1.把多项式$4a^2 -4$分解因式，下列结果正确的是（）

A.$(2a+1)(2a-1)$
B.$4(a-1)^2$
C.$4(a+1)^2$
D.$4(a+1)(a-1)$

1.D

【分析】
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，优先提取公因式；第二步看提取公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式的形式，套用对应公式继续分解；第三步检查分解是否彻底，结果是否符合因式分解的要求。本题中先找多项式$4a^2 -4$的公因式，提取后再套用平方差公式分解，最后匹配选项即可。
【解析】
对多项式$4a^2 -4$分解因式：
第一步，提取公因式4：
$4a^2 -4 = 4(a^2 - 1)$
第二步，观察$a^2 -1$符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$的形式（其中$b=1$），套用公式继续分解：
$4(a^2 -1) = 4(a+1)(a-1)$
逐一验证选项：
A选项展开为$4a^2 -1$，与原式不符，错误；
B选项展开为$4a^2 -8a +4$，与原式不符，错误；
C选项展开为$4a^2 +8a +4$，与原式不符，错误；
D选项与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是牢记因式分解的先后顺序，提取公因式后要检查剩余部分是否能继续分解，保证分解结果彻底，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

2.多项式$2x^3 - 4x^2 + 2x$因式分解为 （）

A.$2x(x-1)^2$
B.$2x(x+1)^2$
C.$x(2x-1)^2$
D.$x(2x+1)^2$

2.A

【分析】
对多项式因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：第一步先观察多项式各项的公因式，有公因式先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合平方差或完全平方公式的特征，符合则套用公式继续分解；最后检查分解是否彻底。本题先提取公因式，再套用完全平方公式即可求解。
【解析】
第一步，提取公因式：观察多项式$2x^3 - 4x^2 + 2x$，各项都含有公因式$2x$，提取后得：
$2x^3 - 4x^2 + 2x = 2x(x^2 - 2x + 1)$
第二步，套用完全平方公式：剩余的$x^2 - 2x + 1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a=x$，$b=1$，因此：
$x^2 - 2x +1=(x-1)^2$
综上，原式因式分解结果为$2x(x-1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的常规步骤，先提公因式再套用公式，同时注意分解要彻底，避免漏提公因式或混淆完全平方公式的符号。
【难度系数】
0.8

3.分解因式:
(1)$2m^2 - 18 =$ ;
(2)$x^2y - 2xy^2 + y^3 =$ ;
(3)$3x^3 - 12xy^2 =$ ;
(4)$2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 =$ .

3.(1)$2(m+3)(m-3)$
(2)$y(x-y)^2$
(3)$3x(x+2y)(x-2y)$
(4)$2ab(a+b)^2$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式的形式，若为两项则考虑套用平方差公式，若为三项则考虑套用完全平方公式；第三步检查分解后的每个因式是否还能再分解，确保分解彻底，按照该步骤逐个求解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式2，可得$2m^2 - 18 = 2(m^2 - 9)$，再对括号内的式子套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=m,b=3$），得$m^2-9=(m+3)(m-3)$，因此原式$=2(m+3)(m-3)$。
(2) 先提取公因式y，可得$x^2y - 2xy^2 + y^3 = y(x^2 - 2xy + y^2)$，再对括号内的式子套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=x,b=y$），得$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，因此原式$=y(x-y)^2$。
(3) 先提取公因式3x，可得$3x^3 - 12xy^2 = 3x(x^2 - 4y^2)$，再对括号内的式子套用平方差公式（此处$a=x,b=2y$），得$x^2 - 4y^2=(x+2y)(x-2y)$，因此原式$=3x(x+2y)(x-2y)$。
(4) 先提取公因式2ab，可得$2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 = 2ab(a^2 + 2ab + b^2)$，再对括号内的式子套用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（此处$a=a,b=b$），得$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，因此原式$=2ab(a+b)^2$。
【答案】
(1)$2(m+3)(m-3)$；(2)$y(x-y)^2$；(3)$3x(x+2y)(x-2y)$；(4)$2ab(a+b)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的分解原则，计算时注意不要漏提公因式，同时要确认最终结果分解彻底，没有可以继续分解的因式即可。
【难度系数】
0.85

4.把下列各式分解因式：
(1)$x^3 -9xy^2$；
(2)$4m^3n^3 -16mn$；
(3)$\frac{1}{2}x^2 +x +\frac{1}{2}$；
(4)$-8ax^2 +16axy -8ay^2$；
(5)$4x^2(a+b)-y^2(a+b)$。

4.(1)$x(x+3y)(x-3y)$
(2)$4mn(mn+2)(mn-2)$
(3)$\frac{1}{2}(x+1)^2$
(4)$-8a(x-y)^2$
(5)$(a+b)(2x+y)(2x-y)$

【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题思路：第一步先提取多项式各项的公因式，若多项式首项为负，优先提取负号；第二步观察提取公因式后的式子，判断是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$或完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的特征，符合则套用公式继续分解；第三步检查最终的每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底，本题各小题均按该思路求解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$x$，可得原式$=x(x^2-9y^2)$；观察$x^2-9y^2$符合平方差公式特征，其中$a=x$，$b=3y$，套用公式得$x^2-9y^2=(x+3y)(x-3y)$，因此原式$=x(x+3y)(x-3y)$。
(2) 先提取公因式$4mn$，可得原式$=4mn(m^2n^2-4)$；观察$m^2n^2-4=(mn)^2-2^2$符合平方差公式特征，套用公式得$(mn)^2-2^2=(mn+2)(mn-2)$，因此原式$=4mn(mn+2)(mn-2)$。
(3) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，可得原式$=\frac{1}{2}(x^2+2x+1)$；观察$x^2+2x+1$符合完全平方和公式特征，其中$a=x$，$b=1$，套用公式得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此原式$=\frac{1}{2}(x+1)^2$。
(4) 先提取公因式$-8a$（首项为负，先提负号），可得原式$=-8a(x^2-2xy+y^2)$；观察$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式特征，套用公式得$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，因此原式$=-8a(x-y)^2$。
(5) 先提取公因式$(a+b)$，可得原式$=(a+b)(4x^2-y^2)$；观察$4x^2-y^2=(2x)^2-y^2$符合平方差公式特征，套用公式得$(2x)^2-y^2=(2x+y)(2x-y)$，因此原式$=(a+b)(2x+y)(2x-y)$。
【答案】
(1)$x(x+3y)(x-3y)$
(2)$4mn(mn+2)(mn-2)$
(3)$\frac{1}{2}(x+1)^2$
(4)$-8a(x-y)^2$
(5)$(a+b)(2x+y)(2x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，重点考察提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的步骤和两类乘法公式的结构特征是解题的关键，注意最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

5.把多项式$a^4 -1$分解因式,下列结果正确的是（）

A.$(a^2 -1)^2$
B.$(a^2 -1)(a^2 +1)$
C.$(a^2 +1)^2$
D.$(a-1)(a+1)(a^2 +1)$

5.D

【分析】
本题考查因式分解，需遵循“分解到每一个因式不能再分解为止”的原则，解题思路如下：首先观察多项式$a^4 -1$的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$的结构，可先将$a^4$看作$(a^2)^2$、1看作$1^2$，第一次运用平方差公式分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，对可分解的因式再次用平方差公式分解，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
分解因式$a^4 -1$：
第一步：将原式变形为平方差形式：
$a^4 -1=(a^2)^2 - 1^2$
第二步：运用平方差公式分解：
$(a^2)^2 -1^2=(a^2 -1)(a^2 +1)$
第三步：检查因式，发现$a^2 -1$仍符合平方差公式形式，继续分解：
$a^2 -1=(a-1)(a+1)$
因此最终分解结果为：$a^4 -1=(a-1)(a+1)(a^2 +1)$
逐一分析选项：
A选项：$(a^2 -1)^2=a^4-2a^2+1$，与原式不符，错误；
B选项：$(a^2 -1)(a^2 +1)$未分解彻底，$a^2-1$还可继续分解，错误；
C选项：$(a^2 +1)^2=a^4+2a^2+1$，与原式不符，错误；
D选项：是分解彻底的正确结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点是忽略因式分解要分解到每个因式都不能再分解的要求，误选未分解完全的B选项，解题后要注意检查分解是否彻底。
【难度系数】
0.7

6.把下列各式分解因式：
(1)$-x^4 + 81$；
(2)$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$；
(3)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$。

6.(1)$(9+x^2)(3+x)(3-x)$
(2)$(a+b)^2(a-b)^2$
(3)$(x+y)^2(x-y)^2$

【分析】
这三道因式分解题均考查公式法的综合运用，解题思路如下：1.先观察式子的结构特征：两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；2.第一次分解后，要检查所得的每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
具体到每个小题：(1)式是两项、符号相反，可先变形为平方差的形式，第一次分解后剩余的二次二项式还可继续用平方差公式分解；(2)式是三项，符合完全平方公式的特征，分解后得到的二项式仍可继续用平方差公式分解，最后根据乘方的运算性质整理结果；(3)式整体是两项差的形式，符合平方差公式特征，分解后得到的两个三项式均符合完全平方公式特征，可继续分解。
【解析】
(1) 先将式子变形为平方差形式：
$-x^4 + 81 = 81 - x^4 = 9^2 - (x^2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，得：
$=(9+x^2)(9 - x^2)$
$9-x^2$仍可继续用平方差公式分解：
$=(9+x^2)(3^2 - x^2)=(9+x^2)(3+x)(3-x)$
(2) 观察式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=a^2$，$b=b^2$：
$a^4 - 2a^2b^2 + b^4=(a^2 - b^2)^2$
$a^2-b^2$可继续用平方差公式分解：
$=[(a+b)(a-b)]^2=(a+b)^2(a-b)^2$
(3) 先将式子变形为平方差形式，其中$4x^2y^2=(2xy)^2$：
$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2=(x^2+y^2)^2 - (2xy)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(x^2+y^2 + 2xy)(x^2+y^2 - 2xy)$
两个括号内的式子均符合完全平方公式，继续分解：
$=(x+y)^2(x-y)^2$
【答案】
(1)$(9+x^2)(3+x)(3-x)$
(2)$(a+b)^2(a-b)^2$
(3)$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
此类题是因式分解的常见基础题型，解题关键是先根据式子的结构特征匹配对应的乘法公式，需特别注意因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8