1. 如图,根据提供的数据回答下列问题:
(1)在图①中,$\sin A =$ ,$\cos A =$ , $\sin^2 A + \cos^2 A =$ ;
在图②中,$\sin A_1 =$ ,$\cos A_1 =$ , $\sin^2 A_1 + \cos^2 A_1 =$ .
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律?用一个一般式表示出你的发现并加以证明.
(2)利用你发现的规律求解以下题目:
已知$β$是锐角,且满足$\sinβ = 3\cosβ$,求$\sinβ,\cosβ$的值.

(1) 规律：对于任意锐角 $α$, 有 $\sin^2α + \cos^2α=1$.
证明：如图, 在 $\mathrm{Rt}△A'B'C'$ 中, $∠ C' = 90°, ∠ A' = α$.
$\because \sin α = \dfrac{a}{c},\cos α = \dfrac{b}{c}$,
$\therefore \sin^2α + \cos^2α = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$.
$\because a^2 + b^2 = c^2,\therefore \sin^2α + \cos^2α = \dfrac{c^2}{c^2} = 1$.
(2) $\because β$ 为锐角, $\therefore \sin β＞0,\cos β＞0$.
由 $\begin{cases}\sin^2β + \cos^2β=1,\\\sin β=3\cos β,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}\sin β=\dfrac{3\sqrt{10}}{10},\\\cos β=\dfrac{\sqrt{10}}{10}.\end{cases}$
故 $\sin β$ 的值为 $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$,$\cos β$ 的值为 $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°$, $\cos B=\dfrac{1}{4}$,点 $D$ 是边 $BC$ 的中点,以 $AD$ 为底边在其右侧作三角形 $ADE$,使 $∠ ADE=∠ B$, $AE=DE$,连接 $CE$,则 $\dfrac{CE}{AD}$ 的值为（）

A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
D.$2$

【点拨】设 $DE$ 交 $AC$ 于点 $T$,过点 $E$ 作 $EH⊥ CD$ 于点 $H$,如图所示.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,点 $D$ 是边 $BC$ 的中点,
$\therefore AD=DB=DC. \therefore ∠ B = ∠ DAB$.
$\because ∠ B = ∠ ADE,\therefore ∠ DAB = ∠ ADE$.
$\therefore AB// DE. \therefore ∠ DTC = ∠ BAC = 90°$.
$\because DT// AB,BD=DC,\therefore AT=TC$.
$\therefore AE=CE. \because AE=DE,\therefore CE=DE. \therefore ∠ EDC = ∠ ECD$.
$\because EH⊥ CD,\therefore CH=DH. \because DE// AB$,
$\therefore ∠ EDC = ∠ B$.
$\therefore ∠ ECD = ∠ B. \therefore \cos ∠ ECH = \cos B = \dfrac{1}{4}$.
$\therefore \dfrac{CH}{CE} = \dfrac{1}{4}. \therefore \dfrac{CE}{AD} = \dfrac{CE}{CD} = \dfrac{CE}{2CH} = 2$.

3. 教材母题 教材P146复习题T3变式 计算：
(1)[2025 广安] $|\sqrt{5}-3| + 2\sin 30° - (π - 2025)^0 + (\frac{1}{3})^{-1}$
(2)$-2\cos 45° + (π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| + (\frac{1}{4})^{-1}$

(1) 原式$=3-\sqrt{5}+2× \dfrac{1}{2}-1+3$
$=3-\sqrt{5}+1-1+3$
$=6-\sqrt{5}$.
(2) 原式$=-2× \dfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\sqrt{2}-1+4$
$=-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1+4$
$=4$.

4.如图，A,B,C是三艘军舰，B舰在A舰正东方向6海里处，C舰在A舰北偏西$30°$方向4海里处.某日8:00,A,B,C三艘军舰同时收到渔船P发出的同一求救信号,信号的传播速度相同,则A舰与渔船P相距海里.

【点拨】根据题意可得,点 $P$ 是 $AC,AB$ 垂直平分线的交点.如图,作 $AC$ 的垂直平分线 $PF$,交 $AC$ 于 $F$,作 $AB$ 的垂直平分线 $PD$,交 $AB$ 于 $D$,设 $AM$ 交 $PF$ 于点 $G$,作 $GE⊥ PD$ 于点 $E$,连接 $AP,\therefore ∠ PFA = ∠ PDA = ∠ GED = 90°$,$AF=CF=2$ 海里,$AD=BD=3$ 海里. $\because ∠ GAD=90°$,
$\therefore$ 四边形 $ADEG$ 是矩形,$\therefore DE=AG,GE=AD=3$ 海里. 由题意可知,$∠ FAG=30°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△AGF$ 中,$FG=AF· \tan 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}AF = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 海里,$\therefore AG=2FG=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 海里,
$\therefore DE=AG=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 海里. $\because ∠ FAD=90°+30°=120°$,$\therefore$ 易得 $∠ FPD=60°$,$\therefore ∠ PGE=30°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△PGE$ 中,$PE=\dfrac{\sqrt{3}}{3}GE=\dfrac{\sqrt{3}}{3}× 3=\sqrt{3}$(海里),$\therefore PD=PE+DE=\sqrt{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$(海里),
$\therefore AP=\sqrt{AD^2+PD^2}=\sqrt{3^2+(\dfrac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\dfrac{2\sqrt{57}}{3}$(海里).