11.如图,二次函数$y=(x-2)^2+m$的图象与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图象的对称轴的对称点,已知一次函数$y=kx+b$的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式.
(2)抛物线上是否存在一点P,使$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

11.解:(1)将$(1,0)$代入$y=(x-2)^2+m$,
得$(1-2)^2+m=0$,解得$m=-1$,
$\therefore$二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$.
当$x=0$时,$y=4-1=3$,$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$.
$\because$点$C$和点$B$关于对称轴对称,而抛物线的对称轴为直线$x=2$,$\therefore$点$B$的坐标为$(4,3)$.
将$(1,0)$,$(4,3)$代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} k+b=0, \\ 4k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=-1, \end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y=x-1$.
(2)存在点$P$.
$\because$二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$,
$\therefore$可设点$P(a,a^2-4a+3)$.
$\because S_{△ ABP}=S_{△ ABC}$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· OC=\frac{1}{2}×4×3=6$,
$\therefore S_{△ ABP}=6$.
如答图①,当点$P$在直线$AB$下方时,过点$P$作$PE⊥ x$轴,交$AB$于点$E$,$\therefore E(a,a-1)$,$\therefore PE=-a^2+5a-4$,
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×(-a^2+5a-4)×3=6$,此方程无解.
如答图②,当点$P$在直线$AB$上方时,过点$C$作直线$CP// AB$,交抛物线于点$P$,则点$P$为所求点.
$\because CP// AB$,$\therefore$直线$CP$的函数解析式为$y=x+3$,
$\therefore a+3=a^2-4a+3$,解得$a=0$(舍去)或$a=5$,
又$a+3=8$,故点$P$的坐标为$(5,8)$.

12.(2025·通州期末)已知平面直角坐标系$xOy$中，二次函数$y=(x-t)^2 -1$的图象交$y$轴于点$P$.
(1)若将点$P$向右平移4个单位长度，再次落在该函数的图象上，则$t$的值为；
(2)在(1)的条件下，若点$(m,y_1)$，$(m+3,y_2)$均在该函数的图象上，且$y_1 ＜ y_2$，求$m$的取值范围；
(3)当$1≤ x≤3$时，这个二次函数的最小值为3，求$t$的值.

12.(1)2
(2)解:$\because$点$(m,y_1)$,$(m+3,y_2)$在二次函数$y=(x-2)^2-1$的图象上,
$\therefore y_1=(m-2)^2-1=m^2-4m+3$,
$y_2=(m+3-2)^2-1=m^2+2m$.
$\because y_1＜y_2$,$\therefore m^2-4m+3＜m^2+2m$,解得$m＞\frac{1}{2}$.
(3)解:由题意,分以下3种情况讨论:
①当$t＜1$时,二次函数$y=(x-t)^2-1$在$1≤ x≤3$的范围内$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=1$时,$y$的最小值为3,
$\therefore(1-t)^2-1=3$,
解得$t=-1$或$t=3$(舍去).
②当$1≤ t≤3$时,二次函数的最小值为$-1$,不合题意,舍去.
③当$t＞3$时,二次函数$y=(x-t)^2-1$在$1≤ x≤3$的范围内$y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$当$x=3$时,$y$的最小值为3,
$\therefore(3-t)^2-1=3$,解得$t=1$(舍去)或$t=5$.
综上可知,$t$的值为$-1$或$5$.

13.如图,在平面直角坐标系中,点$O(0,0),A(-5,0),B(2,1)$,抛物线$l:y=-(x-h)^2+1$($h$为常数)与$y$轴的交点为$C$.
(1)若抛物线$l$经过点$B$,求它的函数解析式,并写出此时抛物线$l$的对称轴及顶点坐标;
(2)设点$C$的纵坐标为$y_C$,求$y_C$的最大值,此时抛物线$l$上有两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,其中$x_1＞x_2≥0$,比较$y_1$与$y_2$的大小;
(3)当线段$OA$被抛物线$l$分为两部分,且这两部分的比是$1:4$时,求$h$的值.

13.解:(1)把$B(2,1)$代入$y=-(x-h)^2+1$,得$h=2$,
$\therefore$抛物线$l$的函数解析式为$y=-(x-2)^2+1$,
$\therefore$对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,1)$.
(2)$\because$点$C$的横坐标为0,$\therefore y_C=-h^2+1$,
$\therefore$当$h=0$时,$y_C$有最大值1,
此时,抛物线$l$的函数解析式为$y=-x^2+1$,对称轴为$y$轴,
当$x≥0$时,$y$随着$x$的增大而减小,
$\therefore$当$x_1＞x_2≥0$时,$y_1＜y_2$.
(3)把线段$OA$分为$1:4$两部分的点是$(-1,0)$或$(-4,0)$,
把$x=-1$,$y=0$代入$y=-(x-h)^2+1$,得$0=-(-1-h)^2+1$,解得$h=0$或$h=-2$,
当$h=-2$时,线段$OA$被分为三部分,不符合题意,舍去.
把$x=-4$,$y=0$代入$y=-(x-h)^2+1$,
得$0=-(-4-h)^2+1$,解得$h=-5$或$h=-3$.
当$h=-3$时,线段$OA$被分为三部分,不符合题意,舍去.
综上可得,$h$的值为$0$或$-5$.