10.「2026河南郑州新郑期中」如图,四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$,依据所标数据,解答下列问题.
(1)求$∠ B$的度数.
(2)求$x,y$的值.

10.解析 (1)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$,
∴$∠C=∠C'=135°$,
∴$∠B=360°-60°-135°-95°=70°$,
即$∠B$的度数为$70°$.
(2)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$,
∴$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$,
解得$x=4,y=18$.

【分析】
本题考查相似四边形的性质应用，解题思路如下：①求∠B：首先根据相似多边形对应角相等，得到∠C=∠C'，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去已知的∠A、∠D、∠C的度数，即可求出∠B；②求x、y：根据相似多边形对应边成比例，找到两组四边形的对应边，列出比例式，解比例即可得到x、y的值。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，相似多边形对应角相等
∴$∠C=∠C'=135°$
∵四边形内角和为$360°$
∴$∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-60°-95°-135°=70°$
(2)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，相似多边形对应边成比例
∴对应边的比相等，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$
代入边长得：$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$
解$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}$，交叉相乘得$8y=144$，解得$y=18$
解$\frac{12}{8}=\frac{6}{x}$，交叉相乘得$12x=48$，解得$x=4$
【答案】
(1) $∠B$的度数为$70°$
(2) $x=4$，$y=18$
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理、比例计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题的核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，结合四边形内角和定理即可求解，掌握相似多边形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

11.「★☆」将等边三角形、菱形、矩形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）


A.1组
B.2组
C.3组
D.4组

11.C 由题意得,两个等边三角形的各角分别相等,各边成比例,两三角形相似;
菱形四条边均相等,所以两个菱形的各边成比例,易知两个菱形的各角也分别相等,所以两个菱形相似;
矩形四个角相等,但两个矩形的各边不一定成比例,所以两个矩形不一定是相似多边形;
因为正方形四条边均相等,所以两个正方形的各边成比例,又因为两个正方形各角分别相等,所以两个正方形相似.
故选C.

【分析】
解题的核心依据是相似多边形的判定定理：两个边数相同的多边形，若对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形相似。我们需要依次分析等边三角形、菱形、矩形、正方形变化前后是否同时满足这两个条件，统计符合的组数即可得到答案。
【解析】
相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，逐个分析如下：
1. 等边三角形：变化前后两个三角形的内角均为60°，对应角相等；对应边的比值固定，满足对应边成比例，因此两个等边三角形相似。
2. 菱形：变化前后两个菱形的内角大小不变，对应角相等；菱形四条边长度相等，变化后四条边长度仍相等，因此对应边成比例，两个菱形相似。
3. 矩形：变化前后两个矩形的内角均为90°，对应角相等；设原矩形长为$a$、宽为$b$，变化后长为$a+2$、宽为$b+2$，$\frac{a}{b}$与$\frac{a+2}{b+2}$不一定相等，即对应边不一定成比例，因此两个矩形不一定相似。
4. 正方形：变化前后两个正方形的内角均为90°，对应角相等；变化后边长为原边长加2，对应边的比值相等，满足对应边成比例，因此两个正方形相似。
综上，相似的共有3组，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定，等边三角形性质，特殊四边形性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，需要结合常见特殊多边形的性质逐一验证两个判定条件，易错点是容易忽略对应边成比例的要求，误认为矩形变化前后也一定相似。
【难度系数】
0.7

12.「2026浙江温州期中改编，★☆」小明同学在学习了九年级上册“成比例线段”这节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程。图中横线处应填。

$\frac{a}{x}=\frac{y}{c}$ 当$x=y=b$时 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$ 当$\frac{a}{c}=$时 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$

12.答案 2
解析
∵$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$,
∴$a=\sqrt{2}b$,$b=\sqrt{2}c$,
∴$a=2c$,
∴$\frac{a}{c}=2$.
故答案为2.

【分析】
解题时从最终给出的相等比例关系入手，利用比例的基本性质，先将a用含b的式子表示、b用含c的式子表示，再通过代换得到a与c的数量关系，即可求出$\frac{a}{c}$的值。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\sqrt{2}$，
根据比例的基本性质可得：
$a=\sqrt{2}b$，$b=\sqrt{2}c$，
将$b=\sqrt{2}c$代入$a=\sqrt{2}b$，得：
$a=\sqrt{2} × \sqrt{2}c=2c$，
$\therefore \frac{a}{c}=\frac{2c}{c}=2$。
【答案】
2
【知识点】
比例的基本性质，成比例线段
【点评】
本题属于比例性质的基础应用类题目，通过逐步代换即可求出未知比值，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

13. 学科特色
分类讨论思想「2026 陕西宝鸡期中改编，★☆」已知三条线段的长分别为1 cm,2 cm,$\sqrt{2}$ cm,若再添一条线段,使这四条线段成比例,求所添线段的长度.

13.解析 设所添线段的长度为a cm,
由题意得$\frac{a}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$,
解得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=\sqrt{2}$或$a=\sqrt{2}$或$a=2\sqrt{2}$.
故所添线段的长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm或$\sqrt{2}$ cm或$2\sqrt{2}$ cm.

【分析】
解决本题首先要明确成比例线段的定义：若四条线段按一定顺序排列后，前两条线段的比等于后两条线段的比，则这四条线段成比例。由于题目未指定四条线段的排列顺序，因此需要对新添线段在比例式中的位置进行分类讨论，分别列出对应的比例方程求解，最后合并重复的解即可得到所有符合要求的线段长度。
【解析】
设所添线段的长度为$a\ \mathrm{cm}$，根据四条线段成比例的条件，分情况列方程：
情况1：$\frac{a}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
情况2：$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$；
情况3：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$；
情况4：$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{a}$，解得$a=2\sqrt{2}$。
去除重复的解后，即可得到所有符合要求的线段长度。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm或$\sqrt{2}$ cm或$2\sqrt{2}$ cm
【知识点】
1. 成比例线段的定义
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是成比例线段的基础应用题型，易错点是忽略比例顺序的不确定性，导致漏解或重复计算。解题时需全面考虑新线段在比例中的所有可能位置，最后注意合并相同的结果。
【难度系数】
0.7

14.「2026辽宁大连甘井子月考，★☆」九年级(1)班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长$BC=13$厘米，宽$AB=6$厘米，想在$AD$边上找点$E$，作$EF// AB$，交$BC$于点$F$，使矩形$ABFE∽$矩形$DEFC$(不全等)，求$AE$的长度.

14.解析
∵四边形ABCD是矩形,BC=13厘米,AB=6厘米,
∴AD=BC=13厘米,AB=CD=6厘米,
设AE=x厘米,
∴DE=AD-AE=(13-x)厘米,
∵矩形ABFE∽矩形DEFC,
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{DE}$,
∴$\frac{x}{6}=\frac{6}{13-x}$,
∴x=4或9,
经检验,x=4或9符合题意,
∴AE的长度为4厘米或9厘米.

【分析】
解题时首先利用矩形对边相等的性质，得到AD、CD的长度；接下来设AE的长度为x厘米，即可用含x的代数式表示出DE的长度；再根据相似多边形对应边成比例的性质，找准两个矩形的对应边，列出比例式；最后求解分式方程并检验解是否符合题意，即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，BC=13厘米，AB=6厘米，
∴AD=BC=13厘米，CD=AB=6厘米，
设AE=x厘米，则DE=AD-AE=(13-x)厘米，
∵矩形ABFE∽矩形DEFC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{DE}$，
代入得$\frac{x}{6}=\frac{6}{13-x}$，
交叉相乘整理得$x^2-13x+36=0$，
解得$x=4$或$x=9$，
经检验，$x=4$和$x=9$都是原方程的解，且满足矩形ABFE与矩形DEFC不全等的要求，符合题意。
【答案】
4厘米或9厘米
【知识点】
矩形的性质、相似多边形的性质、分式方程的应用
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题型，解题的关键是准确匹配相似矩形的对应边，避免因对应边找反导致列式错误，求解后要注意检验方程的解是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.7

15. 核心 素养 几何直观 把6 cm×10 cm的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等。请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻折或旋转后如果同另一种分割重叠的话，将视为同一种分割方法）。

15.解析 分割的图形如下：

【分析】
要解决这个问题，我们首先抓住核心条件：分割得到的4个图形互为相似或全等，且翻折、旋转后重叠视为同一种。由于大图形是长方形，我们优先考虑分割为矩形（矩形四个角都是直角，只需邻边长度比相等就满足相似条件，全等是特殊的相似）。首先明确大矩形的尺寸为长10cm、宽6cm，总面积60cm²，4个分割图形的面积和为60cm²。
解题思路如下：
1. 先确定想要的相似矩形的长宽比，例如正方形的长宽比为1:1、长宽比1:3、长宽比2:3等，确保按比例分割后所有图形的长宽比一致。
2. 结合大矩形的边长6cm和10cm，尝试拆分长或宽，验证拆分后得到的4个图形的边长符合比例要求，且总面积刚好为60cm²。
3. 调整分割图形的摆放位置，避免出现翻折、旋转后重叠的情况，得到不同的分割方法。
【解析】
根据相似多边形的判定：矩形的四个内角均为直角，因此只要两个矩形的邻边长度比相等，两个矩形就相似，全等属于特殊的相似。我们可以按以下4种方式分割：
1. 第一种（全为正方形，长宽比1:1）：在大矩形左侧截取边长为6cm的正方形，剩余右侧6cm×4cm的矩形；再在该矩形上方截取边长为4cm的正方形，剩余下方2cm×4cm的矩形，沿竖直方向平均分为2个边长为2cm的正方形，四个正方形均相似。
2. 第二种（长宽比1:3）：将大矩形沿水平方向平均分为上下两个3cm×10cm的矩形，再将每个3cm×10cm的矩形沿竖直方向分割为1cm×3cm和3cm×9cm的两个矩形，最终得到2个1×3、2个3×9的矩形，所有矩形邻边比均为1:3，互为相似。
3. 第三种（长宽比2:3）：将大矩形沿竖直方向分割为左侧6cm×6cm、右侧4cm×6cm的两部分；再将左侧6cm×6cm的矩形沿水平方向分为上下各2cm×6cm、中间4cm×6cm的三部分，把上下两个2cm×6cm的矩形沿竖直方向平均分为2个2cm×3cm的矩形，最终得到2个2×3、2个4×6的矩形，所有矩形邻边比均为2:3，互为相似。
4. 第四种（长宽比2:3，摆放方式不同）：调整2×3和4×6矩形的摆放位置，将2个2×3的矩形放在大矩形左侧上下位置，2个4×6的矩形放在右侧，和第三种分割翻折旋转后不重叠，属于新的分割方法。
分割结果如下：




【答案】




【知识点】
相似多边形判定，图形分割，矩形的性质
【点评】
本题属于开放性几何操作题，需要灵活运用相似多边形的性质，结合边长比例计算设计分割方案，能够有效锻炼几何直观思维和动手实践能力。
【难度系数】
0.4