefore ∠OAF=∠OBD.$
又$\because OA=OB,∠AOF=∠BOD=90^{\circ },$
$\therefore △AOF≌△BOD(ASA).\therefore AF=BD.\therefore BD=2AE.$
解析
【分析】
要证明$BD=2AE$，属于线段倍分关系的证明，通常可通过“加倍法”将短线段扩大为原来的2倍，再证明其与长线段相等。观察图形，$BD$是$∠ABO$的角平分线，且$AE⊥BD$，符合“角平分线+垂线”的特征，因此可延长$AE$交$BO$的延长线于点$F$，先构造$△ ABE$和$△ FBE$全等，得到$AE=EF$，即$AF=2AE$，再证明$AF$与$BD$所在的$△ AOF$和$△ BOD$全等，得到$AF=BD$，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：延长$AE$交$BO$的延长线于点$F$。
$\because AE⊥BE$，$\therefore ∠AEB=∠FEB=90°$。
$\because BD$平分$∠ABO$，$\therefore ∠ABE=∠FBE$。
又$\because BE=BE$，$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AE=FE$，即$AF=2AE$。
$\because ∠AOF=∠AOB=90°$，$∠FEB=90°$，
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90°$，$∠OBD+∠AFO=90°$，
$\therefore ∠OAF=∠OBD$（同角的余角相等）。
又$\because OA=OB$，$∠AOF=∠BOD=90°$，
$\therefore △ AOF≌△ BOD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=BD$，
$\therefore BD=2AE$。
【答案】
延长AE交BO的延长线于点F.
$\because AE⊥BE,\therefore ∠AEB=∠FEB=90^{\circ }.$
$\because BD$平分$∠ABO$,
$\therefore ∠ABE=∠FBE$.又$\because BE=BE$,
$\therefore △ABE≌△FBE(ASA).$
$\therefore AE=FE.\therefore AF=2AE.$
$\because ∠AOF=∠AOB=90^{\circ },$
$∠FEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90^{\circ },∠OBD+∠AFO=90^{\circ }.$
$\therefore ∠OAF=∠OBD.$
又$\because OA=OB,∠AOF=∠BOD=90^{\circ },$
$\therefore △AOF≌△BOD(ASA).\therefore AF=BD.\therefore BD=2AE.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线作辅助线的典型应用，当遇到角平分线与某条线段垂直的组合条件时，常延长垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形实现线段的转化，解题的关键是合理作出辅助线，将倍分线段的证明转化为等线段的证明。
【难度系数】
0.6
要证明$BD=2AE$，属于线段倍分关系的证明，通常可通过“加倍法”将短线段扩大为原来的2倍，再证明其与长线段相等。观察图形，$BD$是$∠ABO$的角平分线，且$AE⊥BD$，符合“角平分线+垂线”的特征，因此可延长$AE$交$BO$的延长线于点$F$，先构造$△ ABE$和$△ FBE$全等，得到$AE=EF$，即$AF=2AE$，再证明$AF$与$BD$所在的$△ AOF$和$△ BOD$全等，得到$AF=BD$，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：延长$AE$交$BO$的延长线于点$F$。
$\because AE⊥BE$，$\therefore ∠AEB=∠FEB=90°$。
$\because BD$平分$∠ABO$，$\therefore ∠ABE=∠FBE$。
又$\because BE=BE$，$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AE=FE$，即$AF=2AE$。
$\because ∠AOF=∠AOB=90°$，$∠FEB=90°$，
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90°$，$∠OBD+∠AFO=90°$，
$\therefore ∠OAF=∠OBD$（同角的余角相等）。
又$\because OA=OB$，$∠AOF=∠BOD=90°$，
$\therefore △ AOF≌△ BOD(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AF=BD$，
$\therefore BD=2AE$。
【答案】
延长AE交BO的延长线于点F.$\because AE⊥BE,\therefore ∠AEB=∠FEB=90^{\circ }.$
$\because BD$平分$∠ABO$,
$\therefore ∠ABE=∠FBE$.又$\because BE=BE$,
$\therefore △ABE≌△FBE(ASA).$
$\therefore AE=FE.\therefore AF=2AE.$
$\because ∠AOF=∠AOB=90^{\circ },$
$∠FEB=90^{\circ },$
$\therefore ∠OAF+∠AFO=90^{\circ },∠OBD+∠AFO=90^{\circ }.$
$\therefore ∠OAF=∠OBD.$
又$\because OA=OB,∠AOF=∠BOD=90^{\circ },$
$\therefore △AOF≌△BOD(ASA).\therefore AF=BD.\therefore BD=2AE.$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线作辅助线的典型应用，当遇到角平分线与某条线段垂直的组合条件时，常延长垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形实现线段的转化，解题的关键是合理作出辅助线，将倍分线段的证明转化为等线段的证明。
【难度系数】
0.6
4. ★★ 原创题 如图，$△ ABC$为锐角三角形，$AD$为$△ ABC$的中线，$DE$，$DF$分别是$△ ADB$和$△ ADC$的角平分线，连接$EF$.求证：$BE+CF＞EF$.
答案
4. 【证明】
在AD上截取$DH=BD$,连接EH,FH.$\because AD$是BC边上的中线,
$\therefore BD=CD=DH.$
$\because DE$平分$∠ADB$,
$\therefore ∠BDE=∠HDE.$
又$\because DE=DE,$
$\therefore △BDE≌△HDE(SAS).$
$\therefore BE=HE.$
同理可证$△CDF≌△HDF,\therefore CF=HF.$
在$△HEF$中,$\because HE+HF＞EF,\therefore BE+CF＞EF.$
解析
【分析】
要证明$BE+CF＞EF$，首先联想到三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，但$BE$、$CF$、$EF$三条线段不在同一个三角形中，因此需要通过转化将三条线段集中到同一个三角形里。结合题目给出的角平分线、中线条件，可以采用截长补短法构造全等三角形：在$AD$上截取$DH=BD$，利用SAS分别证明$△ BDE≌△ HDE$、$△ CDF≌△ HDF$，把$BE$转化为$HE$，$CF$转化为$HF$，此时$HE$、$HF$、$EF$刚好是$△ HEF$的三条边，即可利用三边关系证明结论。
【解析】
证明：在$AD$上截取$DH=BD$，连接$EH$，$FH$。
$\because AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD=CD=DH$。
$\because DE$平分$∠ ADB$，
$\therefore ∠ BDE=∠ HDE$。
又$\because DE=DE$，
$\therefore △ BDE≌△ HDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=HE$。
同理可证$△ CDF≌△ HDF$，
$\therefore CF=HF$。
在$△ HEF$中，根据三角形三边关系可得$HE+HF＞EF$，
将$HE=BE$、$HF=CF$代入，即可得$BE+CF＞EF$。
【答案】
证明：在AD上截取$DH=BD$,连接EH,FH.
$\because AD$是BC边上的中线,
$\therefore BD=CD=DH.$
$\because DE$平分$∠ADB$,
$\therefore ∠BDE=∠HDE.$
又$\because DE=DE,$
$\therefore △BDE≌△HDE(SAS).$
$\therefore BE=HE.$
同理可证$△CDF≌△HDF,\therefore CF=HF.$
在$△HEF$中,$\because HE+HF＞EF,\therefore BE+CF＞EF.$
【知识点】
三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是证明线段不等关系的典型题型，解题核心是通过构造全等三角形将分散的三条待证线段转移到同一个三角形中，作辅助线时充分利用角平分线、中线的已知条件，结合三角形三边关系即可完成证明，该思路是解决线段和差不等问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
要证明$BE+CF＞EF$，首先联想到三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，但$BE$、$CF$、$EF$三条线段不在同一个三角形中，因此需要通过转化将三条线段集中到同一个三角形里。结合题目给出的角平分线、中线条件，可以采用截长补短法构造全等三角形：在$AD$上截取$DH=BD$，利用SAS分别证明$△ BDE≌△ HDE$、$△ CDF≌△ HDF$，把$BE$转化为$HE$，$CF$转化为$HF$，此时$HE$、$HF$、$EF$刚好是$△ HEF$的三条边，即可利用三边关系证明结论。
【解析】
证明：
在$AD$上截取$DH=BD$，连接$EH$，$FH$。$\because AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore BD=CD=DH$。
$\because DE$平分$∠ ADB$，
$\therefore ∠ BDE=∠ HDE$。
又$\because DE=DE$，
$\therefore △ BDE≌△ HDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=HE$。
同理可证$△ CDF≌△ HDF$，
$\therefore CF=HF$。
在$△ HEF$中，根据三角形三边关系可得$HE+HF＞EF$，
将$HE=BE$、$HF=CF$代入，即可得$BE+CF＞EF$。
【答案】
证明：
在AD上截取$DH=BD$,连接EH,FH.$\because AD$是BC边上的中线,
$\therefore BD=CD=DH.$
$\because DE$平分$∠ADB$,
$\therefore ∠BDE=∠HDE.$
又$\because DE=DE,$
$\therefore △BDE≌△HDE(SAS).$
$\therefore BE=HE.$
同理可证$△CDF≌△HDF,\therefore CF=HF.$
在$△HEF$中,$\because HE+HF＞EF,\therefore BE+CF＞EF.$
【知识点】
三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是证明线段不等关系的典型题型，解题核心是通过构造全等三角形将分散的三条待证线段转移到同一个三角形中，作辅助线时充分利用角平分线、中线的已知条件，结合三角形三边关系即可完成证明，该思路是解决线段和差不等问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
