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1.用直接开平方法解方程：
(1)「2026吉林长春月考」$(x+3)^2 -121=0.$
(2)「2026吉林长春月考」$3(2x-6)^2=18.$
(3)$(x-1)^2=(2x+3)^2.$
(1)「2026吉林长春月考」$(x+3)^2 -121=0.$
(2)「2026吉林长春月考」$3(2x-6)^2=18.$
(3)$(x-1)^2=(2x+3)^2.$
答案
(1)移项,得$(x+3)^2 = 121$,
两边开平方,得$x+3 = \pm11$,
$\therefore x_1=8,x_2=-14$.
(2)两边都除以3,得$(2x-6)^2=6$,
两边开平方,得$2x-6=\pm\sqrt{6}$,
$\therefore x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$.
(3)两边开平方,得$x-1=\pm(2x+3)$,
即$x-1=2x+3$ 或 $x-1=-2x-3$,
$\therefore x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$.
两边开平方,得$x+3 = \pm11$,
$\therefore x_1=8,x_2=-14$.
(2)两边都除以3,得$(2x-6)^2=6$,
两边开平方,得$2x-6=\pm\sqrt{6}$,
$\therefore x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$.
(3)两边开平方,得$x-1=\pm(2x+3)$,
即$x-1=2x+3$ 或 $x-1=-2x-3$,
$\therefore x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的解。各小题的具体思考方向：(1)先移项把常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式再开平方；(2)先给方程两边除以完全平方式的系数，将系数化为1后再开平方；(3)等号两侧都是完全平方式，可直接开平方，注意右侧要带正负号，转化为两个一元一次方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)移项，得$(x+3)^2 = 121$，
两边开平方，得$x+3 = \pm11$，
即$x+3=11$或$x+3=-11$，
$\therefore x_1=8,x_2=-14$。
(2)两边都除以3，得$(2x-6)^2=6$，
两边开平方，得$2x-6=\pm\sqrt{6}$，
即$2x-6=\sqrt{6}$或$2x-6=-\sqrt{6}$，
$\therefore x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
(3)两边开平方，得$x-1=\pm(2x+3)$，
即$x-1=2x+3$ 或 $x-1=-2x-3$，
分别解两个一元一次方程，得$x=-4$或$x=-\frac{2}{3}$，
$\therefore x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=8,x_2=-14$
(2)$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$
(3)$x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方根的性质、一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法的三类常见考型，解题时要注意先将方程整理为符合直接开平方要求的形式，开平方时不要遗漏负号的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
直接开平方法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的性质把二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的解。各小题的具体思考方向：(1)先移项把常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式再开平方；(2)先给方程两边除以完全平方式的系数，将系数化为1后再开平方；(3)等号两侧都是完全平方式，可直接开平方，注意右侧要带正负号，转化为两个一元一次方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)移项，得$(x+3)^2 = 121$，
两边开平方，得$x+3 = \pm11$，
即$x+3=11$或$x+3=-11$，
$\therefore x_1=8,x_2=-14$。
(2)两边都除以3，得$(2x-6)^2=6$，
两边开平方，得$2x-6=\pm\sqrt{6}$，
即$2x-6=\sqrt{6}$或$2x-6=-\sqrt{6}$，
$\therefore x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
(3)两边开平方，得$x-1=\pm(2x+3)$，
即$x-1=2x+3$ 或 $x-1=-2x-3$，
分别解两个一元一次方程，得$x=-4$或$x=-\frac{2}{3}$，
$\therefore x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=8,x_2=-14$
(2)$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$
(3)$x_1=-4,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方根的性质、一元一次方程解法
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法的三类常见考型，解题时要注意先将方程整理为符合直接开平方要求的形式，开平方时不要遗漏负号的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
2.用配方法解方程：
(1)「2026 山东菏泽期中」$x^2 -6x -11=0.$
(2)「2026 上海市北中学期末」$2x^2 -4x -3=0.$
(1)「2026 山东菏泽期中」$x^2 -6x -11=0.$
(2)「2026 上海市北中学期末」$2x^2 -4x -3=0.$
答案
(1)移项,得$x^2-6x=11$,
配方,得$x^2-6x+3^2=11+3^2$,
即$(x-3)^2=20$,
两边开平方,得$x-3=\pm2\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$.
(2)两边都除以2,得$x^2-2x-\frac{3}{2}=0$,
移项,得$x^2-2x=\frac{3}{2}$,
配方,得$x^2-2x+1=\frac{5}{2}$,
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$,
两边开平方,得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
配方,得$x^2-6x+3^2=11+3^2$,
即$(x-3)^2=20$,
两边开平方,得$x-3=\pm2\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$.
(2)两边都除以2,得$x^2-2x-\frac{3}{2}=0$,
移项,得$x^2-2x=\frac{3}{2}$,
配方,得$x^2-2x+1=\frac{5}{2}$,
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$,
两边开平方,得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，当$n≥0$时，通过开平方即可求出方程的根。解题步骤遵循：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经为1，直接按移项、配方、开平方的步骤求解即可；第(2)题二次项系数为2，需要先将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，再按后续步骤计算。
【解析】
(1)移项，得$x^2-6x=11$，
配方，得$x^2-6x+3^2=11+3^2$，
即$(x-3)^2=20$，
两边开平方，得$x-3=\pm2\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$.
(2)两边都除以2，得$x^2-2x-\frac{3}{2}=0$，
移项，得$x^2-2x=\frac{3}{2}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{5}{2}$，
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$，
两边开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
这两道题是配方法解一元二次方程的典型基础题，严格考察配方法的操作步骤，解题时需注意：二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免仅左侧加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，当$n≥0$时，通过开平方即可求出方程的根。解题步骤遵循：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；④开平方求解。
第(1)题二次项系数已经为1，直接按移项、配方、开平方的步骤求解即可；第(2)题二次项系数为2，需要先将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，再按后续步骤计算。
【解析】
(1)移项，得$x^2-6x=11$，
配方，得$x^2-6x+3^2=11+3^2$，
即$(x-3)^2=20$，
两边开平方，得$x-3=\pm2\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$.
(2)两边都除以2，得$x^2-2x-\frac{3}{2}=0$，
移项，得$x^2-2x=\frac{3}{2}$，
配方，得$x^2-2x+1=\frac{5}{2}$，
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$，
两边开平方，得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=3+2\sqrt{5},x_2=3-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
这两道题是配方法解一元二次方程的典型基础题，严格考察配方法的操作步骤，解题时需注意：二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，避免仅左侧加常数导致计算错误。
【难度系数】
0.8
3.用公式法解方程：
(1)「2026河北廊坊十中月考」$2x^2 -5x +2=0$
(2)「2026河南许昌期中」$x^2 - \sqrt{6}x +1=0$
(1)「2026河北廊坊十中月考」$2x^2 -5x +2=0$
(2)「2026河南许昌期中」$x^2 - \sqrt{6}x +1=0$
答案
(1)这里$a=2,b=-5,c=2$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$,
$\therefore x=\frac{5\pm3}{4}$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$.
(2)这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$,
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$,
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$,
$\therefore x=\frac{5\pm3}{4}$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$.
(2)这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$,
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$,
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：第一步先确认方程为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，注意要带上系数的符号；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则继续计算，若$\Delta＜0$则方程无实根；第三步若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出两个根，最后化简结果即可。本题两个小问的方程都已是一般形式，直接按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 -5x +2=0$，这里$a=2,b=-5,c=2$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$，
$\therefore x=\frac{5\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$。
(2) 对于方程$x^2 - \sqrt{6}x +1=0$，这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=1$，
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$，
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$；(2)$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
公式法解方程；根的判别式；求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查公式法的规范应用，解题时需注意准确识别系数的符号，先通过判别式确认根的存在性再代入求根公式计算，运算过程中要注意根式化简和符号处理，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：第一步先确认方程为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确找出对应系数$a$、$b$、$c$，注意要带上系数的符号；第二步计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则继续计算，若$\Delta＜0$则方程无实根；第三步若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出两个根，最后化简结果即可。本题两个小问的方程都已是一般形式，直接按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 -5x +2=0$，这里$a=2,b=-5,c=2$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×2×2=9＞0$，
$\therefore x=\frac{5\pm3}{4}$，
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$。
(2) 对于方程$x^2 - \sqrt{6}x +1=0$，这里$a=1,b=-\sqrt{6},c=1$，
$\therefore b^2-4ac=(-\sqrt{6})^2-4×1×1=2＞0$，
$\therefore x=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{2},x_2=2$；(2)$x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
公式法解方程；根的判别式；求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查公式法的规范应用，解题时需注意准确识别系数的符号，先通过判别式确认根的存在性再代入求根公式计算，运算过程中要注意根式化简和符号处理，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
4.用因式分解法解方程：
(1)「2026河北廊坊十中月考」$(x-3)^2 + 2x(x-3)=0.$
(2)$3x(x-2)-x+2=0.$
(3)「2026河南漯河月考」$9x^2 - (x-1)^2=0.$
(1)「2026河北廊坊十中月考」$(x-3)^2 + 2x(x-3)=0.$
(2)$3x(x-2)-x+2=0.$
(3)「2026河南漯河月考」$9x^2 - (x-1)^2=0.$
答案
(1)$\because (x-3)^2+2x(x-3)=0$,
$\therefore (x-3+2x)(x-3)=0$,
$\therefore x-3+2x=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)整理,得$3x(x-2)-(x-2)=0$,
$\therefore (x-2)(3x-1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $3x-1=0$,
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(3)$\because 9x^2-(x-1)^2=0$,
$\therefore [3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
$\therefore (3x+x-1)(3x-x+1)=0$,
$\therefore (4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$ 或 $2x+1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
$\therefore (x-3+2x)(x-3)=0$,
$\therefore x-3+2x=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)整理,得$3x(x-2)-(x-2)=0$,
$\therefore (x-2)(3x-1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $3x-1=0$,
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(3)$\because 9x^2-(x-1)^2=0$,
$\therefore [3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
$\therefore (3x+x-1)(3x-x+1)=0$,
$\therefore (4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$ 或 $2x+1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，据此可将一元二次方程转化为若干个一元一次方程求解。本题三个小题可根据方程结构选择对应因式分解方法：(1)方程两项均含有公因式$(x-3)$，直接提取公因式即可分解；(2)先将后两项整理为$-(x-2)$，即可提取公因式$(x-2)$分解；(3)方程左边为平方差结构，可利用平方差公式因式分解。
【解析】
(1)$\because (x-3)^2+2x(x-3)=0$,
$\therefore (x-3+2x)(x-3)=0$,
$\therefore x-3+2x=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)整理,得$3x(x-2)-(x-2)=0$,
$\therefore (x-2)(3x-1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $3x-1=0$,
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(3)$\because 9x^2-(x-1)^2=0$,
$\therefore [3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
$\therefore (3x+x-1)(3x-x+1)=0$,
$\therefore (4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$ 或 $2x+1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=3$；(2)$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$；(3)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的因式分解解法，解题时需先观察方程的结构特征，灵活选择提公因式或公式法进行因式分解，注意不要直接约去含未知数的公因式，避免出现漏根问题。
【难度系数】
0.85
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，据此可将一元二次方程转化为若干个一元一次方程求解。本题三个小题可根据方程结构选择对应因式分解方法：(1)方程两项均含有公因式$(x-3)$，直接提取公因式即可分解；(2)先将后两项整理为$-(x-2)$，即可提取公因式$(x-2)$分解；(3)方程左边为平方差结构，可利用平方差公式因式分解。
【解析】
(1)$\because (x-3)^2+2x(x-3)=0$,
$\therefore (x-3+2x)(x-3)=0$,
$\therefore x-3+2x=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=1,x_2=3$.
(2)整理,得$3x(x-2)-(x-2)=0$,
$\therefore (x-2)(3x-1)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $3x-1=0$,
解得$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$.
(3)$\because 9x^2-(x-1)^2=0$,
$\therefore [3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0$,
$\therefore (3x+x-1)(3x-x+1)=0$,
$\therefore (4x-1)(2x+1)=0$,
$\therefore 4x-1=0$ 或 $2x+1=0$,
解得$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=3$；(2)$x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$；(3)$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题重点考查一元二次方程的因式分解解法，解题时需先观察方程的结构特征，灵活选择提公因式或公式法进行因式分解，注意不要直接约去含未知数的公因式，避免出现漏根问题。
【难度系数】
0.85
