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【变式3】若不等式$x^{2}-2x≤a对任意的a∈\{ a|0≤a≤3\} $都成立,求实数$x$的取值范围。
答案
解:令$g(a)=a-(x^{2}-2x)$.不等式$x^{2}-2x≤a$对任意$a∈\{ a|0≤a≤3\} $都成立,即$g(a)≥0$在$0≤a≤3$上恒成立,即$g(a)_{min}≥0$.因为$g(a)$为一次函数,且函数值随着$a$的增大而增大,所以只需$g(0)=-(x^{2}-2x)≥0$即可,解得$0≤x≤2$.故实数$x$的取值范围为$\{ x|0≤x≤2\} $.
【典例4】若存在$x∈R$,使不等式$\frac {4x+m}{x^{2}-2x+3}≥2$成立,求实数$m$的取值范围。
答案
解题指导 第1步：首先判断分母的符号,进而去分母,化简不等式。第2步：分离参数$m$,求出不等式右边相应函数的最值,进而得出结论。
答案 解：$x^{2}-2x+3= (x-1)^{2}+2＞0$,故原不等式可化为$4x+m≥2(x^{2}-2x+3)$,即$m≥2x^{2}-8x+6$。由题意,得$m≥(2x^{2}-8x+6)_{min}$。
因为$2x^{2}-8x+6= 2(x-2)^{2}-2≥-2$,故实数$m的取值范围为\{ m|m≥-2\} $。
答案 解：$x^{2}-2x+3= (x-1)^{2}+2＞0$,故原不等式可化为$4x+m≥2(x^{2}-2x+3)$,即$m≥2x^{2}-8x+6$。由题意,得$m≥(2x^{2}-8x+6)_{min}$。
因为$2x^{2}-8x+6= 2(x-2)^{2}-2≥-2$,故实数$m的取值范围为\{ m|m≥-2\} $。
【变式4】若关于$x的不等式x^{2}-4x+4a≥a^{2}在\{ x|1≤x≤6\} $上有解,则实数$a$的取值范围为()
A.$\{ a|-2≤a≤3\} $
B.$\{ a|1≤a≤6\} $
C.$\{ a|-2≤a≤6\} $
D.$\{ a|3≤a≤6\} $
A.$\{ a|-2≤a≤3\} $
B.$\{ a|1≤a≤6\} $
C.$\{ a|-2≤a≤6\} $
D.$\{ a|3≤a≤6\} $
答案
C 根据题意,得$x^{2}-4x≥a^{2}-4a$在$\{ x|1≤x≤6\} $上有解,所以只需$a^{2}-4a≤(x^{2}-4x)_{max}$.设$y=x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,x∈\{ x|1≤x≤6\} $.当$x=6$时,$y$取得最大值,$y_{max}=12$,所以$a^{2}-4a≤12$,解得$-2≤a≤6$,故实数$a$的取值范围为$\{ a|-2≤a≤6\} $.
1.(教材改编题)若对于任意实数$x$,不等式$(a-2)x^{2}-2(a-2)x-4＜0$恒成立,则实数$a$的取值范围为()
A.$\{ a|a＜2\} $
B.$\{ a|a≤2\} $
C.$\{ a|-2＜a＜2\} $
D.$\{ a|-2＜a≤2\} $
A.$\{ a|a＜2\} $
B.$\{ a|a≤2\} $
C.$\{ a|-2＜a＜2\} $
D.$\{ a|-2＜a≤2\} $
答案
D 当$a-2=0$,即$a=2$时,得$-4＜0$,恒成立,符合题意;当$a-2≠0$时,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} a-2＜0,\\ 4(a-2)^{2}+16(a-2)＜0,\end{array}\right. $解得$-2\lt a＜2$.
综上所述,实数$a$的取值范围为$\{ a|-2\lt a≤2\} $.
综上所述,实数$a$的取值范围为$\{ a|-2\lt a≤2\} $.
2.若关于$x的不等式x^{2}-4x-2-a≤0$有解,则实数$a$的取值范围为()
A.$\{ a|a≥-2\} $
B.$\{ a|a≤-2\} $
C.$\{ a|a≥-6\} $
D.$\{ a|a≤-6\} $
A.$\{ a|a≥-2\} $
B.$\{ a|a≤-2\} $
C.$\{ a|a≥-6\} $
D.$\{ a|a≤-6\} $
答案
C 关于$x$的不等式$x^{2}-4x-2-a≤0$有解,即函数$y=x^{2}-4x-2-a$的图象与$x$轴有交点,即$\Delta =16+4(2+a)≥0$,解得$a≥-6$.故实数$a$的取值范围为$\{ a|a≥-6\} $.
3.若关于$x的不等式x^{2}-6x+11-a＜0在\{ x|2＜x＜5\} $上有解,则实数$a$的取值范围为()
A.$\{ a|a＞-2\} $
B.$\{ a|a＞3\} $
C.$\{ a|a＞6\} $
D.$\{ a|a＞2\} $
A.$\{ a|a＞-2\} $
B.$\{ a|a＞3\} $
C.$\{ a|a＞6\} $
D.$\{ a|a＞2\} $
答案
D 设$y=x^{2}-6x+11$,则其图象的开口向上,对称轴为$x=3$,所以要使不等式$x^{2}-6x+11-a＜0$在$\{ x|2\lt x＜5\} $上有解,只要$a＞y_{min}$即可,即$a＞2$,所以实数$a$的取值范围为$\{ a|a＞2\} $.
4.若对任意的$x＜0$,不等式$x^{2}-mx+1＞0$恒成立,则实数$m$的取值范围为()
A.$\{ m|-2＜m＜2\} $
B.$\{ m|m＞2\} $
C.$\{ m|m＞-2\} $
D.$\{ m|m≤-2\} $
A.$\{ m|-2＜m＜2\} $
B.$\{ m|m＞2\} $
C.$\{ m|m＞-2\} $
D.$\{ m|m≤-2\} $
答案
C 因为对任意的$x＜0$,不等式$x^{2}-mx+1＞0$恒成立,所以$mx\lt x^{2}+1$对任意的$x＜0$恒成立,即$m＞\frac {x^{2}+1}{x}=x+\frac {1}{x}$对任意的$x＜0$恒成立,故$m＞(x+\frac {1}{x})_{max}$.因为$x＜0$,所以$-x＞0$,所以$x+\frac {1}{x}=-[(-x)+\frac {1}{(-x)}]≤-2\sqrt {(-x)\cdot \frac {1}{(-x)}}=-2$,当且仅当$-x=\frac {1}{-x}$,即$x=-1$时,等号成立,所以$m＞-2$,故实数$m$的取值范围为$\{ m|m＞-2\} $.
5.已知关于$x的不等式ax^{2}+4ax-3＜0$,若不等式的解集为$\{ x|x＜-3或x＞-1\} $,则$a$的值为______；若此不等式在$R$上恒成立,则实数$a$的取值范围为______。
答案
$-1$ $\{ a|-\frac {3}{4}\lt a≤0\} $ 由题意,得$-3$和$-1$是方程$ax^{2}+4ax-3=0$的两个根,且$a＜0$,所以$(-3)×(-1)=-\frac {3}{a}$,解得$a=-1$.
因为不等式$ax^{2}+4ax-3＜0$在$\mathbf{R}$上恒成立,所以当$a=0$时,得$-3＜0$,符合题意;当$a≠0$时,则$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ \Delta =16a^{2}+12a＜0,\end{array}\right. $解得$-\frac {3}{4}\lt a＜0$.
综上,实数$a$的取值范围为$\{ a|-\frac {3}{4}\lt a≤0\} $.
因为不等式$ax^{2}+4ax-3＜0$在$\mathbf{R}$上恒成立,所以当$a=0$时,得$-3＜0$,符合题意;当$a≠0$时,则$\left\{\begin{array}{l} a＜0,\\ \Delta =16a^{2}+12a＜0,\end{array}\right. $解得$-\frac {3}{4}\lt a＜0$.
综上,实数$a$的取值范围为$\{ a|-\frac {3}{4}\lt a≤0\} $.
