登录
1. 下列方程中是二元一次方程的是(
A.$xy=6$
B.$x+y=6z$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
D.$2x-3y=5$
D
)A.$xy=6$
B.$x+y=6z$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
D.$2x-3y=5$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①方程中仅含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③方程是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个条件即可排除，符合所有条件的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐个分析选项：
选项A：$xy=6$，其中$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程；
选项B：$x+y=6z$，方程中含有$x、y、z$共3个未知数，不满足“只含2个未知数”的要求，不属于二元一次方程；
选项C：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，分母中含有未知数$x、y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于二元一次方程；
选项D：$2x-3y=5$，含有$x、y$两个未知数，$x、y$所在项的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握二元一次方程的三个判定条件，排查选项时要注意区分“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，同时要能准确区分整式方程和分式方程，避免错选。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判定条件：①方程中仅含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③方程是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件排查，不符合任意一个条件即可排除，符合所有条件的就是正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，我们逐个分析选项：
选项A：$xy=6$，其中$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程；
选项B：$x+y=6z$，方程中含有$x、y、z$共3个未知数，不满足“只含2个未知数”的要求，不属于二元一次方程；
选项C：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，分母中含有未知数$x、y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，不属于二元一次方程；
选项D：$2x-3y=5$，含有$x、y$两个未知数，$x、y$所在项的次数都是1，且是整式方程，完全符合二元一次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握二元一次方程的三个判定条件，排查选项时要注意区分“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，同时要能准确区分整式方程和分式方程，避免错选。
【难度系数】
0.8
2. 方程$5x - 3y = 6$的解(
A.有无数个
B.无解
C.只有一个
D.只有两个
A
)A.有无数个
B.无解
C.只有一个
D.只有两个
答案
A
解析
【分析】
解题时首先判断方程的类型，该方程含有两个未知数x、y，且未知数的最高次数均为1，属于二元一次方程。我们可以从二元一次方程解的定义出发思考：只要能让方程左右两边相等的一对x、y的值都是方程的解，我们可以任意给x取一个值，都能计算出对应的y值，满足方程的x、y的组合有无数组，因此可以判断解的个数。
【解析】
方程$5x-3y=6$是二元一次方程，含有两个未知数，且未知数的最高次数为1。
对于二元一次方程，任意给定一个x的取值，代入方程后都能求出唯一对应的y值，这组x、y的值就满足方程，是方程的一组解。
例如：取x=0，代入方程得$0-3y=6$，解得$y=-2$，即$(0,-2)$是方程的一组解；取x=3，代入方程得$15-3y=6$，解得$y=3$，即$(3,3)$是方程的另一组解。
类似的解可以找到无数组，因此该方程有无数个解。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 二元一次方程的解的特征
【点评】
本题考查二元一次方程解的相关概念，属于基础题型，解题关键是明确二元一次方程的解不唯一，有无数组，注意不要和二元一次方程组的解的情况混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先判断方程的类型，该方程含有两个未知数x、y，且未知数的最高次数均为1，属于二元一次方程。我们可以从二元一次方程解的定义出发思考：只要能让方程左右两边相等的一对x、y的值都是方程的解，我们可以任意给x取一个值，都能计算出对应的y值，满足方程的x、y的组合有无数组，因此可以判断解的个数。
【解析】
方程$5x-3y=6$是二元一次方程，含有两个未知数，且未知数的最高次数为1。
对于二元一次方程，任意给定一个x的取值，代入方程后都能求出唯一对应的y值，这组x、y的值就满足方程，是方程的一组解。
例如：取x=0，代入方程得$0-3y=6$，解得$y=-2$，即$(0,-2)$是方程的一组解；取x=3，代入方程得$15-3y=6$，解得$y=3$，即$(3,3)$是方程的另一组解。
类似的解可以找到无数组，因此该方程有无数个解。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 二元一次方程的解的特征
【点评】
本题考查二元一次方程解的相关概念，属于基础题型，解题关键是明确二元一次方程的解不唯一，有无数组，注意不要和二元一次方程组的解的情况混淆。
【难度系数】
0.9
3. 方程$3x+y=9$的正整数解有(
A.1组
B.2组
C.3组
D.无数组
B
)A.1组
B.2组
C.3组
D.无数组
答案
B
解析
【分析】
要确定二元一次方程$3x+y=9$的正整数解，首先明确正整数解的定义：x、y均为大于0的整数。解题时先将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再根据正整数的要求列出不等式，求出其中一个未知数的取值范围，最后在范围内枚举整数取值，验证对应的另一个未知数是否为正整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：将方程$3x+y=9$变形，得$y=9-3x$。
∵ 方程的解为正整数，
∴ $x＞0$，$y＞0$，且x、y均为整数，
∴ $9-3x＞0$，解得$x＜3$。
结合x是正整数，x的可能取值为1、2：
当$x=1$时，$y=9-3×1=6$，符合正整数要求；
当$x=2$时，$y=9-3×2=3$，符合正整数要求；
当$x≥3$时，$y≤0$，不符合正整数要求。
因此该方程的正整数解共有2组。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解、正整数的定义
【点评】
本题是二元一次方程解的基础应用题，解题核心是通过正整数的要求限定未知数的取值范围，再逐一验证，需注意正整数不包含0，避免多算不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
要确定二元一次方程$3x+y=9$的正整数解，首先明确正整数解的定义：x、y均为大于0的整数。解题时先将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再根据正整数的要求列出不等式，求出其中一个未知数的取值范围，最后在范围内枚举整数取值，验证对应的另一个未知数是否为正整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：将方程$3x+y=9$变形，得$y=9-3x$。
∵ 方程的解为正整数，
∴ $x＞0$，$y＞0$，且x、y均为整数，
∴ $9-3x＞0$，解得$x＜3$。
结合x是正整数，x的可能取值为1、2：
当$x=1$时，$y=9-3×1=6$，符合正整数要求；
当$x=2$时，$y=9-3×2=3$，符合正整数要求；
当$x≥3$时，$y≤0$，不符合正整数要求。
因此该方程的正整数解共有2组。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解、正整数的定义
【点评】
本题是二元一次方程解的基础应用题，解题核心是通过正整数的要求限定未知数的取值范围，再逐一验证，需注意正整数不包含0，避免多算不符合要求的解。
【难度系数】
0.8
4. 下列方程组,不是二元一次方程组的是(
A.$\begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0 \\ x+y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=2 \\ x-z=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=2x-1 \\ x+y=0 \end{cases}$
C
)A.$\begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=0 \\ x+y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=2 \\ x-z=3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=2x-1 \\ x+y=0 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程组，首先回忆二元一次方程组的判定条件：① 方程组中一共只含有2个不同的未知数；② 每个方程中含未知数的项的次数都是1；③ 所有方程都是整式方程。解题时将四个选项逐一和判定条件对比，不符合条件的就是本题要选的答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
我们逐个分析选项：
A选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
B选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
C选项：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不满足“二元（共2个未知数）”的要求，不属于二元一次方程组，符合题意；
D选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住二元一次方程组“共2个未知数、未知数项的次数为1、整式方程”的特征，尤其要注意“二元”是指整个方程组总共的未知数个数，不是每个方程都必须包含两个未知数。
【难度系数】
0.9
要判断是否为二元一次方程组，首先回忆二元一次方程组的判定条件：① 方程组中一共只含有2个不同的未知数；② 每个方程中含未知数的项的次数都是1；③ 所有方程都是整式方程。解题时将四个选项逐一和判定条件对比，不符合条件的就是本题要选的答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
我们逐个分析选项：
A选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
B选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意；
C选项：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不满足“二元（共2个未知数）”的要求，不属于二元一次方程组，符合题意；
D选项：方程组共有x、y两个未知数，两个方程都是一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住二元一次方程组“共2个未知数、未知数项的次数为1、整式方程”的特征，尤其要注意“二元”是指整个方程组总共的未知数个数，不是每个方程都必须包含两个未知数。
【难度系数】
0.9
二、解答题
1. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 2 \\2x + 3y = m\end{cases}$的解中$y=1$，求对应的$x$的值及$m$的值。
1. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x - y = 2 \\2x + 3y = m\end{cases}$的解中$y=1$，求对应的$x$的值及$m$的值。
答案
x=3,m=9
解析
【分析】
解题思路：首先明确二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，已知解中y=1，我们可以先将y=1代入第一个不含参数m的方程，求出x的值，再将求出的x和已知的y代入第二个方程，即可计算出m的值。
【解析】
解：已知方程组的解中y=1，
第一步，将y=1代入方程$x-y=2$，得：
$x-1=2$
解得：$x=3$
第二步，将$x=3$，$y=1$代入方程$2x+3y=m$，得：
$m=2×3 + 3×1$
计算得：$m=6+3=9$
【答案】
x=3,m=9
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，已知解中y=1，我们可以先将y=1代入第一个不含参数m的方程，求出x的值，再将求出的x和已知的y代入第二个方程，即可计算出m的值。
【解析】
解：已知方程组的解中y=1，
第一步，将y=1代入方程$x-y=2$，得：
$x-1=2$
解得：$x=3$
第二步，将$x=3$，$y=1$代入方程$2x+3y=m$，得：
$m=2×3 + 3×1$
计算得：$m=6+3=9$
【答案】
x=3,m=9
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二元一次方程组解的含义的理解，掌握代入求值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 解下列方程组.
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 6 \\x - 3y = 2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x + 2y = 7 \\2x + y = 4\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x - 3y = 6 \\x - 3y = 2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x + 2y = 7 \\2x + y = 4\end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=\dfrac{2}{3} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=6 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=6 \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，解题核心是通过消元将二元方程组转化为一元一次方程求解。对于（1），观察到两个方程中y的系数相同，可直接用两个方程相减消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值；对于（2），观察到第二个方程中y的系数为1，可先将第二个方程两边同乘2，使两个方程中y的系数相同，再作差消去y，先求出x的值，再代入求y的值。
【解析】
（1）给方程组编号：
$\begin{cases}2x - 3y = 6&① \\x - 3y = 2&②\end{cases}$
用①-②，得：$(2x-3y)-(x-3y)=6-2$
化简得：$x=4$
把$x=4$代入②，得：$4 - 3y = 2$
解得$y=\dfrac{2}{3}$。
（2）给方程组编号：
$\begin{cases}5x + 2y = 7&① \\2x + y = 4&②\end{cases}$
将②×2，得：$4x + 2y = 8$ ③
用①-③，得：$(5x+2y)-(4x+2y)=7-8$
化简得：$x=-1$
把$x=-1$代入②，得：$2×(-1) + y = 4$
解得$y=6$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=\dfrac{2}{3} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=6 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查加减消元法的应用，解题时要先观察方程组中未知数的系数特点，选择简便的消元方法，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二元一次方程组的求解问题，解题核心是通过消元将二元方程组转化为一元一次方程求解。对于（1），观察到两个方程中y的系数相同，可直接用两个方程相减消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求出y的值；对于（2），观察到第二个方程中y的系数为1，可先将第二个方程两边同乘2，使两个方程中y的系数相同，再作差消去y，先求出x的值，再代入求y的值。
【解析】
（1）给方程组编号：
$\begin{cases}2x - 3y = 6&① \\x - 3y = 2&②\end{cases}$
用①-②，得：$(2x-3y)-(x-3y)=6-2$
化简得：$x=4$
把$x=4$代入②，得：$4 - 3y = 2$
解得$y=\dfrac{2}{3}$。
（2）给方程组编号：
$\begin{cases}5x + 2y = 7&① \\2x + y = 4&②\end{cases}$
将②×2，得：$4x + 2y = 8$ ③
用①-③，得：$(5x+2y)-(4x+2y)=7-8$
化简得：$x=-1$
把$x=-1$代入②，得：$2×(-1) + y = 4$
解得$y=6$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=4 \\ y=\dfrac{2}{3} \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=6 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查加减消元法的应用，解题时要先观察方程组中未知数的系数特点，选择简便的消元方法，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
