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三、解答题(共45分)
12 计算：
(1)$4a^3 + a^2 - a^3 - a^2$.
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2} + 3x) - (x - x^2 + 1)$.
12 计算：
(1)$4a^3 + a^2 - a^3 - a^2$.
(2)$2(x^2 - \frac{1}{2} + 3x) - (x - x^2 + 1)$.
答案
12.【解】(1)$4a^3+a^2-a^3-a^2=(4-1)a^3=3a^3$.
(2)$2(x^2-\frac{1}{2}+3x)-(x-x^2+1)=2x^2-1+6x-x+x^2-1=3x^2+5x-2$.
(2)$2(x^2-\frac{1}{2}+3x)-(x-x^2+1)=2x^2-1+6x-x+x^2-1=3x^2+5x-2$.
13[2025浙江金华期末]小明在数学探究活动中遇到这样一个问题:$A,B$分别表示两个多项式,且满足$A+B=2x^2-3x+7$.
(1)若当$x=-2$时,$B$的值为12,求此时$A$的值.
(2)若$B=-x^2-8x+1$,当$x=\frac{1}{3}$时,求$A$的值.
(1)若当$x=-2$时,$B$的值为12,求此时$A$的值.
(2)若$B=-x^2-8x+1$,当$x=\frac{1}{3}$时,求$A$的值.
答案
13.【解】(1)当$x=-2$时,$A+B=2×(-2)^2-3×(-2)+7=21$. 因为$B$的值为12,所以此时$A$的值为$21-12=9$.
(2)$A=2x^2-3x+7-(-x^2-8x+1)=3x^2+5x+6$,所以当$x=\frac{1}{3}$时,$A=3×(\frac{1}{3})^2+5×\frac{1}{3}+6=8$.
(2)$A=2x^2-3x+7-(-x^2-8x+1)=3x^2+5x+6$,所以当$x=\frac{1}{3}$时,$A=3×(\frac{1}{3})^2+5×\frac{1}{3}+6=8$.
14 如图,长为 y,宽为 x 的大长方形被分割成7部分,除阴影图形 A,B 外,其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形 C,其中小长方形 C 的宽为4.
(1)计算小长方形 C 的周长(用含 y 的代数式表示).
(2)小明发现阴影图形 A 与阴影图形 B 的周长之和与 y 值无关,请你通过计算对他的发现做出合理解释.
(1)计算小长方形 C 的周长(用含 y 的代数式表示).
(2)小明发现阴影图形 A 与阴影图形 B 的周长之和与 y 值无关,请你通过计算对他的发现做出合理解释.
答案
14.【解】(1)因为小长方形C的宽为4,所以小长方形C的长为$y-12$,所以小长方形C的周长为$2×(y-12+4)=2y-16$.
(2)由题图可知,阴影图形A的较长边长为$y-12$,较短边长为$x-8$,阴影图形B的较长边长为12,较短边长为$x-(y-12)=x-y+12$,所以阴影图形A和阴影图形B的周长之和为$2(y-12+x-8)+2(12+x-y+12)=2y-40+2x+48+2x-2y=4x+8$,所以阴影图形A与阴影图形B的周长之和与$y$值无关.
15 新考向跨学科综合 [2026河南郑州质检]“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳.”从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗.在数学中也有这样的一类数.一个自然数
各个数位上的数字颠倒过来得到的新数与原数相等，这样的数称为“回文数”，如121与1 221均为“回文数”.“回文数”与其各个数位上的数字之和的差值称为“回自差”，如121的“回自差”为$121-(1+2+1)=117$.
(1)请你直接写出最小的三位“回文数”，并求其“回自差”.
(2)任意三位“回文数”的“回自差”最大能被哪个正整数整除？请你说明理由.
(3)任意四位“回文数”的“回自差”最大能被正整数
各个数位上的数字颠倒过来得到的新数与原数相等，这样的数称为“回文数”，如121与1 221均为“回文数”.“回文数”与其各个数位上的数字之和的差值称为“回自差”，如121的“回自差”为$121-(1+2+1)=117$.
(1)请你直接写出最小的三位“回文数”，并求其“回自差”.
(2)任意三位“回文数”的“回自差”最大能被哪个正整数整除？请你说明理由.
(3)任意四位“回文数”的“回自差”最大能被正整数
27
整除.答案
15.【解】(1)由题意可知最小的三位“回文数”是101,其“回自差”为$101-(1+0+1)=99$.
(2)任意三位“回文数”的“回自差”最大能被9整除. 理由如下:设一个三位“回文数”为$\overline{aba}(a≠0)$,其中$a,b$都为不超过9的自然数,则该三位“回文数”为$100a+10b+a=101a+10b$,其“回自差”为$101a+10b-(a+b+a)=9(11a+b)$. 因为$11a+b$是整数,所以该三位“回文数”的“回自差”一定是9的倍数,所以任意三位“回文数”的“回自差”最大能被9整除.
(3)设四位“回文数”的千位数字为$x$,百位数字为$y$,则该四位“回文数”为$1000x+100y+10y+x=1001x+110y$,所以该四位“回文数”的“回自差”为$1001x+110y-(x+y+y+x)=999x+108y=27(37x+4y)$. 因为$37x+4y$是整数,所以该四位“回文数”的“回自差”一定是27的倍数,所以任意四位“回文数”的“回自差”最大能被27整除. 故答案为27.
(2)任意三位“回文数”的“回自差”最大能被9整除. 理由如下:设一个三位“回文数”为$\overline{aba}(a≠0)$,其中$a,b$都为不超过9的自然数,则该三位“回文数”为$100a+10b+a=101a+10b$,其“回自差”为$101a+10b-(a+b+a)=9(11a+b)$. 因为$11a+b$是整数,所以该三位“回文数”的“回自差”一定是9的倍数,所以任意三位“回文数”的“回自差”最大能被9整除.
(3)设四位“回文数”的千位数字为$x$,百位数字为$y$,则该四位“回文数”为$1000x+100y+10y+x=1001x+110y$,所以该四位“回文数”的“回自差”为$1001x+110y-(x+y+y+x)=999x+108y=27(37x+4y)$. 因为$37x+4y$是整数,所以该四位“回文数”的“回自差”一定是27的倍数,所以任意四位“回文数”的“回自差”最大能被27整除. 故答案为27.
16[2026北京东城区期中]某文具厂生产一种笔记本和笔，笔记本每本定价20元，笔每支定价4元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案.方案一:买1本笔记本送1支笔;方案二:笔记本和笔都按定价的90%付款.现某客户要到该文具厂购买笔记本30本,笔x支.
(1)若该客户按方案一购买:
①当x≤30时,需付款
②当x＞30时,需付款
(2)若该客户按方案二购买,需付款
(3)当x=50时,
①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案更省钱？通过计算说明；
②该客户想用手机支付,但他手机上只剩673元,则该客户是否可以买下所需物品？请说明理由.
(1)若该客户按方案一购买:
①当x≤30时,需付款
600
元;②当x＞30时,需付款
$4x+480$
元(用含x的代数式表示,结果化为最简).(2)若该客户按方案二购买,需付款
$3.6x+540$
元(用含x的代数式表示,结果化为最简).(3)当x=50时,
①该客户应选择以上两种方案中的哪一种方案更省钱？通过计算说明；
②该客户想用手机支付,但他手机上只剩673元,则该客户是否可以买下所需物品？请说明理由.
答案
16.【解】(1)①当$x≤30$时,需付款$30×20=600$(元). 故答案为600.
②当$x＞30$时,需付款$30×20+4(x-30)=(4x+480)$元. 故答案为$(4x+480)$.
(2)若该客户按方案二购买,需付款$(30×20+4x)×90\%=(3.6x+540)$元. 故答案为$(3.6x+540)$.
(3)①选择方案一. 当$x=50$时,选择方案一需付款$4×50+480=680$(元),选择方案二需付款$540+3.6×50=720$(元). 因为680＜720,所以选择方案一更省钱.
②可以. 理由:选择方案一购买30本笔记本可送30支笔,需花费600元,再选择方案二购买20支笔,需花费$20×4×0.9=72$(元),所以购买笔记本30本,笔50支共需支付672元. 因为672＜673,所以该客户可以买下所需物品.
②当$x＞30$时,需付款$30×20+4(x-30)=(4x+480)$元. 故答案为$(4x+480)$.
(2)若该客户按方案二购买,需付款$(30×20+4x)×90\%=(3.6x+540)$元. 故答案为$(3.6x+540)$.
(3)①选择方案一. 当$x=50$时,选择方案一需付款$4×50+480=680$(元),选择方案二需付款$540+3.6×50=720$(元). 因为680＜720,所以选择方案一更省钱.
②可以. 理由:选择方案一购买30本笔记本可送30支笔,需花费600元,再选择方案二购买20支笔,需花费$20×4×0.9=72$(元),所以购买笔记本30本,笔50支共需支付672元. 因为672＜673,所以该客户可以买下所需物品.
