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1 二次函数$y=5x^2+1$的图象大致是 (
C
) 答案
1.C 【解析】
∵二次函数$y=5x^2+1$，$a=5＞0$，
∴图象的开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点坐标是$(0,1)$.故选C.
∵二次函数$y=5x^2+1$，$a=5＞0$，
∴图象的开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点坐标是$(0,1)$.故选C.
2[2026 四川泸州期中]关于以下四个函数$y=-x^2,y=-\frac{1}{3}x^2,y=2x^2,y=x^2+1$的共同点,下列说法正确的是 (
A.图象的开口向上
B.图象的对称轴是$y$轴
C.有最大值
D.$y$随$x$增大而增大
B
)A.图象的开口向上
B.图象的对称轴是$y$轴
C.有最大值
D.$y$随$x$增大而增大
答案
2.B 【解析】A选项，$y=-x^2$和$y=-\frac{1}{3}x^2$中，$a＜0$，图象的开口向下，$y=2x^2$和$y=x^2+1$中，$a＞0$，图象的开口向上，不符合题意；B选项，四个函数图象的对称轴都是y轴，符合题意；C选项，$y=2x^2$和$y=x^2+1$中，$a＞0$，抛物线开口向上，有最小值，$y=-x^2$和$y=-\frac{1}{3}x^2$中，$a＜0$，抛物线开口向下，有最大值，不符合题意；D选项，$y=2x^2$和$y=x^2+1$中，$a＞0$，故当$x＞0$时，y随x增大而增大，当$x＜0$时，y随x增大而减小；$y=-x^2$和$y=-\frac{1}{3}x^2$中，$a＜0$，故当$x＞0$时，y随x增大而减小，当$x＜0$时，y随x增大而增大，不符合题意.故选B.
3 对于二次函数$y=2x^2 - 3$，当$-1 ≤ x ≤ 2$时，$y$的取值范围是 （
A.$-1 ≤ y ≤ 5$
B.$-5 ≤ y ≤ 5$
C.$-3 ≤ y ≤ 5$
D.$-2 ≤ y ≤ 5$
C
）A.$-1 ≤ y ≤ 5$
B.$-5 ≤ y ≤ 5$
C.$-3 ≤ y ≤ 5$
D.$-2 ≤ y ≤ 5$
答案
3.C 【解析】
∵二次函数的解析式为$y=2x^2-3$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$.
∵$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上.
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=0$时，y取得最小值-3，当$x=-1$时，$y=-1$，当$x=2$时，$y=5$，
∴当$-1≤x≤2$时，y的取值范围是$-3≤y≤5$，故选C.
∵二次函数的解析式为$y=2x^2-3$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$.
∵$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上.
∵$-1≤x≤2$，
∴当$x=0$时，y取得最小值-3，当$x=-1$时，$y=-1$，当$x=2$时，$y=5$，
∴当$-1≤x≤2$时，y的取值范围是$-3≤y≤5$，故选C.
4 新考向开放性试题 [2026福建福州期中]同时满足:①图象开口向下;②顶点坐标为(0,2)的一个二次函数的解析式为
$y=-x^2+2$(答案不唯一)
。答案
4.$y=-x^2+2$(答案不唯一) 【解析】
∵函数图象的顶点坐标为$(0,2)$，
∴该函数的解析式为$y=ax^2+2$.又
∵二次函数的图象开口向下，
∴$a＜0$，
∴这个二次函数的解析式可以为$y=-x^2+2$，故答案为$y=-x^2+2$(答案不唯一).
∵函数图象的顶点坐标为$(0,2)$，
∴该函数的解析式为$y=ax^2+2$.又
∵二次函数的图象开口向下，
∴$a＜0$，
∴这个二次函数的解析式可以为$y=-x^2+2$，故答案为$y=-x^2+2$(答案不唯一).
5[2026广东惠州期中]若点$P_1(-1,y_1),P_2(3,y_2),P_3(5,y_3)$均在二次函数$y=-2x^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1＞y_2＞y_3$
（用“＞”连接）。答案
5.$y_1＞y_2＞y_3$ 【解析】由解析式可知函数图象的开口向下，且对称轴为直线$x=0$，点$P_1(-1,y_1)$到对称轴的距离为$|-1|=1$，点$P_2(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3|=3$，点$P_3(5,y_3)$到对称轴的距离为$|5|=5$.
∵点$P_1(-1,y_1)$，$P_2(3,y_2)$，$P_3(5,y_3)$均在二次函数$y=-2x^2+c$的图象上，$1＜3＜5$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$，故答案为$y_1＞y_2＞y_3$.
∵点$P_1(-1,y_1)$，$P_2(3,y_2)$，$P_3(5,y_3)$均在二次函数$y=-2x^2+c$的图象上，$1＜3＜5$，
∴$y_1＞y_2＞y_3$，故答案为$y_1＞y_2＞y_3$.
6 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2 -1$上，下列说法中：①若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$；②若$x_1=-x_2$，则$y_1=y_2$；③若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$；④若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$。佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确。请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并说明理由。
答案
6.【解】佳佳的判断错误，李华的判断正确. 理由：如图所示，说法①，若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$；说法②，若$x_1=-x_2$，则$y_1=y_2$；说法③，若$0＜x_1＜x_2$，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则$y_1＜y_2$；说法④，若$x_1＜x_2＜0$，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则$y_1＞y_2$.故②④说法正确.
7 已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + (5 - m)x + m - 3 $ 与 y 轴交于点 C，与 x 轴正半轴交于点 A，与 x 轴负半轴交于点 B，且 $ OA = OB $。
(1) 求 m 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 求 $ △ ABC $ 的面积。
(1) 求 m 的值；
(2) 求抛物线的顶点坐标；
(3) 求 $ △ ABC $ 的面积。
答案
7.【解】(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$与x轴有两个交点A,B，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上，且$OA=OB$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$，
∴$5-m=0$，
∴$m=5$.
(2)
∵$m=5$，
∴$y=-\frac{1}{2}x^2+2$，
∴抛物线的顶点坐标是$(0,2)$.
(3)令$y=0$，即$-\frac{1}{2}x^2+2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，
∴$A(2,0)$，$B(-2,0)$，
∴$AB=4$.又
∵易得$C(0,2)$，
∴$OC=2$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×4×2=4$.
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(5-m)x+m-3$与x轴有两个交点A,B，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上，且$OA=OB$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=0$，
∴$5-m=0$，
∴$m=5$.
(2)
∵$m=5$，
∴$y=-\frac{1}{2}x^2+2$，
∴抛物线的顶点坐标是$(0,2)$.
(3)令$y=0$，即$-\frac{1}{2}x^2+2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$，
∴$A(2,0)$，$B(-2,0)$，
∴$AB=4$.又
∵易得$C(0,2)$，
∴$OC=2$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×4×2=4$.
8 [2026 江苏无锡期中]把抛物线$y=x^2 -1$向上平移3个单位可得抛物线（
A.$y=x^2 +3$
B.$y=(x+3)^2 -1$
C.$y=x^2 +2$
D.$y=(x-3)^2 -1$
C
）A.$y=x^2 +3$
B.$y=(x+3)^2 -1$
C.$y=x^2 +2$
D.$y=(x-3)^2 -1$
答案
8.C 【解析】由题知，把抛物线$y=x^2-1$向上平移3个单位可得抛物线$y=x^2-1+3=x^2+2$.故选C.
9[2026陕西商洛期中]将二次函数$y=x^2 -4$的图象向上平移$m$个单位长度，使其经过点$(-1,3)$，则$m$的值为（
A.7
B.6
C.5
D.4
B
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
9.B 【解析】
∵将二次函数$y=x^2-4$的图象向上平移m个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为$y=x^2-4+m$.将点$(-1,3)$代入$y=x^2-4+m$得，$3=(-1)^2-4+m$，即$3=1-4+m$，
∴$m=6$，故选B.
∵将二次函数$y=x^2-4$的图象向上平移m个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为$y=x^2-4+m$.将点$(-1,3)$代入$y=x^2-4+m$得，$3=(-1)^2-4+m$，即$3=1-4+m$，
∴$m=6$，故选B.
10[2025广西玉林期末]如图,已知抛物线$y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + 4(-2≤ x≤2)$,将抛物线$y_1$向下平移2个单位长度后得到抛物线$y_2$,则图中阴影部分的面积$S=$
8
。答案
10.8 【解析】根据题意知，题图中阴影部分的面积可以转化成矩形的面积，且矩形的长为4，宽为2，
∴$S=2×4=8$.故答案为8.
∴$S=2×4=8$.故答案为8.
