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6.已知关于$x的一元二次不等式ax^{2}-(a+1)x+b＜0的解集为\{ x|x＜-\frac {1}{2}或x＞1\} $。
(1)求$a$,$b$的值；
(2)若不等式$bx^{2}+(m+2a)x+3-m≥0对任意的m∈[0,4]$恒成立,求实数$x$的取值范围。
(1)求$a$,$b$的值；
(2)若不等式$bx^{2}+(m+2a)x+3-m≥0对任意的m∈[0,4]$恒成立,求实数$x$的取值范围。
答案
解:(1)因为关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}-(a+1)x+b＜0$的解集为$\{ x|x＜-\frac {1}{2}$或$x＞1\} $,所以方程$ax^{2}-(a+1)\cdot x+b=0$的两根为$-\frac {1}{2}$和$1$.
由根与系数的关系,得$\left\{\begin{array}{l} -\frac {1}{2}+1=\frac {a+1}{a},\\ -\frac {1}{2}×1=\frac {b}{a},\end{array}\right. $解得$a=-2,b=1$.
(2)由(1),得$x^{2}+(m-4)x+3-m≥0$对任意的$m∈[0,4]$恒成立,即$m(x-1)+x^{2}-4x+3≥0$恒成立.
令$g(m)=(x-1)m+x^{2}-4x+3$,问题等价于$\left\{\begin{array}{l} g(0)≥0,\\ g(4)≥0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4x+3≥0,\\ x^{2}-1≥0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x≥3或x≤1,\\ x≥1或x≤-1,\end{array}\right. $故实数$x$的取值范围为$\{ x|x≤-1$或$x=1$或$x≥3\} $.
由根与系数的关系,得$\left\{\begin{array}{l} -\frac {1}{2}+1=\frac {a+1}{a},\\ -\frac {1}{2}×1=\frac {b}{a},\end{array}\right. $解得$a=-2,b=1$.
(2)由(1),得$x^{2}+(m-4)x+3-m≥0$对任意的$m∈[0,4]$恒成立,即$m(x-1)+x^{2}-4x+3≥0$恒成立.
令$g(m)=(x-1)m+x^{2}-4x+3$,问题等价于$\left\{\begin{array}{l} g(0)≥0,\\ g(4)≥0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4x+3≥0,\\ x^{2}-1≥0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x≥3或x≤1,\\ x≥1或x≤-1,\end{array}\right. $故实数$x$的取值范围为$\{ x|x≤-1$或$x=1$或$x≥3\} $.
7.若命题“$\forall x∈R$,$mx^{2}-2mx+1＞0$”是假命题,则实数$m$的取值范围为()
A.$\{ m|0≤m＜1\} $
B.$\{ m|m＜0或m≥1\} $
C.$\{ m|m≤0或m≥1\} $
D.$\{ m|0＜m＜1\} $
A.$\{ m|0≤m＜1\} $
B.$\{ m|m＜0或m≥1\} $
C.$\{ m|m≤0或m≥1\} $
D.$\{ m|0＜m＜1\} $
答案
B 因为命题“$\forall x∈\mathbf{R},mx^{2}-2mx+1＞0$”是假命题,所以其否定“$\exists x∈\mathbf{R},mx^{2}-2mx+1≤0$”是真命题.当$m=0$时,$1≤0$不成立,不符合题意;当$m≠0$时,易得$m＜0$或$\left\{\begin{array}{l} m＞0,\\ \Delta =4m^{2}-4m=4m(m-1)≥0,\end{array}\right. $解得$m＜0$或$m≥1$.
综上,实数$m$的取值范围为$\{ m|m＜0$或$m≥1\} $.
综上,实数$m$的取值范围为$\{ m|m＜0$或$m≥1\} $.
8.(多选)若不等式$x^{2}+bx+c≥2x+b对任意的x∈R$恒成立,则()
A.$b^{2}-4c+4≤0$
B.$b≤0$
C.$c≥1$
D.$b+c≥0$
A.$b^{2}-4c+4≤0$
B.$b≤0$
C.$c≥1$
D.$b+c≥0$
答案
ACD $x^{2}+bx+c≥2x+b$可整理为$x^{2}+(b-2)x+c-b≥0$,令$y=x^{2}+(b-2)x+c-b$,易得$\Delta =(b-2)^{2}-4(c-b)=b^{2}-4c+4≤0$,故A正确;
当$b=1,c=2$时,满足$\Delta ≤0$,即原不等式成立,故B错误;
由$\Delta ≤0$,得$c≥\frac {b^{2}}{4}+1$,所以$c≥1$,故C正确;
易得$b+c≥\frac {b^{2}}{4}+b+1=(\frac {b}{2}+1)^{2}≥0$,故D正确.
当$b=1,c=2$时,满足$\Delta ≤0$,即原不等式成立,故B错误;
由$\Delta ≤0$,得$c≥\frac {b^{2}}{4}+1$,所以$c≥1$,故C正确;
易得$b+c≥\frac {b^{2}}{4}+b+1=(\frac {b}{2}+1)^{2}≥0$,故D正确.
9.(1)已知二次函数$y= x^{2}+2ax+2$,若当$1≤x≤5$时,不等式$y＞3ax$恒成立,求实数$a$的取值范围；
(2)当$1≤x≤2$时,若不等式$x^{2}+mx+4＜0$恒成立,求实数$m$的取值范围。
(提示：考虑分离参数,转化为基本不等式或函数的最值问题,利用数形结合或二次函数的性质列出不等式(组)求解)
(2)当$1≤x≤2$时,若不等式$x^{2}+mx+4＜0$恒成立,求实数$m$的取值范围。
(提示：考虑分离参数,转化为基本不等式或函数的最值问题,利用数形结合或二次函数的性质列出不等式(组)求解)
答案
解:(1)不等式$y＞3ax$可整理为$x^{2}-ax+2＞0$.当$1≤x≤5$时,$x^{2}-ax+2＞0$可变形为$a＜\frac {x^{2}+2}{x}=x+\frac {2}{x}$,易得$a＜(x+\frac {2}{x})_{min}$.
又$x+\frac {2}{x}≥2\sqrt {x\cdot \frac {2}{x}}=2\sqrt {2}$,当且仅当$x=\frac {2}{x}$,即$x=\sqrt {2}$时,等号成立,$\therefore (x+\frac {2}{x})_{min}=2\sqrt {2}$,即$a＜2\sqrt {2}$,故实数$a$的取值范围是$\{ a|a＜2\sqrt {2}\} $.
(2)令$f(x)=x^{2}+mx+4$.问题转化为$\left\{\begin{array}{l} f(1)＜0,\\ f(2)＜0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 1+m+4＜0,\\ 4+2m+4＜0,\end{array}\right. $解得$m＜-5$,
故实数$m$的取值范围是$\{ m|m＜-5\} $.
又$x+\frac {2}{x}≥2\sqrt {x\cdot \frac {2}{x}}=2\sqrt {2}$,当且仅当$x=\frac {2}{x}$,即$x=\sqrt {2}$时,等号成立,$\therefore (x+\frac {2}{x})_{min}=2\sqrt {2}$,即$a＜2\sqrt {2}$,故实数$a$的取值范围是$\{ a|a＜2\sqrt {2}\} $.
(2)令$f(x)=x^{2}+mx+4$.问题转化为$\left\{\begin{array}{l} f(1)＜0,\\ f(2)＜0,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} 1+m+4＜0,\\ 4+2m+4＜0,\end{array}\right. $解得$m＜-5$,
故实数$m$的取值范围是$\{ m|m＜-5\} $.
