1. [2025镇江中考]如图，小丽从点A出发，沿坡度为$10°$的坡道向上走了120米到达点B，则她沿竖直方向升高了（）


A.$\dfrac{120}{\tan 10°}$米
B.$\dfrac{120}{\sin 10°}$米
C.$120\tan 10°$米
D.$120\sin 10°$米

1 D 如图,在Rt△ABC中,AB = 120米,∠A = 10°,
∵ sin A = $\frac{BC}{AB}$,
∴ BC = AB · sin A = 120sin 10°(米).

2. [2025济南中考]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D,E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）

A.$∠ DAC ＞ ∠ EBA$
B.$∠ DAC ＜ ∠ EBA$
C.$∠ DAC = ∠ EBA$
D.$∠ DAC + ∠ EBA = 60°$

2 C 如图,AF = 6, DF = 4, BH = 3, EH = 2, ∠AFD = ∠BHE = 90°,在Rt△ADF中,$\tan ∠ DAC = \frac{DF}{AF} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ≠ \frac{\sqrt{3}}{3}$,在Rt△BHE中,$\tan ∠ EBA = \frac{EH}{BH} = \frac{2}{3} ≠ \frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ $\tan ∠ DAC = \tan ∠ EBA$,又
∵ ∠DAC 和∠EBA都是锐角,
∴ ∠DAC = ∠EBA ≠ 30°,
∴ ∠DAC + ∠EBA ≠ 60°.

3. [2025广州中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$AD$平分$∠ CAB$,已知$\cos∠ CAD = \dfrac{12}{13}$,$AB = 26$,则点$B$到$AD$的距离为.

3 10 如图,过点 D 作 $DH ⊥ AB$ 于点 H. $\because ∠ C = 90°$,$\cos ∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{12}{13}$,$\therefore$ 设 $AC = 12k$,则 $AD = 13k$,由勾股定理,得 $CD = 5k$. $\because AD$ 平分 $∠ CAB$,$DC ⊥ AC$,$DH ⊥ AB$,$\therefore DH = DC = 5k$(依据:角平分线的性质定理).设点 B 到 AD 的距离为 h,则有 $\frac{1}{2} × 13k × h = \frac{1}{2} × 26 × 5k$,解得 $h = 10$.

4. [2024雅安中考]如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F。若AB = 6，BC = 8，则$\cos∠ ABF$的值是。

4 $\frac{24}{25}$ 由折叠的性质,得 $∠ DBC = ∠ DBF$. $\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AD // BC$,$AD = BC = 8$,$\therefore ∠ ADB = ∠ DBC$,$\therefore ∠ DBF = ∠ ADB$,$\therefore BF = DF$,$\therefore AF = AD - DF = 8 - BF$. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得 $AB^2 + AF^2 = BF^2$,即 $6^2 + (8 - BF)^2 = BF^2$,解得 $BF = \frac{25}{4}$,$\therefore \cos ∠ ABF = \frac{AB}{BF} = \frac{24}{25}$.

5. [2025威海中考] 如图，点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，点B在反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象上，连接OA,OB,AB.若$AO ⊥ BO$，则$\tan∠ BAO$的值为.

5 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解题思路:如图,作 $BG ⊥ y$ 轴,垂足为 G,作 $AH ⊥ y$ 轴,垂足为 H,可得 $△ OAH ∽ △ BOG$,利用相似三角形的性质及反比例函数 k 值几何意义即可得到结果.
如图,过点 B 作 $BG ⊥ y$ 轴,垂足为 G,过点 A 作 $AH ⊥ y$ 轴,垂足为 H,$\because$ 点 A 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上,点 B 在反比例函数 $y = -\frac{2}{x}$ 的图象上,$\therefore S_{△ BOG} = 1$,$S_{△ AOH} = 2$,$\because ∠ AOB = 90°$,$\therefore ∠ OAH = ∠ BOG$,$\therefore △ OAH ∽ △ BOG$,$\therefore \frac{OB^2}{OA^2} = \frac{S_{△ BOG}}{S_{△ AOH}} = \frac{1}{2}$,$\therefore \tan ∠ BAO = \frac{OB}{OA} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

6. [2025南通中考]如图,网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线,把网格图分成了两个部分,其中$△ BMN$的面积为3,则$\sin∠ MNB$的值为.

6 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 解题思路:设 $NC = x$,证明 $△ ANC ∽ △ MAD$,可求得 $MD = \frac{1}{x}$,根据 $△ BMN$ 的面积为 3,得到 $S_{△ AMD} + S_{△ ANC} = 2$,求得 $x + \frac{1}{x} = 4$,解方程得到 $x = 2 + \sqrt{3}$,根据勾股定理求得 $AN = \sqrt{2} + \sqrt{6}$,最后得到 $\sin ∠ MNB$ 的值.
如图,设 $NC = x$,$\because AD // NB$,$\therefore ∠ MAD = ∠ ANC$,$\because ∠ MDA = ∠ ACN$,$\therefore △ ANC ∽ △ MAD$,$\therefore \frac{AC}{MD} = \frac{NC}{AD}$,$\because AC = AD = 1$,$\therefore MD = \frac{1}{x}$. $\because △ BMN$ 的面积为 3,网格图中每个小正方形的面积都为 1,$\therefore S_{△ AMD} + S_{△ ANC} = 3 - 1 = 2$,$\therefore \frac{1}{2} × MD × AD + \frac{1}{2} × NC × AC = 2$,即 $\frac{1}{2} × \frac{1}{x} × 1 + \frac{1}{2} × x × 1 = 2$,$\therefore x + \frac{1}{x} = 4$,解得 $x_1 = 2 + \sqrt{3}$,$x_2 = 2 - \sqrt{3}$(舍去),经检验:$x = 2 + \sqrt{3}$ 是分式方程的解,$\because AN^2 = AC^2 + NC^2 = 1 + 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 8 + 4\sqrt{3}$,$\therefore AN = \sqrt{2} + \sqrt{6}$,$\therefore \sin ∠ MNB = \sin ∠ ANC = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

7. 跨学科·物理 [2024安徽中考]科技社团选择在学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处。已知BE与水平线的夹角α=36.9°，点B到水面的距离BC=1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD=2.50 m。点B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内。记入射角为β，折射角为γ，求$\frac{\sinβ}{\sin\gamma}$的值。（精确到0.1）
参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75。

7 解:如图,过点 E 作 $EH ⊥ AD$,垂足为 H.
由题意可知,$∠ CEB = α = 36.9°$,$EH = 1.20$,$CE = \frac{BC}{\tan 36.9°} \approx \frac{1.20}{0.75} = 1.60$,
$\therefore AH = AD - CE = 2.50 - 1.60 = 0.90$,
$\therefore AE = \sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{0.90^2 + 1.20^2} = 1.50$,
于是 $\sin \gamma = \frac{AH}{AE} = \frac{0.90}{1.50} = 0.60$.
又$\because \sin β = \sin ∠ CBE = \frac{CE}{BE} = \cos ∠ CEB = \cos 36.9° \approx 0.80$,
$\therefore \frac{\sin β}{\sin \gamma} = \frac{0.80}{0.60} \approx 1.3$.