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7. 解三元一次方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4, &① \\ 2x - y - z = 12, &② \\ x + y + 2z = 6 &③\end{cases}$时，若先消去$z$，组成关于$x$，$y$的方程组，则对方程组进行的变形可以是( )
A.①$-$②，②$+$③
B.①$×2 +$③，②$×2 +$③
C.①$+$②，②$×2 +$③
D.①$+$③，②$+$③
A.①$-$②，②$+$③
B.①$×2 +$③，②$×2 +$③
C.①$+$②，②$×2 +$③
D.①$+$③，②$+$③
答案
7. C
解析
①+②得：$5x - 2y = 16$，
②×2+③得：$5x - y = 30$，
组成关于$x$，$y$的方程组，
故选C.
②×2+③得：$5x - y = 30$，
组成关于$x$，$y$的方程组，
故选C.
8. (2025·姑苏区期中)已知$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 2, \\ by + cz = 3, \\ cx + az = 7\end{cases}$的解，则$a + b + c$的值是( )
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.无法确定
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.无法确定
答案
8. A
解析
将$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2, \\ z = 3\end{cases}$代入方程组得：
$\begin{cases}a × 1 + b × 2 = 2 \\b × 2 + c × 3 = 3 \\c × 1 + a × 3 = 7\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + 2b = 2 \quad (1) \\2b + 3c = 3 \quad (2) \\3a + c = 7 \quad (3)\end{cases}$
由$(3)$得$c = 7 - 3a$，代入$(2)$：$2b + 3(7 - 3a) = 3$，即$2b - 9a = -18\quad (4)$
$(1)$式为$a + 2b = 2$，$(4) - (1)$：$-10a = -20$，解得$a = 2$
将$a = 2$代入$(1)$：$2 + 2b = 2$，解得$b = 0$
将$a = 2$代入$(3)$：$3×2 + c = 7$，解得$c = 1$
则$a + b + c = 2 + 0 + 1 = 3$
A
$\begin{cases}a × 1 + b × 2 = 2 \\b × 2 + c × 3 = 3 \\c × 1 + a × 3 = 7\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}a + 2b = 2 \quad (1) \\2b + 3c = 3 \quad (2) \\3a + c = 7 \quad (3)\end{cases}$
由$(3)$得$c = 7 - 3a$，代入$(2)$：$2b + 3(7 - 3a) = 3$，即$2b - 9a = -18\quad (4)$
$(1)$式为$a + 2b = 2$，$(4) - (1)$：$-10a = -20$，解得$a = 2$
将$a = 2$代入$(1)$：$2 + 2b = 2$，解得$b = 0$
将$a = 2$代入$(3)$：$3×2 + c = 7$，解得$c = 1$
则$a + b + c = 2 + 0 + 1 = 3$
A
9. (1)已知$a:b:c = 2:3:4$，$a + b + c = 27$，则$a - 2b - 3c =$
(2)(江都区期末)已知等式$y = ax^2 + bx + c$，当$x = -1$时，$y = 9$；当$x = 1$时，$y = 5$，则$a + c$的值为
-48
；(2)(江都区期末)已知等式$y = ax^2 + bx + c$，当$x = -1$时，$y = 9$；当$x = 1$时，$y = 5$，则$a + c$的值为
7
.答案
9. (1) -48 (2) 7
解析
(1)设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，则$2k + 3k + 4k = 27$，$9k = 27$，$k = 3$，所以$a = 6$，$b = 9$，$c = 12$，$a - 2b - 3c = 6 - 2×9 - 3×12 = 6 - 18 - 36 = -48$；
(2)当$x = -1$时，$y = a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c = 9$；当$x = 1$时，$y = a×1^2 + b×1 + c = a + b + c = 5$，两式相加得$2a + 2c = 14$，所以$a + c = 7$。
(2)当$x = -1$时，$y = a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c = 9$；当$x = 1$时，$y = a×1^2 + b×1 + c = a + b + c = 5$，两式相加得$2a + 2c = 14$，所以$a + c = 7$。
10. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x - y + z = 3, \\ 2x + y - 3z = 11, \\ x + y + z = 12;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13, \\ 2x + 7y - 3z = 19, \\ 3x + 2y - z = 18.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}3x - y + z = 3, \\ 2x + y - 3z = 11, \\ x + y + z = 12;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13, \\ 2x + 7y - 3z = 19, \\ 3x + 2y - z = 18.\end{cases}$
答案
10. 解：(1) $\begin{cases}3x - y + z = 3, &①\\2x + y - 3z = 11, &②\\x + y + z = 12, &③\end{cases}$
① + ②，得 $5x - 2z = 14$. ④
① + ③，得 $4x + 2z = 15$. ⑤
④ + ⑤，得 $9x = 29$，解得 $x = \frac{29}{9}$.
把 $x = \frac{29}{9}$ 代入④，得 $5×\frac{29}{9} - 2z = 14$，解得 $z = \frac{19}{18}$.
把 $x = \frac{29}{9}$，$z = \frac{19}{18}$ 代入③，得 $\frac{29}{9} + y + \frac{19}{18} = 12$，
解得 $y = \frac{139}{18}$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = \frac{29}{9},\\y = \frac{139}{18},\\z = \frac{19}{18}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13, &①\\2x + 7y - 3z = 19, &②\\3x + 2y - z = 18, &③\end{cases}$
① + ③×4，得 $17x + 4y = 85$. ④
①×3 + ②×4，得 $23x + 16y = 115$. ⑤
④×4 - ⑤，得 $45x = 225$，解得 $x = 5$.
把 $x = 5$ 代入④，得 $85 + 4y = 85$，解得 $y = 0$.
把 $x = 5$，$y = 0$ 代入①，得 $25 + 4z = 13$，解得 $z = -3$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 5,\\y = 0,\\z = -3.\end{cases}$
① + ②，得 $5x - 2z = 14$. ④
① + ③，得 $4x + 2z = 15$. ⑤
④ + ⑤，得 $9x = 29$，解得 $x = \frac{29}{9}$.
把 $x = \frac{29}{9}$ 代入④，得 $5×\frac{29}{9} - 2z = 14$，解得 $z = \frac{19}{18}$.
把 $x = \frac{29}{9}$，$z = \frac{19}{18}$ 代入③，得 $\frac{29}{9} + y + \frac{19}{18} = 12$，
解得 $y = \frac{139}{18}$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = \frac{29}{9},\\y = \frac{139}{18},\\z = \frac{19}{18}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x - 4y + 4z = 13, &①\\2x + 7y - 3z = 19, &②\\3x + 2y - z = 18, &③\end{cases}$
① + ③×4，得 $17x + 4y = 85$. ④
①×3 + ②×4，得 $23x + 16y = 115$. ⑤
④×4 - ⑤，得 $45x = 225$，解得 $x = 5$.
把 $x = 5$ 代入④，得 $85 + 4y = 85$，解得 $y = 0$.
把 $x = 5$，$y = 0$ 代入①，得 $25 + 4z = 13$，解得 $z = -3$.
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = 5,\\y = 0,\\z = -3.\end{cases}$
11. (海安期末)在等式$y = ax^2 + bx + c$中，当$x = 0$时，$y = -5$；当$x = 2$时，$y = 3$；当$x = -2$时，$y = 11$.
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)小苏发现：当$x = -1$或$x = \dfrac{5}{3}$时，$y$的值相等. 小苏的发现是否正确？请说明理由.
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)小苏发现：当$x = -1$或$x = \dfrac{5}{3}$时，$y$的值相等. 小苏的发现是否正确？请说明理由.
答案
11. 解：(1) 根据题意，得 $\begin{cases}c = -5, &①\\4a + 2b + c = 3, &②\\4a - 2b + c = 11. &③\end{cases}$
② - ③，得 $4b = -8$，解得 $b = -2$.
把 $b = -2$，$c = -5$ 代入②，得 $4a - 4 - 5 = 3$，
解得 $a = 3$.
因此 $\begin{cases}a = 3,\\b = -2,\\c = -5.\end{cases}$
(2) 小苏的发现是正确的. 理由如下：
由(1)可知等式为 $y = 3x^2 - 2x - 5$.
当 $x = -1$ 时，$y = 3 + 2 - 5 = 0$；
当 $x = \frac{5}{3}$ 时，$y = \frac{25}{3} - \frac{10}{3} - 5 = 0$，
所以当 $x = -1$ 或 $x = \frac{5}{3}$ 时，$y$ 的值相等.
② - ③，得 $4b = -8$，解得 $b = -2$.
把 $b = -2$，$c = -5$ 代入②，得 $4a - 4 - 5 = 3$，
解得 $a = 3$.
因此 $\begin{cases}a = 3,\\b = -2,\\c = -5.\end{cases}$
(2) 小苏的发现是正确的. 理由如下：
由(1)可知等式为 $y = 3x^2 - 2x - 5$.
当 $x = -1$ 时，$y = 3 + 2 - 5 = 0$；
当 $x = \frac{5}{3}$ 时，$y = \frac{25}{3} - \frac{10}{3} - 5 = 0$，
所以当 $x = -1$ 或 $x = \frac{5}{3}$ 时，$y$ 的值相等.
