10.(西宁中考)若点$A(m,n)在直线y= kx(k≠0)$上,当$-1≤m≤1$时,$-1≤n≤1$,则这条直线的函数表达式为____.

y = x 或 y = -x 解析：∵ 点 A(m, n) 在直线 y = kx(k ≠ 0) 上，且当 -1 ≤ m ≤ 1 时，-1 ≤ n ≤ 1，∴ 点 (-1, -1) 或 (-1, 1) 在该直线上，∴ k = 1 或 -1，∴ 这条直线的函数表达式为 y = x 或 y = -x。

11.(2025·三明期中)如图,将$6×6$的正方形网格放置在平面直角坐标系中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD的顶点都在格点上,若直线$y= kx(k≠0)$与正方形ABCD有公共点,则整数k的值为____.

1 或 2 或 3 解析：由题意得点 A 的坐标为 (1, 3)，点 C 的坐标为 (2, 2)。∵ 当正比例函数的图象经过点 A 时，k = 3，当经过点 C 时，k = 1，∴ 若直线 y = kx(k ≠ 0) 与正方形 ABCD 有公共点，则 k 的取值范围是 1 ≤ k ≤ 3，则整数 k 的值为 1 或 2 或 3。

12.如图,点$A(\frac {1}{2},2)在正比例函数y= mx$的图象上,点$B(\frac {3}{2},n)在正比例函数y= \frac {2}{3}x$的图象上.
(1)求m,n的值;
(2)在x轴上找一点P,使得$PA+PB$的值最小,请求出$PA+PB$的最小值.

(1) ∵ 点 A(1/2, 2) 在正比例函数 y = mx 的图象上，点 B(3/2, n) 在正比例函数 y = 2/3x 的图象上，∴ 2 = m × 1/2，n = 2/3 × 3/2，∴ m = 4，n = 1。
(2) 如图，作点 A(1/2, 2) 关于 x 轴对称的点 A'(1/2, -2)，连接 A'B，交 x 轴于点 P，此时 PA + PB 的值最小，PA + PB = PA' + PB = A'B。过点 A'作 A'H//x 轴，过点 B 作 BH//y 轴，A'H 和 BH 相交于点 H，

∴ A'H = 1，BH = 3。在 Rt△A'HB 中，∠H = 90°，则 A'B = √(A'H² + BH²) = √(1² + 3²) = √10，∴ PA + PB 的最小值为 √10。

13.新考法(2024·吉林模拟)如图是某函数的图象,当$a≤x≤b$时,若在该函数图象上可以找到n个不同的点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),... ,(x_{n},y_{n})$,使得$\frac {x_{1}}{y_{1}}= \frac {x_{2}}{y_{2}}= ... =\frac {x_{n}}{y_{n}}$恒成立,则n的值不可能是 ()
A.2
B.5
C.6
D.7

D 解析：设 x1/y1 = x2/y2 = … = xn/yn = k(k ≠ 0)，则在该函数图象上有 n 个不同的点 (x1, y1)，(x2, y2)，…，(xn, yn) 在 y = 1/kx 的图象上，画出函数图象观察交点即可求解。
如图①，正比例函数图象与该函数图象有 2 个交点，故 A 不符合；

如图②，正比例函数图象与该函数图象有 5 个交点，故 B 不符合；
如图③，正比例函数图象与该函数图象有 6 个交点，故 C 不符合。故选 D。

14.(2025·上海期中)如图,点$P(1,a)在直线y= 3x$上,直线$y= kx(0＜k＜1)上有一点Q(b,1).$
(1)求点P和点Q的坐标(其中点Q的坐标用含k的代数式表示).
(2)过点P作$PA⊥x$轴,过点Q作$QB⊥x$轴,垂足分别是A,B.如果$△APQ的面积是△OPQ面积的\frac {3}{4}$,请求出k的值.
(3)在(2)的条件下,线段PA与直线$y= kx$相交于点G,直线$y= 3x$上是否存在点D,使$S_{△ODG}= \frac {1}{2}S_{△OPG}$?如果存在,请直接写出D的坐标;如果不存在,请说明理由.

(1) ∵ 点 P(1, a) 在直线 y = 3x 上，∴ a = 3，即 P(1, 3)。∵ 直线 y = kx(0 ＜ k ＜ 1) 上有一点 Q(b, 1)，∴ bk = 1，解得 b = 1/k，∴ Q(1/k, 1)。
(2) 由题意知，A(1, 0)，B(1/k, 0)，∴ S△APQ = 1/2 × 3 × (1/k - 1)，∴ S△OPQ = S△AOP + S△APQ + S△ABQ - S△BOQ = 1/2 × 1 × 3 + 1/2 × 3 × (1/k - 1) + 1/2 × (1/k - 1) × 1 - 1/2 × 1/k × 1 = 3/2k - 1/2。∵ △APQ 的面积是 △OPQ 面积的 3/4，∴ 1/2 × 3 × (1/k - 1) = (3/2k - 1/2) × 3/4，可得 1/k = 3，∴ k = 1/3。
(3) 存在。点 D 的坐标为 (1/2, 3/2) 或 (-1/2, -3/2)。解析：设 D(m, 3m)，当 D 在第一象限时，如图，∵ S△ODG = 1/2S△OPG，∴ OD = 1/2OP，∴ 点 D 是 OP 的中点，∴ D(1/2, 3/2)；当 D 在第三象限时，如图中点 D'，由题意知 OD = OD'，∴ D'(-1/2, -3/2)。综上所述，D 的坐标为 (1/2, 3/2) 或 (-1/2, -3/2)。

归纳总结
中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点 A，B 的坐标分别为 (x1, y1)，(x2, y2)，点 C 为 AB 中点，则点 C 的坐标可表示为 ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)（可利用垂线辅助线结合全等三角形的知识证明）。