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1.「2026陕西西安西工大附中期中」若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}(b+d+f≠0)$，且$a+c+e=6$，则$b+d+f=$
9
。答案
答案 9
解析 $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}(b+d+f≠0),\therefore \frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{3},$
$\because a+c+e=6,\therefore \frac{6}{b+d+f}=\frac{2}{3},\therefore b+d+f=9.$
解析 $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}(b+d+f≠0),\therefore \frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{3},$
$\because a+c+e=6,\therefore \frac{6}{b+d+f}=\frac{2}{3},\therefore b+d+f=9.$
解析
【分析】
本题已知多个比值相等的比例式，且明确给出分母之和不为0，首先考虑运用比例的等比性质求解。解题思路如下：第一步，确认等比性质的使用条件（各分母之和不为0，本题已满足），利用等比性质得到分子之和与分母之和的比值等于原比例值；第二步，将已知的分子之和代入得到的关系式，通过解方程即可求出分母之和。
【解析】
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}$，且$b+d+f≠ 0$，
根据比例的等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{3}$，
又$\because a+c+e=6$，
$\therefore \frac{6}{b+d+f}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2(b+d+f)=6× 3$，
解得$b+d+f=9$。
【答案】
9
【知识点】
比例的等比性质、分式方程求解
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的关键是牢记等比性质的适用前提，即所有分母的和不等于0，掌握性质后可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
本题已知多个比值相等的比例式，且明确给出分母之和不为0，首先考虑运用比例的等比性质求解。解题思路如下：第一步，确认等比性质的使用条件（各分母之和不为0，本题已满足），利用等比性质得到分子之和与分母之和的比值等于原比例值；第二步，将已知的分子之和代入得到的关系式，通过解方程即可求出分母之和。
【解析】
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}$，且$b+d+f≠ 0$，
根据比例的等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{2}{3}$，
又$\because a+c+e=6$，
$\therefore \frac{6}{b+d+f}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2(b+d+f)=6× 3$，
解得$b+d+f=9$。
【答案】
9
【知识点】
比例的等比性质、分式方程求解
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的关键是牢记等比性质的适用前提，即所有分母的和不等于0，掌握性质后可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
2. 学科特色多解法 学科特色设参法 「2026 陕西西安长安期中」已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}≠0$，且$a+2b-3c=15$，求$a,b,c$的值。
答案
解析 【解法一】设参法:设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=k$,则$a=2k$,
$b=3k,c=6k,$
$\because a+2b-3c=15,\therefore 2k+6k-18k=15,$
解得$k=-\frac{3}{2},\therefore a=2k=-3,b=3k=-\frac{9}{2},c=6k=-9.$
【解法二】性质法:$\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\therefore \frac{a}{2}=\frac{2b}{3×2}=\frac{-3c}{6×(-3)},\therefore \frac{a+2b-3c}{2+6+(-18)}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\therefore \frac{a+2b-3c}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\because a+2b-3c=15,$
$\therefore \frac{15}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},\therefore \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=-\frac{3}{2},$
$\therefore a=-3,b=-\frac{9}{2},c=-9.$
$b=3k,c=6k,$
$\because a+2b-3c=15,\therefore 2k+6k-18k=15,$
解得$k=-\frac{3}{2},\therefore a=2k=-3,b=3k=-\frac{9}{2},c=6k=-9.$
【解法二】性质法:$\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\therefore \frac{a}{2}=\frac{2b}{3×2}=\frac{-3c}{6×(-3)},\therefore \frac{a+2b-3c}{2+6+(-18)}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\therefore \frac{a+2b-3c}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},$
$\because a+2b-3c=15,$
$\therefore \frac{15}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6},\therefore \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=-\frac{3}{2},$
$\therefore a=-3,b=-\frac{9}{2},c=-9.$
解析
【分析】
遇到连等的比例式求值问题，有两种常用解题思路：①设参法：设所有比例的公共比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知的等式a+2b-3c=15，解出k的值后即可求出a、b、c；②等比性质法：利用比例的基本性质，将各个比例的分子、分母同乘对应系数，使分子相加后恰好等于a+2b-3c，再结合等比性质直接求出公共比值，进而求出a、b、c的值。
【解析】
解法一（设参法）
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=6k$。
将上述关系代入$a+2b-3c=15$，得：
$2k + 2×3k - 3×6k = 15$
化简得：$2k + 6k - 18k = 15$，即$-10k=15$，
解得$k=-\frac{3}{2}$。
因此$a=2×(-\frac{3}{2})=-3$，$b=3×(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{2}$，$c=6×(-\frac{3}{2})=-9$。
解法二（等比性质法）
由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$，根据比例的基本性质可得：
$\frac{a}{2}=\frac{2b}{3×2}=\frac{-3c}{6×(-3)}$
根据等比性质，得：$\frac{a+2b-3c}{2+6+(-18)}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
化简得：$\frac{a+2b-3c}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
把$a+2b-3c=15$代入得：$\frac{15}{-10}=-\frac{3}{2}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
因此$a=2×(-\frac{3}{2})=-3$，$b=3×(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{2}$，$c=6×(-\frac{3}{2})=-9$。
【答案】
$a=-3$，$b=-\frac{9}{2}$，$c=-9$
【知识点】
比例设参法，等比性质
【点评】
本题是比例求值的典型题型，设参法适用范围广、思路直观不易出错，是解决这类问题的通用方法；等比性质法计算更快捷，需要熟练掌握比例基本性质对等比项进行变形，两种方法都建议灵活运用。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式求值问题，有两种常用解题思路：①设参法：设所有比例的公共比值为参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知的等式a+2b-3c=15，解出k的值后即可求出a、b、c；②等比性质法：利用比例的基本性质，将各个比例的分子、分母同乘对应系数，使分子相加后恰好等于a+2b-3c，再结合等比性质直接求出公共比值，进而求出a、b、c的值。
【解析】
解法一（设参法）
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，$c=6k$。
将上述关系代入$a+2b-3c=15$，得：
$2k + 2×3k - 3×6k = 15$
化简得：$2k + 6k - 18k = 15$，即$-10k=15$，
解得$k=-\frac{3}{2}$。
因此$a=2×(-\frac{3}{2})=-3$，$b=3×(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{2}$，$c=6×(-\frac{3}{2})=-9$。
解法二（等比性质法）
由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$，根据比例的基本性质可得：
$\frac{a}{2}=\frac{2b}{3×2}=\frac{-3c}{6×(-3)}$
根据等比性质，得：$\frac{a+2b-3c}{2+6+(-18)}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
化简得：$\frac{a+2b-3c}{-10}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
把$a+2b-3c=15$代入得：$\frac{15}{-10}=-\frac{3}{2}=\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{6}$
因此$a=2×(-\frac{3}{2})=-3$，$b=3×(-\frac{3}{2})=-\frac{9}{2}$，$c=6×(-\frac{3}{2})=-9$。
【答案】
$a=-3$，$b=-\frac{9}{2}$，$c=-9$
【知识点】
比例设参法，等比性质
【点评】
本题是比例求值的典型题型，设参法适用范围广、思路直观不易出错，是解决这类问题的通用方法；等比性质法计算更快捷，需要熟练掌握比例基本性质对等比项进行变形，两种方法都建议灵活运用。
【难度系数】
0.7
3. 学科特色教材变式 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，且$△ A'B'C'$的周长为80，求$△ ABC$的周长。
答案
解析 $\because △ A'B'C'$的周长为80,$\therefore A'B'+B'C'+A'C'=80,$
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3},$
$\therefore \frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3},$
$\therefore AB+BC+AC=\frac{2}{3}(A'B'+B'C'+A'C')=\frac{2}{3}×80=\frac{160}{3},$
$\therefore △ ABC$的周长为$\frac{160}{3}.$
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3},$
$\therefore \frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3},$
$\therefore AB+BC+AC=\frac{2}{3}(A'B'+B'C'+A'C')=\frac{2}{3}×80=\frac{160}{3},$
$\therefore △ ABC$的周长为$\frac{160}{3}.$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：题目给出△ABC和△A'B'C'的三组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，且已知△A'B'C'的周长为80，要求△ABC的周长。三角形的周长是三边长度之和，题目给出的三组对应边比值相等，符合比例等比性质的使用条件，因此可以利用等比性质，将单组边的比例关系转化为两个三角形周长的比例关系，再代入已知周长数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because △ A'B'C'$的周长为80，
$\therefore A'B'+B'C'+A'C'=80$，
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，
根据等比性质可得：$\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AB+BC+AC=\frac{2}{3}(A'B'+B'C'+A'C')=\frac{2}{3}×80=\frac{160}{3}$，
即△ABC的周长为$\frac{160}{3}$。
【答案】
$\frac{160}{3}$
【知识点】
1.比例的等比性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，既可以直接用比例的等比性质推导求解，也可以结合相似三角形周长比等于相似比的知识点解答，解题关键是将对应边的比例关系转化为周长的比例关系。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：题目给出△ABC和△A'B'C'的三组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，且已知△A'B'C'的周长为80，要求△ABC的周长。三角形的周长是三边长度之和，题目给出的三组对应边比值相等，符合比例等比性质的使用条件，因此可以利用等比性质，将单组边的比例关系转化为两个三角形周长的比例关系，再代入已知周长数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because △ A'B'C'$的周长为80，
$\therefore A'B'+B'C'+A'C'=80$，
$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，
根据等比性质可得：$\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AB+BC+AC=\frac{2}{3}(A'B'+B'C'+A'C')=\frac{2}{3}×80=\frac{160}{3}$，
即△ABC的周长为$\frac{160}{3}$。
【答案】
$\frac{160}{3}$
【知识点】
1.比例的等比性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，既可以直接用比例的等比性质推导求解，也可以结合相似三角形周长比等于相似比的知识点解答，解题关键是将对应边的比例关系转化为周长的比例关系。
【难度系数】
0.8
4. 聚焦中考代数推理 设$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，判断$△ ABC$为何种三角形，并说明理由。
答案
解析 $△ ABC$为等边三角形,理由如下：
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore a+b+c≠0,$
$\because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a},$
$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0,$
$\therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0,$
$\therefore a=b=c,\therefore △ ABC$为等边三角形.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore a+b+c≠0,$
$\because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a},$
$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0,$
$\therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0,$
$\therefore a=b=c,\therefore △ ABC$为等边三角形.
解析
【分析】
遇到连等的比例式，优先考虑运用比例的等比性质求解，首先要验证等比性质的适用条件：所有分母的和不为0。本题中a、b、c是三角形的三边长，均为正数，因此a+b+c≠0，满足等比性质的使用要求。将三个比例的分子、分母分别相加后，分子的和为$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$，因此可得三个比例的比值均为0，进而推出$a=b=c$，即可判断三角形的形状。
【解析】
$△ ABC$为等边三角形，理由如下：
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，即$a+b+c≠0$，
$\because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，
根据等比性质可得：$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{(a-b)+(b-c)+(c-a)}{a+b+c}=\frac{0}{a+b+c}=0$，
$\therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0$，
$\therefore a=b=c$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
等比性质，等边三角形判定，三角形边长性质
【点评】
本题核心考查等比性质的应用，解题的关键是牢记等比性质的适用前提（分母之和不为0），结合三角形边长均为正的特点求出比值，进而推导三边关系，解题时需注意不要忽略等比性质的适用条件直接计算。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式，优先考虑运用比例的等比性质求解，首先要验证等比性质的适用条件：所有分母的和不为0。本题中a、b、c是三角形的三边长，均为正数，因此a+b+c≠0，满足等比性质的使用要求。将三个比例的分子、分母分别相加后，分子的和为$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$，因此可得三个比例的比值均为0，进而推出$a=b=c$，即可判断三角形的形状。
【解析】
$△ ABC$为等边三角形，理由如下：
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，
$\therefore a＞0,b＞0,c＞0$，即$a+b+c≠0$，
$\because \frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，
根据等比性质可得：$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=\frac{(a-b)+(b-c)+(c-a)}{a+b+c}=\frac{0}{a+b+c}=0$，
$\therefore a-b=0,b-c=0,c-a=0$，
$\therefore a=b=c$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
等比性质，等边三角形判定，三角形边长性质
【点评】
本题核心考查等比性质的应用，解题的关键是牢记等比性质的适用前提（分母之和不为0），结合三角形边长均为正的特点求出比值，进而推导三边关系，解题时需注意不要忽略等比性质的适用条件直接计算。
【难度系数】
0.8
5. 学科特色多解法「2025河南郑州外国语学校月考，★☆」已知$\frac{x-y}{12}=\frac{y}{5}$，则$\frac{y}{x+y}$等于（
A.$\frac{5}{22}$
B.$\frac{5}{21}$
C.$\frac{5}{13}$
D.$\frac{5}{12}$
A
）A.$\frac{5}{22}$
B.$\frac{5}{21}$
C.$\frac{5}{13}$
D.$\frac{5}{12}$
答案
5.A 【解法一】$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5},\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{12}{5},\therefore \frac{x-y+y}{y}=$
$\frac{12+5}{5}=\frac{17}{5},即\frac{x}{y}=\frac{17}{5},\therefore \frac{x+y}{y}=\frac{17+5}{5}=\frac{22}{5},\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{5}{22}.$
故选A.
【解法二】$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5},\therefore 5(x-y)=12y,5x-5y=12y,$
$5x=12y+5y,\therefore x=\frac{17}{5}y,\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{y}{\frac{17}{5}y+y}=\frac{y}{\frac{22}{5}y}=\frac{5}{22}.$
故选A.
$\frac{12+5}{5}=\frac{17}{5},即\frac{x}{y}=\frac{17}{5},\therefore \frac{x+y}{y}=\frac{17+5}{5}=\frac{22}{5},\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{5}{22}.$
故选A.
【解法二】$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5},\therefore 5(x-y)=12y,5x-5y=12y,$
$5x=12y+5y,\therefore x=\frac{17}{5}y,\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{y}{\frac{17}{5}y+y}=\frac{y}{\frac{22}{5}y}=\frac{5}{22}.$
故选A.
解析
【分析】
本题已知关于x、y的比例等式，求指定分式的值，解题核心是通过已知等式推导x与y的数量关系，再代入目标分式化简求值。思考方向有两种：一是利用比例的基本性质或合比性质，直接对已知比例变形得到x与y的比值，再转化为目标分式的值；二是通过交叉相乘消去分母，用含y的代数式表示x，代入目标分式后约分化简得到结果。
【解析】
解法一：利用合比性质求解
$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5}$，根据比例的基本性质可得 $\frac{x-y}{y}=\frac{12}{5}$
根据合比性质，等式左右两边同时加1，得 $\frac{x-y+y}{y}=\frac{12+5}{5}$，即 $\frac{x}{y}=\frac{17}{5}$
再次利用合比性质，等式左右两边同时加1，得 $\frac{x+y}{y}=\frac{17+5}{5}=\frac{22}{5}$
$\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{5}{22}$
解法二：代数消元法求解
$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5}$，交叉相乘得 $5(x-y)=12y$
去括号得 $5x - 5y = 12y$，移项合并同类项得 $5x=17y$，即 $x=\frac{17}{5}y$
将$x=\frac{17}{5}y$代入$\frac{y}{x+y}$，得：
$\frac{y}{x+y}=\frac{y}{\frac{17}{5}y + y}=\frac{y}{\frac{22}{5}y}=\frac{5}{22}$（$y≠0$，可约去）
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，两种解法分别从比例性质变形和代数消元的角度切入，解题过程中要注意分式约分时，分母不为0的隐含条件，熟练掌握比例的相关性质可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题已知关于x、y的比例等式，求指定分式的值，解题核心是通过已知等式推导x与y的数量关系，再代入目标分式化简求值。思考方向有两种：一是利用比例的基本性质或合比性质，直接对已知比例变形得到x与y的比值，再转化为目标分式的值；二是通过交叉相乘消去分母，用含y的代数式表示x，代入目标分式后约分化简得到结果。
【解析】
解法一：利用合比性质求解
$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5}$，根据比例的基本性质可得 $\frac{x-y}{y}=\frac{12}{5}$
根据合比性质，等式左右两边同时加1，得 $\frac{x-y+y}{y}=\frac{12+5}{5}$，即 $\frac{x}{y}=\frac{17}{5}$
再次利用合比性质，等式左右两边同时加1，得 $\frac{x+y}{y}=\frac{17+5}{5}=\frac{22}{5}$
$\therefore \frac{y}{x+y}=\frac{5}{22}$
解法二：代数消元法求解
$\because \frac{x-y}{12}=\frac{y}{5}$，交叉相乘得 $5(x-y)=12y$
去括号得 $5x - 5y = 12y$，移项合并同类项得 $5x=17y$，即 $x=\frac{17}{5}y$
将$x=\frac{17}{5}y$代入$\frac{y}{x+y}$，得：
$\frac{y}{x+y}=\frac{y}{\frac{17}{5}y + y}=\frac{y}{\frac{22}{5}y}=\frac{5}{22}$（$y≠0$，可约去）
故选A。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质，合比性质，分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，两种解法分别从比例性质变形和代数消元的角度切入，解题过程中要注意分式约分时，分母不为0的隐含条件，熟练掌握比例的相关性质可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8
6.「2025四川成都中考，★☆」若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为
4
答案
答案 4
解析 $\because \frac{a}{b}=3,\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=3+1=4.$
解析 $\because \frac{a}{b}=3,\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=3+1=4.$
解析
【分析】
已知$\frac{a}{b}=3$，求$\frac{a+b}{b}$的值时，可先观察待求分式的结构：待求式是同分母分式相加的形式，可利用同分母分式加法法则的逆运算，将其拆分为两个分式的和，再把已知的$\frac{a}{b}=3$整体代入计算，无需单独求出a、b的具体数值，计算更简便。也可通过比例关系将a用含b的式子表示，代入待求式约分得到结果。
【解析】
$\because \frac{a}{b}=3$
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
将$\frac{a}{b}=3$代入得：原式$=3+1=4$
（也可换方法验证：由$\frac{a}{b}=3$得$a=3b$，代入$\frac{a+b}{b}=\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$）
【答案】
4
【知识点】
分式的运算、比例的性质
【点评】
本题是比例相关的基础考题，重点考察分式运算规则的灵活应用和整体代入的思想，掌握同分母分式的加减法则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
已知$\frac{a}{b}=3$，求$\frac{a+b}{b}$的值时，可先观察待求分式的结构：待求式是同分母分式相加的形式，可利用同分母分式加法法则的逆运算，将其拆分为两个分式的和，再把已知的$\frac{a}{b}=3$整体代入计算，无需单独求出a、b的具体数值，计算更简便。也可通过比例关系将a用含b的式子表示，代入待求式约分得到结果。
【解析】
$\because \frac{a}{b}=3$
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$
将$\frac{a}{b}=3$代入得：原式$=3+1=4$
（也可换方法验证：由$\frac{a}{b}=3$得$a=3b$，代入$\frac{a+b}{b}=\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$）
【答案】
4
【知识点】
分式的运算、比例的性质
【点评】
本题是比例相关的基础考题，重点考察分式运算规则的灵活应用和整体代入的思想，掌握同分母分式的加减法则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 学科特色易错题「2026福建泉州南安期中改编，★☆」已知$\frac{b+c+d}{a}=\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=k$，则k=
-1或3
.答案
答案 -1或3
解析 当$a+b+c+d=0$时,$a+b+c=-d,\therefore k=\frac{-d}{d}=-1;$
当$a+b+c+d≠0$时,由比例的等比性质得
$\frac{b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c}{a+b+c+d}=k,\therefore \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=k,$
$\therefore k=3.$
综上,$k=-1或3.$
易错警示 本题易因忘记讨论$a+b+c+d$的值与0的关系而出错.
解析 当$a+b+c+d=0$时,$a+b+c=-d,\therefore k=\frac{-d}{d}=-1;$
当$a+b+c+d≠0$时,由比例的等比性质得
$\frac{b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c}{a+b+c+d}=k,\therefore \frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=k,$
$\therefore k=3.$
综上,$k=-1或3.$
易错警示 本题易因忘记讨论$a+b+c+d$的值与0的关系而出错.
解析
【分析】
已知多个分式相等且值为k，解题时需注意比例等比性质的适用条件：所有分母的和不能为0，因此需分两种情况讨论：①当$a+b+c+d=0$时，无法直接使用等比性质，可将分子用含$a+b+c+d$的式子变形，代入计算k的值；②当$a+b+c+d≠0$时，可直接运用等比性质，将所有分子相加、所有分母相加，化简后求出k的值，最后综合两种情况得到k的所有可能值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c+d=0$时，$b+c+d=(a+b+c+d)-a=-a$，代入$\frac{b+c+d}{a}=k$可得：$k=\frac{-a}{a}=-1$；
2. 当$a+b+c+d≠0$时，根据比例的等比性质可得：
$k=\frac{(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)}{a+b+c+d}=\frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$
综上，$k$的值为-1或3。
【答案】
-1或3
【知识点】
比例的等比性质，分类讨论思想
【点评】
本题是比例性质应用的典型易错题，核心易错点是忽略等比性质的使用前提，未对分母之和是否为0进行分类讨论，导致漏解。解题时需牢记性质的适用条件，全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.6
已知多个分式相等且值为k，解题时需注意比例等比性质的适用条件：所有分母的和不能为0，因此需分两种情况讨论：①当$a+b+c+d=0$时，无法直接使用等比性质，可将分子用含$a+b+c+d$的式子变形，代入计算k的值；②当$a+b+c+d≠0$时，可直接运用等比性质，将所有分子相加、所有分母相加，化简后求出k的值，最后综合两种情况得到k的所有可能值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c+d=0$时，$b+c+d=(a+b+c+d)-a=-a$，代入$\frac{b+c+d}{a}=k$可得：$k=\frac{-a}{a}=-1$；
2. 当$a+b+c+d≠0$时，根据比例的等比性质可得：
$k=\frac{(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)}{a+b+c+d}=\frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3$
综上，$k$的值为-1或3。
【答案】
-1或3
【知识点】
比例的等比性质，分类讨论思想
【点评】
本题是比例性质应用的典型易错题，核心易错点是忽略等比性质的使用前提，未对分母之和是否为0进行分类讨论，导致漏解。解题时需牢记性质的适用条件，全面考虑所有可能情况。
【难度系数】
0.6
8. 聚焦中考 代数推理 「2026 河南漯河二中月考，★☆」阅读理解：
已知：$a,b,c,d$都是不为0的数，且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，求证：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
证明：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
根据以上方法，解答下列问题：
(1)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a+b}{b}$的值。
(2)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a≠±b,c≠±d$，求证：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
已知：$a,b,c,d$都是不为0的数，且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，求证：$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
证明：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
根据以上方法，解答下列问题：
(1)若$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，求$\frac{a+b}{b}$的值。
(2)若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$a≠±b,c≠±d$，求证：$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
答案
解析 (1)$\because \frac{a}{b}=\frac{3}{5},\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1,$
$\therefore \frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{3}{5}+\frac{5}{5},即\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}.$
(2)证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1,\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d},$
$\because \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d},\therefore \frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d},\therefore \frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}.$
$\therefore \frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{3}{5}+\frac{5}{5},即\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}.$
(2)证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1,\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d},$
$\because \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d},\therefore \frac{a-b}{b}÷\frac{a+b}{b}=\frac{c-d}{d}÷\frac{c+d}{d},\therefore \frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}.$
解析
【分析】
（1）第一问可直接套用题干给出的推导方法：已知$\frac{a}{b}$的取值，在等式两边同时加1，左边通分后即可得到$\frac{a+b}{b}$的形式，代入数值计算即可得到结果。
（2）第二问先类比题干的推导思路，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减1，得到$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再结合题干已证的$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，将两个等式左右两边分别相除，利用$a≠±b,c≠±d$的条件保证分母不为0，约分化简后即可得到待证结论。
【解析】
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，$\therefore$ 在等式两边同时加1可得$\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1$，
左边通分得$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a+b}{b}$，右边计算得$\frac{3}{5}+\frac{5}{5}=\frac{8}{5}$，即$\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}$。
(2) 证明：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore$ 等式两边同时减1得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，通分后可得$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ ①，
由题干已知结论可得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ ②，
$\because a≠±b,c≠±d$，$\therefore a+b≠0,c+d≠0$，将①②两式左右两边分别相除：
$\frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}}=\frac{\frac{c-d}{d}}{\frac{c+d}{d}}$，
约分化简后得$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，原式得证。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{8}{5}}$；(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
合比性质，比例的基本性质，分式运算
【点评】
本题属于阅读理解型题目，需要先理解材料给出的比例性质推导逻辑，再类比迁移解决新问题，侧重考查代数推理能力和知识迁移应用能力，解题时注意利用题给条件保证运算过程中分母不为0。
【难度系数】
0.8
（1）第一问可直接套用题干给出的推导方法：已知$\frac{a}{b}$的取值，在等式两边同时加1，左边通分后即可得到$\frac{a+b}{b}$的形式，代入数值计算即可得到结果。
（2）第二问先类比题干的推导思路，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减1，得到$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再结合题干已证的$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，将两个等式左右两边分别相除，利用$a≠±b,c≠±d$的条件保证分母不为0，约分化简后即可得到待证结论。
【解析】
(1) $\because \frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，$\therefore$ 在等式两边同时加1可得$\frac{a}{b}+1=\frac{3}{5}+1$，
左边通分得$\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a+b}{b}$，右边计算得$\frac{3}{5}+\frac{5}{5}=\frac{8}{5}$，即$\frac{a+b}{b}=\frac{8}{5}$。
(2) 证明：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore$ 等式两边同时减1得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，通分后可得$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$ ①，
由题干已知结论可得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ ②，
$\because a≠±b,c≠±d$，$\therefore a+b≠0,c+d≠0$，将①②两式左右两边分别相除：
$\frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}}=\frac{\frac{c-d}{d}}{\frac{c+d}{d}}$，
约分化简后得$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$，原式得证。
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{8}{5}}$；(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
合比性质，比例的基本性质，分式运算
【点评】
本题属于阅读理解型题目，需要先理解材料给出的比例性质推导逻辑，再类比迁移解决新问题，侧重考查代数推理能力和知识迁移应用能力，解题时注意利用题给条件保证运算过程中分母不为0。
【难度系数】
0.8
