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三、操作题。
下图中每个小长方形的宽都是长的一半，在下图中分别画出一个正方形和一个长方形。
下图中每个小长方形的宽都是长的一半，在下图中分别画出一个正方形和一个长方形。
答案
答案不唯一，示例画法：
1. 正方形：任选网格内连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为正方形。
2. 长方形：任选网格内连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为长方形。
1. 正方形：任选网格内连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为正方形。
2. 长方形：任选网格内连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为长方形。
解析
【分析】
解题时先回忆长方形和正方形的基本特征，再结合题目给出的“每个小长方形的宽是长的一半”这一条件思考画法。①正方形要求四条边长度相等，已知小长方形的长=2×宽，所以只要让拼成的图形水平总长度和竖直总高度相等即可，比如取1行（竖直高度为小长方形的长）、2列（水平总长度为2个小长方形的宽，刚好等于长），就能得到正方形；②长方形要求对边相等、邻边不等，只要选择的区域满足对边长度相等、邻边不等即可，比如选3列2行的区域就能得到长方形，画法不唯一，符合要求就行。
【解析】
1. 明确图形特征：正方形四条边长度相等，四个角都是直角；长方形对边长度相等，四个角都是直角。
2. 结合长宽关系推导：已知每个小长方形的宽是长的一半，即1个长的长度=2个宽的长度。
3. 画正方形：在网格中任选连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿该区域的外围描出边框，此时图形的水平总长度为2个宽，等于竖直方向的长，四条边长度相等，符合正方形的特征。
4. 画长方形：在网格中任选连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿该区域的外围描出边框，此时图形对边长度相等，邻边长度不相等，符合长方形的特征。
注：画法不唯一，只要符合图形特征即可。
【答案】
答案不唯一，示例画法：
1. 正方形：任选网格内连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为正方形。
2. 长方形：任选网格内连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为长方形。
【知识点】
长方形的特征；正方形的特征；图形的拼组
【点评】
本题侧重考查对长方形、正方形特征的理解与应用，需要结合给定的小长方形长宽关系灵活构造图形，解题时无需局限于示例画法，只要符合两类图形的特征就正确。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆长方形和正方形的基本特征，再结合题目给出的“每个小长方形的宽是长的一半”这一条件思考画法。①正方形要求四条边长度相等，已知小长方形的长=2×宽，所以只要让拼成的图形水平总长度和竖直总高度相等即可，比如取1行（竖直高度为小长方形的长）、2列（水平总长度为2个小长方形的宽，刚好等于长），就能得到正方形；②长方形要求对边相等、邻边不等，只要选择的区域满足对边长度相等、邻边不等即可，比如选3列2行的区域就能得到长方形，画法不唯一，符合要求就行。
【解析】
1. 明确图形特征：正方形四条边长度相等，四个角都是直角；长方形对边长度相等，四个角都是直角。
2. 结合长宽关系推导：已知每个小长方形的宽是长的一半，即1个长的长度=2个宽的长度。
3. 画正方形：在网格中任选连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿该区域的外围描出边框，此时图形的水平总长度为2个宽，等于竖直方向的长，四条边长度相等，符合正方形的特征。
4. 画长方形：在网格中任选连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿该区域的外围描出边框，此时图形对边长度相等，邻边长度不相等，符合长方形的特征。
注：画法不唯一，只要符合图形特征即可。
【答案】
答案不唯一，示例画法：
1. 正方形：任选网格内连续2列、1行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为正方形。
2. 长方形：任选网格内连续3列、2行的小长方形组成的区域，沿区域外围描出边框，所得图形即为长方形。
【知识点】
长方形的特征；正方形的特征；图形的拼组
【点评】
本题侧重考查对长方形、正方形特征的理解与应用，需要结合给定的小长方形长宽关系灵活构造图形，解题时无需局限于示例画法，只要符合两类图形的特征就正确。
【难度系数】
0.8
四、有一张长方形纸，长12厘米，宽8厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形，剩下部分的周长是多少厘米？
答案
$12-8=4(\mathrm{cm})$ $(4+8)×2=24(\mathrm{cm})$
答：剩下部分的周长是24厘米。
答：剩下部分的周长是24厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确在长方形中剪下最大正方形的规则：正方形四条边长度相等，因此最大正方形的边长只能等于长方形较短的边（即宽），本题中就是8cm。接着判断剪下正方形后剩余部分的形状：原长方形长12cm，剪去8cm的边长后，剩余部分的短边长度为12-8=4cm，长边仍然是原来的宽8cm，因此剩余部分是长8cm、宽4cm的长方形。最后代入长方形周长公式计算就能得到结果。
【解析】
1. 计算剩余长方形的宽：
剪下的最大正方形边长等于原长方形的宽8cm，因此剩余部分的宽为 $12-8=4(\mathrm{cm})$，剩余部分是长为8cm、宽为4cm的长方形。
2. 计算剩余长方形的周长：
根据长方形周长公式：周长 =（长+宽）×2，代入数值可得：
$(8+4)×2=24(\mathrm{cm})$
【答案】
剩下部分的周长是24厘米。
【知识点】
正方形特征、长方形周长计算、图形切拼应用
【点评】
本题属于基础的几何应用类题目，解题关键是掌握长方形内最大正方形的边长与原长方形宽相等的规律，再结合长方形周长公式即可求解，能够有效考察学生对平面图形特征的理解和公式的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确在长方形中剪下最大正方形的规则：正方形四条边长度相等，因此最大正方形的边长只能等于长方形较短的边（即宽），本题中就是8cm。接着判断剪下正方形后剩余部分的形状：原长方形长12cm，剪去8cm的边长后，剩余部分的短边长度为12-8=4cm，长边仍然是原来的宽8cm，因此剩余部分是长8cm、宽4cm的长方形。最后代入长方形周长公式计算就能得到结果。
【解析】
1. 计算剩余长方形的宽：
剪下的最大正方形边长等于原长方形的宽8cm，因此剩余部分的宽为 $12-8=4(\mathrm{cm})$，剩余部分是长为8cm、宽为4cm的长方形。
2. 计算剩余长方形的周长：
根据长方形周长公式：周长 =（长+宽）×2，代入数值可得：
$(8+4)×2=24(\mathrm{cm})$
【答案】
剩下部分的周长是24厘米。
【知识点】
正方形特征、长方形周长计算、图形切拼应用
【点评】
本题属于基础的几何应用类题目，解题关键是掌握长方形内最大正方形的边长与原长方形宽相等的规律，再结合长方形周长公式即可求解，能够有效考察学生对平面图形特征的理解和公式的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
五、用若干个长5厘米、宽2厘米的小长方形拼成一个正方形（不能重叠、不能切割）。这个正方形的边长至少是多少厘米？至少需要几个这样的小长方形？
答案
$5×2=10$(厘米)
答：至少需要10个这样的小长方形。
答：至少需要10个这样的小长方形。
解析
【分析】
我们要想用长5厘米、宽2厘米的小长方形拼出没有重叠、不用切割的正方形，首先要知道正方形的四条边长度都相等，所以正方形的边长得既能被小长方形的长5厘米整除，也能被小长方形的宽2厘米整除，不然拼接的时候就会出现长度不够或者多出来的情况。要找最小的边长，我们可以先分别列5和2的倍数：5的倍数有5、10、15、20……，2的倍数有2、4、6、8、10、12……，它们最小的共同倍数是10，所以最小边长就是10厘米。算出边长后，再算边长里有几个小长方形的长，就是每行能放几个；再算边长里有几个小长方形的宽，就是能放几行，两个数相乘就能得到总共需要的小长方形个数。
【解析】
1. 求正方形的最小边长：
要拼成正方形，边长需要同时是5和2的倍数，二者最小的共同倍数为$5×2=10$，因此正方形的边长至少是10厘米。
2. 求需要的小长方形总个数：
每行可放的小长方形数量：$10÷5=2$（个）
可以摆放的行数：$10÷2=5$（行）
总数量：$2×5=10$（个）
【答案】
这个正方形的边长至少是10厘米，至少需要10个这样的小长方形。
【知识点】
1. 最小公倍数 2. 图形拼组
【点评】
本题结合图形拼接的实际场景考察公倍数的应用，需要学生主动建立正方形边长与长方形长、宽的倍数关联，有助于培养知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
我们要想用长5厘米、宽2厘米的小长方形拼出没有重叠、不用切割的正方形，首先要知道正方形的四条边长度都相等，所以正方形的边长得既能被小长方形的长5厘米整除，也能被小长方形的宽2厘米整除，不然拼接的时候就会出现长度不够或者多出来的情况。要找最小的边长，我们可以先分别列5和2的倍数：5的倍数有5、10、15、20……，2的倍数有2、4、6、8、10、12……，它们最小的共同倍数是10，所以最小边长就是10厘米。算出边长后，再算边长里有几个小长方形的长，就是每行能放几个；再算边长里有几个小长方形的宽，就是能放几行，两个数相乘就能得到总共需要的小长方形个数。
【解析】
1. 求正方形的最小边长：
要拼成正方形，边长需要同时是5和2的倍数，二者最小的共同倍数为$5×2=10$，因此正方形的边长至少是10厘米。
2. 求需要的小长方形总个数：
每行可放的小长方形数量：$10÷5=2$（个）
可以摆放的行数：$10÷2=5$（行）
总数量：$2×5=10$（个）
【答案】
这个正方形的边长至少是10厘米，至少需要10个这样的小长方形。
【知识点】
1. 最小公倍数 2. 图形拼组
【点评】
本题结合图形拼接的实际场景考察公倍数的应用，需要学生主动建立正方形边长与长方形长、宽的倍数关联，有助于培养知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
