1. 下列关系式中，$y$不是$x$的反比例函数的是（）

A.$xy=π$
B.$y=-\dfrac{1}{2x}$
C.$y=-3x^{-1}$
D.$y=\dfrac{a}{x}$

1.D

【分析】
解题前先明确反比例函数的定义和3种常见表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题时只需逐个对照选项验证是否满足上述形式，重点注意“比例系数$k$不能为0”的隐含条件，即可判断出正确选项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，等价形式还有$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。
对选项逐一分析：
选项A：$xy=π$可变形为$y=\frac{π}{x}$，$π$是不为0的常数，符合反比例函数形式，是反比例函数；
选项B：$y=-\frac{1}{2x}$可改写为$y=\frac{-\frac{1}{2}}{x}$，比例系数$-\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
选项C：$y=-3x^{-1}$可改写为$y=\frac{-3}{x}$，比例系数$-3≠0$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
选项D：$y=\frac{a}{x}$中没有明确说明$a$是不为0的常数，若$a=0$，则$y=0$不属于反比例函数，因此$y$不一定是$x$的反比例函数。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的表达形式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要注意反比例函数定义中“比例系数为非零常数”的隐含限制，忽略该条件很容易出现误判。
【难度系数】
0.8

2.若$y=(5+m)x^{2+n}$是关于x的反比例函数，则$m,n$的值分别是（）

A.$-5,-3$
B.$5,-3$
C.$5,3$
D.$-5,-4$

2.B

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可以写成$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），即自变量$x$的指数为$-1$，同时自变量的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，求解出$m$、$n$的取值要求，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
已知$y=(5+m)x^{2+n}$是关于$x$的反比例函数，根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的指数为$-1$，即$2+n=-1$，解得$n=-3$；
2. 自变量的系数不为0，即$5+m≠0$，解得$m≠-5$。
结合选项，只有B选项中$m=5$（满足$m≠-5$）、$n=-3$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题，解题的关键是牢记反比例函数的两个成立条件：自变量的指数为$-1$、比例系数不为0，注意不要遗漏系数不为0的限制，避免误选。
【难度系数】
0.7

3. 在反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象上，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞3$
B.$m＜0$
C.$m＜3$
D.$m＞0$

3.C

【分析】
解决本题首先要回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k$的符号直接决定函数的增减性。题目给出$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，我们可以对应到$k＜0$的性质，由此列出关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
本题中反比例函数为$y=\frac{m-3}{x}$，其中比例系数$k=m-3$，已知$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，因此可得：
$m-3＜0$
解得$m＜3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题核心是熟练掌握反比例函数比例系数$k$与函数增减性的对应关系，易错点是忽略增减性成立的“在每个象限内”的前提，本题明确给出$x＜0$的范围，降低了判断难度，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

4.已知点$(-1,y_1),(-2,y_2),(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{-k^2 -1}{x}$的图象上，则下列结论正确的是（）

A.$y_1＞y_3＞y_2$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

4.B

【分析】
解题第一步先判断反比例函数的比例系数符号：由平方的非负性可知k²≥0，因此比例系数-k²-1恒小于0，可确定函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。第二步区分三个点所在的象限：横坐标为负的点在第二象限，纵坐标为正；横坐标为正的点在第四象限，纵坐标为负，因此第四象限的y₃最小。第三步比较第二象限内两个点的函数值：根据同一象限内的增减性，横坐标越大，对应y值越大，即可得出y₁、y₂的大小关系，最终排序得到结果。
【解析】
解：
∵对于任意实数k，都有k²≥0，
∴$-k^2-1=-(k^2+1)＜0$，
∴反比例函数$y=\frac{-k^2 -1}{x}$的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
∵点$(-1,y_1)$、$(-2,y_2)$的横坐标为负，位于第二象限，
∴$y_1＞0$，$y_2＞0$，
又
∵$-1＞-2$，
∴$y_1＞y_2$；
∵点$(3,y_3)$的横坐标为正，位于第四象限，
∴$y_3＜0$，
综上可得：$y_1＞y_2＞y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，平方的非负性，函数图象上点的特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题核心是先确定比例系数的符号，明确函数图象所在象限和增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较函数值时可直接根据正负性判断，避免误用增减性出错。
【难度系数】
0.7

5. (陕西中考)已知点$A(-2,m)$在一个反比例函数的图象上，点$A'$与点$A$关于$y$轴对称.
若点$A'$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上，则
这个反比例函数的解析式为.

5.$y=-\dfrac{2}{x}$

【分析】
解题可按三步推导：第一步根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出点A的对称点A'的坐标；第二步将A'的坐标代入已知正比例函数解析式，求出m的值，得到点A的完整坐标；第三步将点A坐标代入反比例函数的一般形式，求出比例系数k，即可得到反比例函数解析式。
【解析】
1. 求点A'的坐标：
已知点$A(-2,m)$与点$A'$关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，因此$A'$的坐标为$(2,m)$。
2. 求m的值：
因为点$A'$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象上，将$x=2,y=m$代入解析式得：
$m=\frac{1}{2}×2=1$
即可得点A的坐标为$(-2,1)$。
3. 求反比例函数解析式：
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将点$A(-2,1)$代入解析式得：
$1=\frac{k}{-2}$
解得$k=-2$，因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；正比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础类函数综合题，结合了坐标对称变换与两类函数的性质考察，解题逻辑清晰，按步骤逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7

6.如图，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC面积为4，则k的值为（）

A.－4
B.4
C.－8
D.8

6.C

【分析】
解题时先观察图形特征：AB垂直于y轴，因此AB平行于x轴，由此可得△ABC和△ABO（O为坐标原点）同底等高，面积相等。再结合反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，最后根据函数图象所在象限判断k的符号，即可求出k的值。
【解析】
连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB//x轴，
∴△ABC和△ABO同底等高，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=4$。
根据反比例函数k的几何意义可知，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|$，
∴$\frac{1}{2}|k|=4$，解得$|k|=8$。
由图可知反比例函数图象分布在第二、四象限，因此$k＜0$，
∴$k=-8$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查反比例函数系数k的几何意义的应用，解题的突破口是利用平行线的性质得到两个三角形面积相等，解题时要注意结合函数图象的位置判断k的符号，避免漏看符号导致出错。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上,顶点B在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.4
D.6

7.C

【分析】
本题可利用平行四边形对边平行的性质，结合反比例函数图象上点的坐标特征求解。首先设出点A的坐标，由AB平行于x轴（OC在x轴上，平行四边形对边平行）可得点B的纵坐标与A相同，将其代入点B所在的反比例函数解析式，即可求出点B的横坐标，进而得到平行四边形的底边长，平行四边形的高等于点A的纵坐标，最后用底乘高计算面积即可，计算过程中所设的未知数会抵消，得到固定的面积值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$，因点A在第一象限）。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$AB// OC$，
又
∵OC在x轴上，
∴AB平行于x轴，即点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{1}{a}$。
把$y=\frac{1}{a}$代入$y=\frac{5}{x}$，得：
$\frac{1}{a}=\frac{5}{x}$，解得$x=5a$，即点B的坐标为$(5a,\frac{1}{a})$。
∴$AB=5a - a=4a$，平行四边形的高等于点A的纵坐标$\frac{1}{a}$。
根据平行四边形面积公式：
$S_{\mathrm{平行四边形}OABC}=底×高=4a×\frac{1}{a}=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，通过设点坐标、利用函数解析式表示相关点坐标的方法求解，计算过程中参数自动消去，不需要求出参数的具体值，解题时要注意运用几何图形的性质简化计算。
【难度系数】
0.6

8.(丹东中考)如图,点A在双曲线$y=\frac{6}{x}(x＞0)$上,过点A作$AB⊥x$轴于点B,点C在线段AB上,且$BC:CA=1:2$.若双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点C,则$k=$.

8.2

【分析】
我们可以先利用反比例函数图象上点的坐标特征设出点A的坐标，再根据BC和CA的比例关系求出点C的坐标，最后将点C坐标代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k的值。也可以结合反比例函数$k$的几何意义，通过面积的比例关系快速求解。
【解析】
设点A的横坐标为$a$（$a＞0$），
∵点A在双曲线$y=\frac{6}{x}(x＞0)$上，
∴点A的纵坐标为$\frac{6}{a}$，即$A(a,\frac{6}{a})$。
∵$AB⊥x$轴于点B，
∴点B坐标为$(a,0)$，线段$AB$的长度为$\frac{6}{a}$，点C的横坐标与A相同，为$a$。
∵$BC:CA=1:2$，
∴$BC=\frac{1}{1+2}AB=\frac{1}{3}AB$，
∴点C的纵坐标为$\frac{1}{3}×\frac{6}{a}=\frac{2}{a}$，即$C(a,\frac{2}{a})$。
∵双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点C，
∴将$C(a,\frac{2}{a})$代入解析式得：$k=a×\frac{2}{a}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征
2.比例线段计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常见题型，解题核心是找到两个反比例函数上点的坐标关联，既可以用坐标法逐步推导，也可以用k的几何意义简化计算，解题方法灵活。
【难度系数】
0.7

9.(滨州中考)在同一平面直角坐标系中，函数$y=kx+1$与$y=-\frac{k}{x}$(k为常数且$k≠0$)的图象大致是（）

9.A

【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，可分两步分析：第一步先根据一次函数的常数项确定其与y轴的交点位置，排除明显错误的选项；第二步对k的正负分类讨论，分别判断一次函数、反比例函数的图象所在象限是否一致，即可选出正确选项。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=kx+1$的性质：
一次函数与y轴的交点为$(0,1)$，即交点在y轴正半轴，观察选项，B、D中一次函数与y轴交于负半轴，直接排除B、D。
2. 分情况讨论k的符号：
① 若$k＞0$：一次函数$y=kx+1$斜率为正，图象经过第一、二、三象限；此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＜0$，图象位于第二、四象限，选项A符合该特征。
② 若$k＜0$：一次函数$y=kx+1$斜率为负，图象经过第一、二、四象限；此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$中$-k＞0$，图象位于第一、三象限。选项C中一次函数经过第一、二、三象限（说明$k＞0$），但反比例函数位于第一、三象限（说明$k＜0$），两者矛盾，排除C。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象综合判断的常见题型，解题核心是抓住函数表达式中的参数对图象位置的影响，先通过固定特征排错，再分类讨论验证参数符号是否一致，能有效考查学生对函数性质的掌握程度和分析推理能力。
【难度系数】
0.7

10.已知反比例函数$y=\frac{-4}{x}$与正比例函数$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的图象交于A，B两点，若点A的坐标为$(m,4)$，则点B的坐标为.

10.$(1,-4)$

【分析】
解题可按以下思路展开：首先，点在函数图象上时坐标满足对应函数解析式，先将点A坐标代入反比例函数，求出m的值得到点A的完整坐标；接下来有两种解题路径：一是先将点A代入正比例函数求出k，再联立两个函数解析式解方程组，得到的两个交点解中排除点A即为点B；二是利用反比例函数和正比例函数的中心对称性，二者交点关于原点对称，直接由点A坐标求对称点得到点B，第二种方法更简便。
【解析】
1. 求点A的横坐标
已知点$A(m,4)$在反比例函数$y=\frac{-4}{x}$上，将$x=m$，$y=4$代入解析式得：
$4=\frac{-4}{m}$
解得$m=-1$，即点A坐标为$(-1,4)$。
2. 求点B坐标
方法一：联立方程求解
将$A(-1,4)$代入正比例函数$y=kx$得：$4=-1× k$，解得$k=-4$，即正比例函数为$y=-4x$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=\frac{-4}{x}\\y=-4x\end{cases}$
将$y=-4x$代入反比例函数得：$-4x=\frac{-4}{x}$，两边同乘不为0的x得：$-4x^2=-4$，化简得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
$x=-1$对应点A，当$x=1$时，$y=-4×1=-4$，即点B坐标为$(1,-4)$。
方法二：利用中心对称性求解
反比例函数是中心对称图形，对称中心为原点，正比例函数图象过原点，因此两个函数的交点关于原点对称。
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知$A(-1,4)$，因此点B坐标为$(1,-4)$。
【答案】
$(1,-4)$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；反比例函数的对称性；函数交点求解
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数结合的基础题型，既可以用联立方程的常规方法求解，也可以利用函数对称性快速得到结果，解题时灵活选择方法可提高做题效率。
【难度系数】
0.8

11. 如图，正比例函数$y=kx$的图象与反比例函数$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(a,4)$。点$B$为$x$轴正半轴上一点，过点$B$作$x$轴的垂线交反比例函数的图象于点$C$，交正比例函数的图象于点$D$。若$BD=10$，则$△ ACD$的面积为________。

11.12.6

【分析】
解题时按以下步骤思考：①先利用反比例函数解析式求出点A的横坐标，得到A点坐标；②将A点坐标代入正比例函数，求出正比例函数的解析式；③根据BD=10且BD垂直x轴，得到D点纵坐标，代入正比例函数求出D点横坐标，也就是点B的横坐标；④将B点横坐标代入反比例函数，求出C点纵坐标，得到线段CD的长度；⑤△ACD以CD为底，高为B点与A点的横坐标之差，代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求点A的坐标：
∵点$A(a,4)$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象上
∴将$y=4$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$4=\dfrac{8}{a}$，解得$a=2$，即$A(2,4)$
2. 求正比例函数解析式：
将$A(2,4)$代入$y=kx$，得$4=2k$，解得$k=2$
∴正比例函数解析式为$y=2x$
3. 求点B的横坐标：
∵$BD⊥ x$轴，$BD=10$，
∴D点纵坐标为10
将$y=10$代入$y=2x$，得$10=2x$，解得$x=5$，即点B的横坐标为5，$D(5,10)$
4. 求点C的坐标及CD的长度：
将$x=5$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$y=\dfrac{8}{5}=1.6$，即$C(5,1.6)$
∴$CD=10 - 1.6=8.4$
5. 计算$△ ACD$的面积：
$△ ACD$中，CD边上的高为$5 - 2=3$
∴$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}× CD× 3=\dfrac{1}{2}×8.4×3=12.6$
【答案】
12.6
【知识点】
函数交点问题，点坐标与函数解析式的关系，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正比例函数和反比例函数的图象性质，核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，依次求出所需点的坐标后结合面积公式计算即可，是函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7