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28 (1) 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=a$,$AC=b$,如果将$△ ABC$沿射线$BC$方向平移1个单位长度,点$A$落在点$D$处,点$B$落在点$E$处,点$C$落在点$F$处,求$△ ABC$在平移过程中扫过的图形的面积。(用含$a$、$b$的代数式表示)
(2) 将(1)中的$△ ABC$绕点$F$顺时针旋转$90°$,点$A$落在点$A'$处,点$B$落在点$B'$处,点$C$落在点$C'$处。
① 请在图中画出旋转后的$△ A'B'C'$；
② 已知$AF=c$,请用含$a$、$b$、$c$的代数式表示线段$AC$扫过的图形的面积$S$。(结果保留$π$)
(2) 将(1)中的$△ ABC$绕点$F$顺时针旋转$90°$,点$A$落在点$A'$处,点$B$落在点$B'$处,点$C$落在点$C'$处。
① 请在图中画出旋转后的$△ A'B'C'$；
② 已知$AF=c$,请用含$a$、$b$、$c$的代数式表示线段$AC$扫过的图形的面积$S$。(结果保留$π$)
答案
28 (1) $\frac{2b + ab}{2}$ [提示:如图,连接AD,由题意,可知扫过的面积$=S_{梯形ADFB}$,其中$DF=AC=b$,$DA=BE=1$,$BF=EF+BE=a+1$,所以扫过的面积$S_{梯形ADFB}=(1+a+1)× b×\frac{1}{2}=\frac{2b + ab}{2}$。]
(2) ① 如图所示,$△ A'B'C'$为所求三角形 ② $S=\frac{(c^2 -1)π}{4}$ [提示:如图,$S_{扇形AFA'}=\frac{1}{4}π· AF^2=\frac{c^2π}{4}(∠ AFA'=90°)$,$S_{扇形FC'C}=\frac{1}{4}π· FC^2=\frac{π}{4}(∠ CFC'=90°)$,所以AC扫过的面积$S=S_{扇形AFA'}-S_{扇形FC'C}=\frac{c^2π}{4}-\frac{π}{4}=\frac{(c^2 -1)π}{4}$。]
(2) ① 如图所示,$△ A'B'C'$为所求三角形 ② $S=\frac{(c^2 -1)π}{4}$ [提示:如图,$S_{扇形AFA'}=\frac{1}{4}π· AF^2=\frac{c^2π}{4}(∠ AFA'=90°)$,$S_{扇形FC'C}=\frac{1}{4}π· FC^2=\frac{π}{4}(∠ CFC'=90°)$,所以AC扫过的面积$S=S_{扇形AFA'}-S_{扇形FC'C}=\frac{c^2π}{4}-\frac{π}{4}=\frac{(c^2 -1)π}{4}$。]
