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1. [2026 安庆期中]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则反比例函数$y=-\frac{a}{x}$与一次函数$y=bx - c$在同一平面直角坐标系内的图象大致是（
A
）答案
1 A 观察二次函数图象可得$a＞0,-\frac{b}{2a}＞0,c＞0,\therefore -a＜0,b＜0,\therefore$ 反比例函数$y = -\frac{a}{x}$的图象位于第二、四象限,一次函数$y = bx - c$的图象经过第二、三、四象限.
2. [2025蚌埠三模]已知一次函数$y=ax+b$的图象如图所示，那么反比例函数$y=\frac{a+b}{x}$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
2 D 由一次函数图象,得$a＜0$. 对于$y=ax+b$,令$x=0$,得$b＞0$;令$x=1$,得$a+b＜0,\therefore$ 反比例函数$y=\frac{a+b}{x}$的图象位于第二、四象限. $\because a＜0,b＞0,\therefore -\frac{b}{2a}＞0,\therefore$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向下,且对称轴在$y$轴的右侧,故选项D正确.
3. [2023安徽中考]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限内的图象与一次函数$y=-x+b$的图象如图所示，则函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象可能为（
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
3 A 由反比例函数的图象可知$k＞1,\therefore k-1＞0$,故函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象与$y$轴交于正半轴,由此排除选项B,C. 观察选项A,D,可知二者的一个区别在于当$x=1$时$y$值的正负,此时$y=1 - b + k - 1 = k - b$. 由函数图象可知,当$x=1$时,反比例函数与一次函数的函数值相等,即$k=-1 + b,\therefore k - b = -1,\therefore$ 对于函数$y=x^2 -bx +k -1$,当$x=1$时,$y=-1$. 故选A.
4. ▶一题多解 如图,一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象相交于P,Q两点,则函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象可能为（
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
4 A 通解 $\because$ 一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象有两个交点,$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = x$,即$ax^2 + (b - 1)x + c = 0$有两个不相等的实数根(转化思想),$\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$x$轴有两个交点.
$\because$ 一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象的两个交点$P,Q$的横坐标都大于0,$\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$x$轴的两个交点的横坐标也都大于0.
另解 $\because$ 一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象有两个交点,$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = x$,即$ax^2 + (b - 1)x + c = 0$有两个不相等的实数根,$\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$x$轴有两个交点,排除选项C.
$\because$ 函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象与$y$轴的交点在原点的上方,$\therefore c＞0,\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$y$轴的交点也在原点的上方,排除选项D. $\because$ 函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象的对称轴在$y$轴右侧,$\therefore -\frac{b}{2a}＞0$. 又$\because a＞0,\therefore b＜0,\therefore b-1＜0,\therefore -\frac{b-1}{2a}＞0$,即函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象的对称轴在$y$轴的右侧,排除选项B.
$\because$ 一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象的两个交点$P,Q$的横坐标都大于0,$\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$x$轴的两个交点的横坐标也都大于0.
另解 $\because$ 一次函数$y_1 = x$与二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象有两个交点,$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = x$,即$ax^2 + (b - 1)x + c = 0$有两个不相等的实数根,$\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$x$轴有两个交点,排除选项C.
$\because$ 函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象与$y$轴的交点在原点的上方,$\therefore c＞0,\therefore$ 函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象与$y$轴的交点也在原点的上方,排除选项D. $\because$ 函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的图象的对称轴在$y$轴右侧,$\therefore -\frac{b}{2a}＞0$. 又$\because a＞0,\therefore b＜0,\therefore b-1＜0,\therefore -\frac{b-1}{2a}＞0$,即函数$y = ax^2 + (b - 1)x + c$的图象的对称轴在$y$轴的右侧,排除选项B.
5. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数$y=bx+ac$的图象可能是（
B
）答案
5 B 由题意知,当$x=1$时,$y=\frac{b}{x}=b$,即抛物线$y=ax^2+bx+c$与反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一象限的公共点的坐标为$(1,b)$,即点$(1,b)$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上,所以$a+b+c=b$,即$a+c=0$,由$a≠0$知$ac＜0$. 因为反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象的一支在第一象限,所以$b＞0$,所以一次函数$y=bx+ac$的图象经过第一、三、四象限,选项B中的图象符合条件.
