1.如图，$△ ABC ∽ △ ACP$.
(1)若$∠ A = 75°$，$∠ APC = 65°$，则$∠ BCP$的大小为度.

(2)若$△ ABC$与$△ ACP$的相似比为$\frac{5}{3}$，$AP=6$，则$AC=$，$BP=$.

(1)25 (2)10;$\frac{32}{3}$
解析 (1)$\because ∠ A=75°, ∠APC=65°,\therefore ∠ACP=40°$,
$\because △ ABC ∽ △ ACP,\therefore ∠ACB=∠APC=65°$,
$\therefore ∠BCP=∠ACB-∠ACP=25°$.
(2)$\because △ ABC ∽ △ ACP$,相似比为$\frac{5}{3}$,$AP=6$,
$\therefore \frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3},\therefore AC=\frac{5}{3}AP=10,AB=\frac{5}{3}AC$,
$\therefore AB=\frac{50}{3},\therefore BP=AB-AP=\frac{50}{3}-6=\frac{32}{3}$.

【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题时先根据相似三角形的顶点书写顺序确定对应角、对应边：
(1) 先利用三角形内角和为180°，在△ACP中算出∠ACP的度数；再根据相似三角形对应角相等，得到∠ACB=∠APC，最后用∠ACB减去∠ACP即可得到∠BCP的度数。
(2) 根据相似比为对应边的比值，结合对应边关系$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，先代入AP的长度算出AC，再算出AB的长度，最后用AB减去AP得到BP的长度。
【解析】
(1) 在△ACP中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=75°，∠APC=65°，
∴$∠ ACP=180°-∠ A-∠ APC=180°-75°-65°=40°$，
∵$△ ABC ∽ △ ACP$，对应角相等，
∴$∠ ACB=∠ APC=65°$，
∴$∠ BCP=∠ ACB-∠ ACP=65°-40°=25°$。
(2)
∵$△ ABC ∽ △ ACP$，相似比为$\frac{5}{3}$，
∴对应边成比例，即$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
已知AP=6，代入得$AC=\frac{5}{3}× AP=\frac{5}{3}×6=10$，
再代入比例得$AB=\frac{5}{3}× AC=\frac{5}{3}×10=\frac{50}{3}$，
∴$BP=AB-AP=\frac{50}{3}-6=\frac{50}{3}-\frac{18}{3}=\frac{32}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{25}$；(2) $\boxed{10}$；$\boxed{\dfrac{32}{3}}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是根据相似三角形的顶点书写顺序准确找到对应角和对应边，熟练掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

2.「2026山东聊城期中改编」如图,在纸片$△ ABC$中,$∠ A=72°,∠ B=38°$.将$△ ABC$纸片沿某直线剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与$△ ABC$相似的是（）


A.①②
B.②④
C.③④
D.①③

D
解析 题图①中,$∠ B = ∠ B, ∠ A = ∠ BDE = 72°$,所以$△ BDE$和$△ ABC$相似；
题图②中,仅有$∠ B = ∠ B$一个条件,不能推出$△ BCD$和$△ ABC$相似；
题图③中,$∠ C = ∠ C, ∠ CED = ∠ B$,所以$△ CDE$和$△ CAB$相似；
题图④中,仅有$∠ C = ∠ C$一个条件,不能推出$△ CDE$和$△ ABC$相似.
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③,故选 D.

【分析】
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理分析。首先先根据三角形内角和算出△ABC三个内角的度数，再逐一分析4种剪法中阴影三角形的内角，验证是否存在两个角与原三角形的内角对应相等即可。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-72°-38°=70°$。
逐个分析剪法：
①阴影△BDE中，∠B为公共角，且$∠ BDE=72°=∠ A$，满足两角分别相等，故$△ BDE ∽ △ BAC$，符合要求；
②阴影△BCD中，仅有∠B为公共角，没有第二个相等的对应角，无法判定相似，不符合要求；
③阴影△CDE中，∠C为公共角，且$∠ CDE=38°=∠ B$，满足两角分别相等，故$△ CDE ∽ △ CBA$，符合要求；
④阴影△CDE中，仅有∠C为公共角，没有第二个相等的对应角，无法判定相似，不符合要求。
综上，①③的阴影三角形与原三角形相似。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，找准公共角和对应相等的角即可快速判断。
【难度系数】
0.7

3. 学科特色
教材变式
下列描述中的各组图形,不一定相似
的是 ()

A.各有一个角是$50°$的两个等腰三角形
B.各有一个角是$60°$的两个等腰三角形
C.各有一个角是$100°$的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形

A
解析 选项 A,当一个等腰三角形中 50°的角为顶角,底角为 65°,另一个等腰三角形中 50°的角为底角,顶角为 80°时,这两个等腰三角形不相似,故选 A.

【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题思路如下：首先明确相似三角形的判定依据：两角分别相等的两个三角形相似；再结合等腰三角形“两个底角相等”的性质，对每个选项中给定的角进行分类讨论，判断该角是顶角还是底角时，两个三角形的内角是否对应相等，最终选出不一定相似的选项。
【解析】
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，逐一分析选项：
A. 各有一个角是$50°$的等腰三角形，分两种情况：
①若$50°$为顶角，则底角为$\frac{180°-50°}{2}=65°$，三角形三个内角为$50°$、$65°$、$65°$；
②若$50°$为底角，则顶角为$180°-50°×2=80°$，三角形三个内角为$50°$、$50°$、$80°$。
若两个等腰三角形分别属于上述两种情况，内角不对应相等，因此不一定相似。
B. 各有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，所有内角均为$60°$，任意两个这类三角形内角都对应相等，一定相似。
C. 等腰三角形中钝角只能为顶角，因此$100°$为顶角，底角为$\frac{180°-100°}{2}=40°$，三角形三个内角固定为$100°$、$40°$、$40°$，任意两个这类三角形内角都对应相等，一定相似。
D. 等腰直角三角形的内角固定为$90°$、$45°$、$45°$，任意两个等腰直角三角形内角都对应相等，一定相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易因忽略等腰三角形锐角的分类讨论出错，解题关键是明确：等腰三角形中给定的锐角既可能是顶角也可能是底角，钝角只能是顶角，结合相似三角形的判定即可快速判断。
【难度系数】
0.7

4.「2025河北石家庄四十七中月考」如图，测量小玻璃管口径的量具($△ ABC$)中，AB的长为3 cm，AC被分为5等份.若小玻璃管的管口DE正好对着量具上刻度2处($DE // AB$)，那么小玻璃管口径DE的长为 ()


A.$\frac{9}{5}$ cm
B.2 cm
C.$\frac{3}{2}$ cm
D.1 cm

A
解析 $\because DE // AB, \therefore ∠ BAC = ∠ EDC, ∠ B = ∠ CED$,
$\therefore △ ABC ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA},\therefore \frac{DE}{3}=\frac{3}{5},\therefore DE=\frac{9}{5}$ cm,故选 A.

【分析】
解题时首先观察图形特征，发现DE与AB平行，由此可根据平行线的性质得到对应角相等，进而判定△CDE与△CAB相似；再结合AC被5等分的条件，得到两个相似三角形的相似比，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AB长度即可计算出DE的长度。
【解析】
∵ $DE // AB$，
∴ $∠BAC = ∠EDC$，$∠B = ∠CED$（两直线平行，同位角相等），
∴ $△ABC ∽ △DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}$。
由题意可知，AC被分为5等份，CD占3份，$AB=3\mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{DE}{3}=\frac{3}{5}$，
解得$DE=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是通过平行条件判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式求解，需要注意准确找出对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7

5.「2026宁夏银川十五中期中」如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是.(写出一个条件即可)

$∠ADE=∠C$(答案不唯一)
解析 $\because ∠DAE = ∠ BAC, \therefore$ 添加的条件可以是$∠ADE=∠C$,根据两角分别相等的两个三角形相似,可判定$△ ADE ∽ △ ACB$.(答案不唯一)

【分析】
要判定△ADE∽△ACB，首先观察两个三角形的公共角：∠A是△ADE和△ACB的公共角，即∠DAE=∠CAB，已经满足一组对应角相等。根据相似三角形的判定定理，此时只需再添加一组对应角相等，或者添加夹这组公共角的两组对应边成比例，即可证明两个三角形相似，据此即可写出符合要求的条件。
【解析】
已知∠DAE=∠CAB（公共角），若添加条件∠ADE=∠C，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ADE∽△ACB。
也可添加∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件，均满足相似判定要求。
【答案】
$\boldsymbol{∠ADE=∠C}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 公共角的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是先找到两个三角形已有的相等公共角，再结合相似三角形的判定定理补充缺少的条件即可，注意填写条件时要保证角和边的对应关系正确。
【难度系数】
0.8

6. 学科特色手拉手模型「2026 江苏无锡月考」如图，$∠ BAD = ∠ CAE, ∠ B = ∠ D.$
(1)求证:$△ ABC ∽ △ ADE.$
(2)如果$AB=2AD,BC=4$,求$DE$的长.

(1)证明:$\because ∠ BAD = ∠ CAE, ∠ BAC = ∠ BAD+∠ DAC, ∠ DAE = ∠ CAE+∠ DAC$,
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$,
又$\because ∠ B = ∠ D,\therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
(2)$\because △ ABC ∽ △ ADE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$,
$\because AB=2AD,BC=4,\therefore 2=\frac{4}{DE},\therefore DE=2$.

【分析】
(1)要证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形的判定定理，只需得到两组对应角相等即可。已知∠B=∠D，还需要推导另一组对应角相等：结合已知∠BAD=∠CAE，两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到∠BAC=∠DAE，满足两角分别相等的相似判定条件。
(2)已经证明两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得到AB与AD的比值等于BC与DE的比值，代入已知的AB=2AD、BC=4的条件，即可求出DE的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠ BAD = ∠ CAE$，$∠ BAC = ∠ BAD+∠ DAC$，$∠ DAE = ∠ CAE+∠ DAC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
又$\because ∠ B = ∠ D$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$。
(2)解：
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，
$\because AB=2AD,BC=4$，
$\therefore 2=\frac{4}{DE}$，
解得$DE=2$。
【答案】
(1)△ABC∽△ADE，证明成立；
(2)$DE=2$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题是手拉手相似模型的基础应用，解题核心是通过角的和差关系推导对应角相等，结合已知等角证明三角形相似，再利用相似三角形的边的比例关系求解线段长度，是相似三角形章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8

7. 学科特色 一线三垂直模型 「2026河南许昌二中月考」在综合与实践课上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折叠,折痕为BN,点A对应的点记为点M,若点M恰好落在边DC上,请判断$△ MCB$与$△ NDM$是否相似,如果不相似,请说明理由;如果相似,请证明.

$△ MCB ∽ △ NDM$.
证明:$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,
$\therefore ∠ A = ∠ D = ∠ C=90°$,
$\therefore ∠ DNM+∠ DMN=90°$,
由折叠的性质可知$∠ BMN = ∠ A=90°$,
$\therefore ∠ DMN+∠ CMB=90°$,
$\therefore ∠ DNM = ∠ CMB$,
$\therefore △ MCB ∽ △ NDM$.

【分析】
要判断两个三角形是否相似，可优先采用两角分别相等的相似判定定理推导。首先利用矩形的性质可得△MCB和△NDM均含90°内角；再结合折叠前后对应角相等的性质，可推出∠BMN为90°，由此可得∠DMN与∠CMB互余，结合Rt△NDM中两锐角互余的性质，可推导出一组相等的锐角，即可满足两角分别相等的相似判定条件，证明两个三角形相似。
【解析】
△MCB ∽ △NDM，证明过程如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = ∠D = ∠C = 90°，
∴ 在Rt△NDM中，∠DNM + ∠DMN = 90°，
由折叠的性质可知，折叠后点A与点M对应，折痕为BN，因此∠BMN = ∠A = 90°，
∵ ∠DMN + ∠BMN + ∠CMB = 180°，
∴ ∠DMN + ∠CMB = 90°，
∴ ∠DNM = ∠CMB（同角的余角相等），
又
∵ ∠D = ∠C = 90°，
∴ △MCB ∽ △NDM（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△MCB ∽ △NDM
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，相似三角形判定
【点评】
本题是一线三垂直模型的典型习题，将矩形折叠与相似三角形判定相结合，解题核心是通过同角的余角相等推导对应角相等，有助于学生掌握几何中角的转化技巧，巩固相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7