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8.(2025·仪征期末)根据下列已知条件，则△ABC形状和大小能完全确定的是（
A.$∠ A=90°,∠ B=30°$
B.$AB=3,BC=4$
C.$AB=3,BC=4,∠ C=40°$
D.$∠ A=30°,∠ B=45°,AB=3$
D
）A.$∠ A=90°,∠ B=30°$
B.$AB=3,BC=4$
C.$AB=3,BC=4,∠ C=40°$
D.$∠ A=30°,∠ B=45°,AB=3$
答案
8.D
解析
【分析】
这道题考查三角形形状和大小完全确定的条件，本质是判断给出的条件能否判定三角形全等（全等的三角形形状、大小完全相同）。我们可以结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）逐个分析选项，符合判定定理的即可唯一确定三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知∠A=90°，∠B=30°，结合三角形内角和可算出∠C=60°，属于“AAA”的条件，仅能确定三角形的形状，没有边长约束，大小无法确定，不符合要求；
B. 仅已知AB=3、BC=4两条边，缺少夹角或其他边、角条件，可画出无数个形状、大小不同的三角形，无法确定，不符合要求；
C. 已知AB=3，BC=4，∠C=40°，属于“SSA”的条件，该条件不能判定三角形全等，可画出两个不同的三角形，无法唯一确定，不符合要求；
D. 已知∠A=30°，∠B=45°，AB=3，属于“两角及其夹边（ASA）”的全等判定条件，能唯一确定三角形的形状和大小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.全等三角形的判定 2.三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查三角形唯一确定的判定，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确AAA、SSA均不能确定唯一的三角形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7
这道题考查三角形形状和大小完全确定的条件，本质是判断给出的条件能否判定三角形全等（全等的三角形形状、大小完全相同）。我们可以结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）逐个分析选项，符合判定定理的即可唯一确定三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知∠A=90°，∠B=30°，结合三角形内角和可算出∠C=60°，属于“AAA”的条件，仅能确定三角形的形状，没有边长约束，大小无法确定，不符合要求；
B. 仅已知AB=3、BC=4两条边，缺少夹角或其他边、角条件，可画出无数个形状、大小不同的三角形，无法确定，不符合要求；
C. 已知AB=3，BC=4，∠C=40°，属于“SSA”的条件，该条件不能判定三角形全等，可画出两个不同的三角形，无法唯一确定，不符合要求；
D. 已知∠A=30°，∠B=45°，AB=3，属于“两角及其夹边（ASA）”的全等判定条件，能唯一确定三角形的形状和大小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.全等三角形的判定 2.三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查三角形唯一确定的判定，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确AAA、SSA均不能确定唯一的三角形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7
9.(过程性学习)如图,用尺规作图作$∠ AOC=∠ AOB$的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,那么第二步的作图痕迹②的作法是 (
A.以点F为圆心,OE长为半径画弧
B.以点F为圆心,EF长为半径画弧
C.以点E为圆心,OE长为半径画弧
D.以点E为圆心,EF长为半径画弧
D
)A.以点F为圆心,OE长为半径画弧
B.以点F为圆心,EF长为半径画弧
C.以点E为圆心,OE长为半径画弧
D.以点E为圆心,EF长为半径画弧
答案
9.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆“作一个角等于已知角”的原理是利用三边分别相等的两个三角形全等（SSS），全等三角形对应角相等，所以作图的每一步都是为了构造出三边对应相等的两个三角形。首先第一步已经得到了已知角两边上的点E、F，且OE=OF，确定了线段EF的长度；第二步要构造和△OEF全等的三角形，已有公共边OE，接下来需要保证新的边和EF长度相等，因此要确定第二步的圆心为OA上的点E，半径为EF的长度，这样画弧得到交点后即可构造出全等三角形，得到相等的角。
【解析】
回顾作一个角等于已知角的对应步骤：
1. 第一步以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，此时OE、OF都是弧①的半径，故OE=OF，同时得到两点E、F的距离EF；
2. 要作∠AOC=∠AOB，已有公共边OA，为了构造和△OEF全等的三角形，需以点E为圆心，EF的长度为半径画弧②，与弧①相交得到OC上的点，连接O与交点得到射线OC后，两个三角形三边对应相等、可证全等，即得∠AOC=∠AOB。
因此第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
作一个角等于已知角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题考查尺规作图中作一个角等于已知角的基础操作，解题的关键是明确每一步作图的原理，不要混淆作图时的圆心和对应半径，属于对基础作图技能的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆“作一个角等于已知角”的原理是利用三边分别相等的两个三角形全等（SSS），全等三角形对应角相等，所以作图的每一步都是为了构造出三边对应相等的两个三角形。首先第一步已经得到了已知角两边上的点E、F，且OE=OF，确定了线段EF的长度；第二步要构造和△OEF全等的三角形，已有公共边OE，接下来需要保证新的边和EF长度相等，因此要确定第二步的圆心为OA上的点E，半径为EF的长度，这样画弧得到交点后即可构造出全等三角形，得到相等的角。
【解析】
回顾作一个角等于已知角的对应步骤：
1. 第一步以点O为圆心，任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，此时OE、OF都是弧①的半径，故OE=OF，同时得到两点E、F的距离EF；
2. 要作∠AOC=∠AOB，已有公共边OA，为了构造和△OEF全等的三角形，需以点E为圆心，EF的长度为半径画弧②，与弧①相交得到OC上的点，连接O与交点得到射线OC后，两个三角形三边对应相等、可证全等，即得∠AOC=∠AOB。
因此第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
作一个角等于已知角；全等三角形SSS判定
【点评】
本题考查尺规作图中作一个角等于已知角的基础操作，解题的关键是明确每一步作图的原理，不要混淆作图时的圆心和对应半径，属于对基础作图技能的考查。
【难度系数】
0.8
10.(教材P40例4变式)如图，PC//OB交OA于点C，过点P作PD//OA交OB于点D.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
答案
10.如图所示
解析
【分析】
首先明确题目要求：需要完成两个尺规作图，一是过点P作PC//OB交OA于点C，二是过点P作PD//OA交OB于点D。根据平行线的判定规则，同位角相等时两直线平行，因此我们可以通过“作一个角等于已知角”的尺规基本操作，在点P处构造出和∠AOB相等的同位角，即可得到对应的平行线，作图时注意保留圆弧等作图痕迹即可。
【解析】
本题作图依据为“同位角相等，两直线平行”，通过作一个角等于已知角的操作完成：
1. 作PC//OB：先以点O为圆心、任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于两点；再以点P为圆心、相同长度为半径画弧，在对应位置截取和O点处弧长相等的线段，确定交点后连接点P与交点得到直线PC，与OA交于点C，此时同位角相等，故PC//OB。
2. 作PD//OA：使用同样的作一个角等于已知角的方法，在点P处构造与∠AOB相等的同位角，得到直线PD，与OB交于点D，此时PD//OA，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考察尺规作图的基础技能，只要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判定原理即可顺利完成，是对几何基本作图能力的常规考察。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求：需要完成两个尺规作图，一是过点P作PC//OB交OA于点C，二是过点P作PD//OA交OB于点D。根据平行线的判定规则，同位角相等时两直线平行，因此我们可以通过“作一个角等于已知角”的尺规基本操作，在点P处构造出和∠AOB相等的同位角，即可得到对应的平行线，作图时注意保留圆弧等作图痕迹即可。
【解析】
本题作图依据为“同位角相等，两直线平行”，通过作一个角等于已知角的操作完成：
1. 作PC//OB：先以点O为圆心、任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于两点；再以点P为圆心、相同长度为半径画弧，在对应位置截取和O点处弧长相等的线段，确定交点后连接点P与交点得到直线PC，与OA交于点C，此时同位角相等，故PC//OB。
2. 作PD//OA：使用同样的作一个角等于已知角的方法，在点P处构造与∠AOB相等的同位角，得到直线PD，与OB交于点D，此时PD//OA，保留所有作图痕迹即可。
【答案】
如图所示
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考察尺规作图的基础技能，只要熟练掌握作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判定原理即可顺利完成，是对几何基本作图能力的常规考察。
【难度系数】
0.8
11.(教材P40例4变式)如图,点P是长方形ABCD边BC上的点,在长方形内部求作线段PQ,使得PQ//BE,交AD于点Q.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
11.PQ即为所求
解析
【分析】
要作出满足PQ//BE的线段，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，通过构造与∠EBC相等的同位角得到平行线。具体思路为：以点P为顶点，BC为一边，用尺规作一个角等于∠EBC，该角的另一边与AD的交点即为Q，连接PQ即可得到所求线段。
【解析】
利用“作一个角等于已知角”的基本尺规作图方法操作：
1. 先以B为圆心、任意长为半径画弧，分别交BE、BC于两点，得到两点间的弧长距离；
2. 以P为圆心，相同长度为半径画弧交BC于一点，再以该点为圆心、上述两点间的距离为半径画弧，两弧交于长方形内部一点；
3. 过P和该交点作射线，与AD的交点即为Q，连接PQ即为所求。（题目要求不写作法，上述为作图原理，实际作图保留弧线痕迹即可）
【答案】
11.PQ即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；矩形的性质
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查尺规基本操作的熟练程度，解题关键是将作平行线的问题转化为作相等角的问题，作图时需注意保留规范的作图痕迹，保证交点Q落在AD边上。
【难度系数】
0.8
要作出满足PQ//BE的线段，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，通过构造与∠EBC相等的同位角得到平行线。具体思路为：以点P为顶点，BC为一边，用尺规作一个角等于∠EBC，该角的另一边与AD的交点即为Q，连接PQ即可得到所求线段。
【解析】
利用“作一个角等于已知角”的基本尺规作图方法操作：
1. 先以B为圆心、任意长为半径画弧，分别交BE、BC于两点，得到两点间的弧长距离；
2. 以P为圆心，相同长度为半径画弧交BC于一点，再以该点为圆心、上述两点间的距离为半径画弧，两弧交于长方形内部一点；
3. 过P和该交点作射线，与AD的交点即为Q，连接PQ即为所求。（题目要求不写作法，上述为作图原理，实际作图保留弧线痕迹即可）
【答案】
11.PQ即为所求
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；矩形的性质
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查尺规基本操作的熟练程度，解题关键是将作平行线的问题转化为作相等角的问题，作图时需注意保留规范的作图痕迹，保证交点Q落在AD边上。
【难度系数】
0.8
12.(教材P41练习T2变式)一个缺角的三角形残片如图所示,请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形.并说出全等的依据.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
12.如图,△CDE即为所作的图形,依据是ASA
解析
【分析】
要作出和原缺角三角形全等的三角形，首先观察残片可知：残片保留了原三角形的完整边AB，以及AB边对应的两个内角∠A、∠B。根据全等三角形的判定规则，已知两角及其夹边对应相等即可判定三角形全等，因此我们可以先作出与AB等长的线段作为新三角形的夹边，再分别作出与∠A、∠B相等的两个角，两个角的另一边的交点即为新三角形的第三个顶点，即可得到与原三角形全等的图形。
【解析】
首先作线段CD=AB，再使用尺规作角的方法，分别以C为顶点作∠DCE=∠A，以D为顶点作∠CDE=∠B，CE与DE的交点为E，得到的△CDE就和原三角形全等。全等依据是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即ASA判定定理。
【答案】
如图，△CDE即为所作的图形，依据是ASA
【知识点】
尺规作角；全等三角形ASA判定
【点评】
本题将全等三角形判定与尺规作图结合，考查知识的实际应用能力，解题的关键是从残片中提取可用的边、角条件，选择合适的全等判定定理指导作图。
【难度系数】
0.8
要作出和原缺角三角形全等的三角形，首先观察残片可知：残片保留了原三角形的完整边AB，以及AB边对应的两个内角∠A、∠B。根据全等三角形的判定规则，已知两角及其夹边对应相等即可判定三角形全等，因此我们可以先作出与AB等长的线段作为新三角形的夹边，再分别作出与∠A、∠B相等的两个角，两个角的另一边的交点即为新三角形的第三个顶点，即可得到与原三角形全等的图形。
【解析】
首先作线段CD=AB，再使用尺规作角的方法，分别以C为顶点作∠DCE=∠A，以D为顶点作∠CDE=∠B，CE与DE的交点为E，得到的△CDE就和原三角形全等。全等依据是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即ASA判定定理。
【答案】
如图，△CDE即为所作的图形，依据是ASA
【知识点】
尺规作角；全等三角形ASA判定
【点评】
本题将全等三角形判定与尺规作图结合，考查知识的实际应用能力，解题的关键是从残片中提取可用的边、角条件，选择合适的全等判定定理指导作图。
【难度系数】
0.8
13.(2024·文登期中)如图,已知∠α和线段a,用尺规作△ABC,使∠ABC=∠α,∠ACB=2∠α,BC=a.(保留作图痕迹)
答案
13.如图,△ABC即为所作的图形
解析
【分析】
要作满足条件的△ABC，可按照“定边→作角→找交点”的思路逐步推导：首先明确已知条件为底边BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α，第一步先确定两个顶点B、C，即画出长度为a的线段BC；第二步分别以B、C为顶点，在BC的同侧作出对应度数的角，其中2∠α可通过两次作等于∠α的角拼接得到；两个角的另一边的交点就是第三个顶点A，即可得到目标三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规作线段$BC=a$，确定B、C两个顶点；
2. 以点B为顶点，BC为一边，利用尺规作$∠ MBC=∠ α$；
3. 以点C为顶点，CB为一边，在BC和BM的同侧，连续作两个等于$∠ α$的角，拼接得到$∠ NCB=2∠ α$；
4. 射线BM和射线CN的交点即为点A，此时$△ ABC$就是所求作的三角形。
【答案】
如图,△ABC即为所作的图形
【知识点】
作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心考查尺规作图的基本操作，解题时要注意两个角需作在底边BC的同侧，作图时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作满足条件的△ABC，可按照“定边→作角→找交点”的思路逐步推导：首先明确已知条件为底边BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α，第一步先确定两个顶点B、C，即画出长度为a的线段BC；第二步分别以B、C为顶点，在BC的同侧作出对应度数的角，其中2∠α可通过两次作等于∠α的角拼接得到；两个角的另一边的交点就是第三个顶点A，即可得到目标三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规作线段$BC=a$，确定B、C两个顶点；
2. 以点B为顶点，BC为一边，利用尺规作$∠ MBC=∠ α$；
3. 以点C为顶点，CB为一边，在BC和BM的同侧，连续作两个等于$∠ α$的角，拼接得到$∠ NCB=2∠ α$；
4. 射线BM和射线CN的交点即为点A，此时$△ ABC$就是所求作的三角形。
【答案】
如图,△ABC即为所作的图形
【知识点】
作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心考查尺规作图的基本操作，解题时要注意两个角需作在底边BC的同侧，作图时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
