[2025广东中考]
【阅读材料】
如图,在锐角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.这是解三角形的重要结论,可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图,现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离.由于地形原因,无法利用测距仪直接测量,该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】
工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度),如图.
测量过程:
步骤1:如图,在空旷地找一点C;
步骤2:利用无人机多次测量并取平均值,测得∠A≈43°,∠B≈51°;
步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值,测得BC≈341 m,AC≈388.5 m.
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离.
(参考数据:$\sin43°≈0.682,\sin51°≈0.777,\sin86°≈0.998$)
【评价反思】
(2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求:选用【方案设计】中的工具,写出你的方案和所用的数学知识.

(1) $\because ∠ A \approx 43°, ∠ B \approx 51°, \therefore ∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B \approx 180° - 43° - 51° = 86°$.
由题意,得 $\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$,
$\therefore AB = \frac{BC \sin C}{\sin A} = \frac{BC \sin 86°}{\sin 43°} \approx \frac{341 × 0.998}{0.682} = 499(\mathrm{m})$.
答:A,B两岛间的距离约为499 m.
(2)工具:测距仪.
测量过程:
步骤1:如图,在空旷地找一点C.
步骤2:利用测距仪多次测量并取平均值,在AC的延长线上找一点E,使得 $CE = \frac{1}{2}AC$,在BC的延长线上找一点D,使得 $CD = \frac{1}{2}BC$.
步骤3:利用测距仪多次测量DE的长并取平均值,2DE的长即为AB的长.
$\because CE = \frac{1}{2}AC, CD = \frac{1}{2}BC$,
$\therefore \frac{AC}{CE} = \frac{BC}{CD} = 2$.
又$\because ∠ ACB = ∠ DCE, \therefore △ DCE ∽ △ BCA$,
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{CE} = 2, \therefore AB = 2DE$.
所用的数学知识为相似三角形.(答案不唯一)