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12.(东营中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b(a＜0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A(-m,3m),B(4,-3)$两点,与$y$轴交于点$C$,连接$OA,OB$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集.
答案
12.解:(1)
∵点B(4,-3)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴$-3=\frac{k}{4}$.
∴$k=-12$.
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$.
∵A(-m,3m)在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上,
∴$3m=-\frac{12}{-m}$,解得$m_1=2,m_2=-2$(舍去).
∴点A的坐标为(-2,6).
∵点A,B在一次函数$y=ax+b$的图象上,
∴把A(-2,6),B(4,-3)分别代入,得$\begin{cases}-2a+b=6,\\4a+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+3$.
(2)
∵点C为直线AB与y轴的交点,
∴OC=3.
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4=9$.
(3)由题意,得$x＜-2$或$0＜x＜4$.
∵点B(4,-3)在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴$-3=\frac{k}{4}$.
∴$k=-12$.
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$.
∵A(-m,3m)在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上,
∴$3m=-\frac{12}{-m}$,解得$m_1=2,m_2=-2$(舍去).
∴点A的坐标为(-2,6).
∵点A,B在一次函数$y=ax+b$的图象上,
∴把A(-2,6),B(4,-3)分别代入,得$\begin{cases}-2a+b=6,\\4a+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+3$.
(2)
∵点C为直线AB与y轴的交点,
∴OC=3.
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4=9$.
(3)由题意,得$x＜-2$或$0＜x＜4$.
解析
【分析】
(1)求函数解析式采用待定系数法：先将已知点B的坐标代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定点A的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可求出一次函数解析式。
(2)求△AOB的面积时，由于A、B位于y轴两侧，可通过一次函数与y轴的交点C将△AOB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形共底OC，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积求和即可。
(3)不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的几何意义是反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围，观察图象时注意反比例函数自变量x≠0，分x＜0和x＞0两个区间查找符合条件的范围即可。
【解析】
(1)
∵点$B(4,-3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{k}{4}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
∵点$A(-m,3m)$在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上，
∴$3m=-\frac{12}{-m}$，解得$m_1=2$，$m_2=-2$（舍去），
∴点A的坐标为$(-2,6)$。
将$A(-2,6)$、$B(4,-3)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases}-2a+b=6\\4a+b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2}\\b=3\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
(2)
∵点C是一次函数$y=-\frac{3}{2}x+3$与y轴的交点，令x=0得y=3，
∴$OC=3$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4=9$。
(3)观察图象可得，反比例函数图象在一次函数图象下方时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜4$，即不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集为$x＜-2$或$0＜x＜4$。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{2}x+3}$；
(2)$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{9}$；
(3)不等式的解集为$\boldsymbol{x＜-2}$或$\boldsymbol{0＜x＜4}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题型，重点考查数形结合思想的应用，其中割补法求解坐标系内图形面积、结合图象解函数不等式是这类题的常考方向，解题时注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
(1)求函数解析式采用待定系数法：先将已知点B的坐标代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数解析式；再将点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，确定点A的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可求出一次函数解析式。
(2)求△AOB的面积时，由于A、B位于y轴两侧，可通过一次函数与y轴的交点C将△AOB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形共底OC，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算两个三角形面积求和即可。
(3)不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的几何意义是反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围，观察图象时注意反比例函数自变量x≠0，分x＜0和x＞0两个区间查找符合条件的范围即可。
【解析】
(1)
∵点$B(4,-3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$-3=\frac{k}{4}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
∵点$A(-m,3m)$在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上，
∴$3m=-\frac{12}{-m}$，解得$m_1=2$，$m_2=-2$（舍去），
∴点A的坐标为$(-2,6)$。
将$A(-2,6)$、$B(4,-3)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases}-2a+b=6\\4a+b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{2}\\b=3\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
(2)
∵点C是一次函数$y=-\frac{3}{2}x+3$与y轴的交点，令x=0得y=3，
∴$OC=3$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4=9$。
(3)观察图象可得，反比例函数图象在一次函数图象下方时，x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜4$，即不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集为$x＜-2$或$0＜x＜4$。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{2}x+3}$；
(2)$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{9}$；
(3)不等式的解集为$\boldsymbol{x＜-2}$或$\boldsymbol{0＜x＜4}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常规题型，重点考查数形结合思想的应用，其中割补法求解坐标系内图形面积、结合图象解函数不等式是这类题的常考方向，解题时注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
13. 通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度$ I $（单位：dBm）是距离$ r $（单位：km）的反比例函数.已知距离该通信信号塔4 km的区域，信号强度为20 dBm，当小张同学在距离该通信信号塔16 km处时，信号强度为
5
dBm.答案
13.5
解析
【分析】
题目明确信号强度$ I $是距离$ r $的反比例函数，我们可以先根据反比例函数的一般形式设出解析式，再用已知的$ r $、$ I $对应值求出解析式中的未知常数，最后把$ r=16 $代入解析式就能算出对应的信号强度。解题核心是用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值。
【解析】
设信号强度$ I $与距离$ r $的反比例函数解析式为$ I=\frac{k}{r} $（$ k≠0 $，$ r＞0 $）。
已知当$ r=4\ \mathrm{km} $时，$ I=20\ \mathrm{dBm} $，将其代入解析式得：
$ 20=\frac{k}{4} $，解得$ k=20×4=80 $。
因此反比例函数解析式为$ I=\frac{80}{r} $。
当$ r=16\ \mathrm{km} $时，代入解析式得：
$ I=\frac{80}{16}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是先根据已知条件求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量的值计算结果，熟练掌握反比例函数的性质和待定系数法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
题目明确信号强度$ I $是距离$ r $的反比例函数，我们可以先根据反比例函数的一般形式设出解析式，再用已知的$ r $、$ I $对应值求出解析式中的未知常数，最后把$ r=16 $代入解析式就能算出对应的信号强度。解题核心是用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值。
【解析】
设信号强度$ I $与距离$ r $的反比例函数解析式为$ I=\frac{k}{r} $（$ k≠0 $，$ r＞0 $）。
已知当$ r=4\ \mathrm{km} $时，$ I=20\ \mathrm{dBm} $，将其代入解析式得：
$ 20=\frac{k}{4} $，解得$ k=20×4=80 $。
因此反比例函数解析式为$ I=\frac{80}{r} $。
当$ r=16\ \mathrm{km} $时，代入解析式得：
$ I=\frac{80}{16}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.待定系数法求解析式
3.反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是先根据已知条件求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量的值计算结果，熟练掌握反比例函数的性质和待定系数法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
14.宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度$y(°C)$与时间$x(h)$之间的函数关系图象，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段.
(1)分别求出当$0≤ x≤5$(即AB段)和$10≤ x≤24$(即CD段)时，$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为$16°C$到$20°C$(含$16°C$及$20°C$)的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长.
(1)分别求出当$0≤ x≤5$(即AB段)和$10≤ x≤24$(即CD段)时，$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为$16°C$到$20°C$(含$16°C$及$20°C$)的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长.
答案
14.解:(1)当$0≤ x≤5$时,设线段AB所在直线的解析式为$y=kx+b$,把A(0,10),B(5,20)代入解析式,得$\begin{cases}b=10,\\5k+b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=10.\end{cases}$
∴当$0≤ x≤5$时,y与x的函数解析式为$y=2x+10$.
当$10≤ x≤24$时,设CD所在双曲线的解析式为$y=\frac{m}{x}$,把C(10,20)代入解析式,得$20=\frac{m}{10}$,解得$m=200$.
∴当$10≤ x≤24$时,y与x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}$.
(2)当$y=16$时,$2x+10=16$或$\frac{200}{x}=16$,解得$x=3$或$x=12.5$.
∴$12.5-3=9.5(\mathrm{h})$.
∴这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有9.5 h.
∴当$0≤ x≤5$时,y与x的函数解析式为$y=2x+10$.
当$10≤ x≤24$时,设CD所在双曲线的解析式为$y=\frac{m}{x}$,把C(10,20)代入解析式,得$20=\frac{m}{10}$,解得$m=200$.
∴当$10≤ x≤24$时,y与x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}$.
(2)当$y=16$时,$2x+10=16$或$\frac{200}{x}=16$,解得$x=3$或$x=12.5$.
∴$12.5-3=9.5(\mathrm{h})$.
∴这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有9.5 h.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）AB段（0≤x≤5）是一次函数图象，已知过A(0,10)、B(5,20)两个点，用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标解方程组即可求出解析式；CD段（10≤x≤24）是反比例函数图象，已知过C(10,20)，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，代入点坐标求出m即可得到解析式。（2）要计算温度在16℃到20℃的总时长，先分别在升温的AB段和降温的CD段求出y=16时对应的x值，两个x值的差就是最适合生长的总时长。
【解析】
(1)当$0≤ x≤5$时，设线段AB所在直线的解析式为$y=kx+b$，把A(0,10)，B(5,20)代入解析式，得：
$\begin{cases}b=10\\5k+b=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=10\end{cases}$
∴当$0≤ x≤5$时，y与x的函数解析式为$y=2x+10$。
当$10≤ x≤24$时，设CD所在双曲线的解析式为$y=\frac{m}{x}$，把C(10,20)代入解析式，得：
$20=\frac{m}{10}$
解得$m=200$
∴当$10≤ x≤24$时，y与x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}$。
(2)当$y=16$时，分别代入两个函数解析式：
代入$y=2x+10$得$2x+10=16$，解得$x=3$；
代入$y=\frac{200}{x}$得$\frac{200}{x}=16$，解得$x=12.5$。
则最适合生长的时长为$12.5-3=9.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)当$0≤ x≤5$时，$y=2x+10$；当$10≤ x≤24$时，$y=\frac{200}{x}$
(2)9.5 h
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合大棚温控的实际场景，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确读取图象中的点坐标，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合函数值的范围求解对应的自变量区间，能有效考查学生的读图能力和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：（1）AB段（0≤x≤5）是一次函数图象，已知过A(0,10)、B(5,20)两个点，用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标解方程组即可求出解析式；CD段（10≤x≤24）是反比例函数图象，已知过C(10,20)，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$，代入点坐标求出m即可得到解析式。（2）要计算温度在16℃到20℃的总时长，先分别在升温的AB段和降温的CD段求出y=16时对应的x值，两个x值的差就是最适合生长的总时长。
【解析】
(1)当$0≤ x≤5$时，设线段AB所在直线的解析式为$y=kx+b$，把A(0,10)，B(5,20)代入解析式，得：
$\begin{cases}b=10\\5k+b=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=10\end{cases}$
∴当$0≤ x≤5$时，y与x的函数解析式为$y=2x+10$。
当$10≤ x≤24$时，设CD所在双曲线的解析式为$y=\frac{m}{x}$，把C(10,20)代入解析式，得：
$20=\frac{m}{10}$
解得$m=200$
∴当$10≤ x≤24$时，y与x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}$。
(2)当$y=16$时，分别代入两个函数解析式：
代入$y=2x+10$得$2x+10=16$，解得$x=3$；
代入$y=\frac{200}{x}$得$\frac{200}{x}=16$，解得$x=12.5$。
则最适合生长的时长为$12.5-3=9.5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1)当$0≤ x≤5$时，$y=2x+10$；当$10≤ x≤24$时，$y=\frac{200}{x}$
(2)9.5 h
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合大棚温控的实际场景，考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题核心是准确读取图象中的点坐标，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合函数值的范围求解对应的自变量区间，能有效考查学生的读图能力和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
15. 用吸管吹气时，吸管内部空气振动产生声音，因此可以用吸管制作吸管乐器. 根据物理学知识，同一材质的吸管内部空气振动的频率$f$(单位:$\mathrm{kHz}$)可近似地看成吸管长度$l$(单位:$\mathrm{mm}$)的反比例函数. 甲、乙两种材质的吸管乐器频率$f$关于吸管长度$l$的函数图象如图所示. 根据图象，下列结论正确的是（
A.频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短
B.对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长
C.长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大
D.对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大
A
）A.频率相同时，甲材质吸管乐器的长度比乙材质吸管乐器的长度短
B.对于乙材质吸管乐器，频率越大，长度越长
C.长度相同时，甲材质吸管乐器的频率比乙材质吸管乐器的频率大
D.对于甲材质吸管乐器，长度越长，频率越大
答案
15.A
解析
【分析】
首先明确频率$f$是吸管长度$l$的反比例函数，符合反比例函数$f=\frac{k}{l}(k＞0)$的形式，该函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。解题时先根据反比例函数的增减性排除明显错误的选项，再通过作平行于坐标轴的辅助线，结合图象判断剩余选项的正误。
【解析】
已知$f$是$l$的反比例函数，即$f=\frac{k}{l}$（$k＞0$，$l＞0$），因此$f$随$l$的增大而减小：
1. 分析选项B：对于乙材质，频率越大，对应长度应该越短，故B错误；
2. 分析选项D：对于甲材质，长度越长，对应频率应该越小，故D错误；
3. 分析选项A：频率相同时，作平行于横轴的直线，与两图象交点的横坐标为对应吸管长度，由图象可知甲对应的横坐标更小，即甲材质吸管的长度更短，故A正确；
4. 分析选项C：长度相同时，作平行于纵轴的直线，与两图象交点的纵坐标为对应频率，由图象可知甲对应的纵坐标更小，即甲材质吸管的频率更小，故C错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数图象的应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，能够通过作辅助线的方法对比不同函数的对应值，考查学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
首先明确频率$f$是吸管长度$l$的反比例函数，符合反比例函数$f=\frac{k}{l}(k＞0)$的形式，该函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。解题时先根据反比例函数的增减性排除明显错误的选项，再通过作平行于坐标轴的辅助线，结合图象判断剩余选项的正误。
【解析】
已知$f$是$l$的反比例函数，即$f=\frac{k}{l}$（$k＞0$，$l＞0$），因此$f$随$l$的增大而减小：
1. 分析选项B：对于乙材质，频率越大，对应长度应该越短，故B错误；
2. 分析选项D：对于甲材质，长度越长，对应频率应该越小，故D错误；
3. 分析选项A：频率相同时，作平行于横轴的直线，与两图象交点的横坐标为对应吸管长度，由图象可知甲对应的横坐标更小，即甲材质吸管的长度更短，故A正确；
4. 分析选项C：长度相同时，作平行于纵轴的直线，与两图象交点的纵坐标为对应频率，由图象可知甲对应的纵坐标更小，即甲材质吸管的频率更小，故C错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数图象的应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，能够通过作辅助线的方法对比不同函数的对应值，考查学生的读图分析能力。
【难度系数】
0.7
