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数学活动1 哪个积最大
【数学活动】建立二次函数模型解决数字乘积问题
活动1:下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
91×99,92×98,93×97,…,97×93,98×92,99×91.
解题思路:95×95的积最大,理由如下:
设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为(10−x),
根据题意,得$y=(90+x)[90+(10−x)]=(90+x)(100−x)=\_\_\_\_\_\_$(x=1,2,3,…,9).
∵,∴当x=时,y有最大值,∴95×95的值最大.
活动2:下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是7,后两位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
701×799,702×798,703×797,…,797×703,798×702,799×701.
【问题解决】
(1)对于活动1,请你在横线上补全“解题思路”;
(2)对于活动2,请你参照上述方法,提出猜想,并尝试用建立二次函数模型的方法证明你的猜想.
【数学活动】建立二次函数模型解决数字乘积问题
活动1:下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
91×99,92×98,93×97,…,97×93,98×92,99×91.
解题思路:95×95的积最大,理由如下:
设两个乘数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为(10−x),
根据题意,得$y=(90+x)[90+(10−x)]=(90+x)(100−x)=\_\_\_\_\_\_$(x=1,2,3,…,9).
∵,∴当x=时,y有最大值,∴95×95的值最大.
活动2:下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数都是7,后两位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大,并说明理由.
701×799,702×798,703×797,…,797×703,798×702,799×701.
【问题解决】
(1)对于活动1,请你在横线上补全“解题思路”;
(2)对于活动2,请你参照上述方法,提出猜想,并尝试用建立二次函数模型的方法证明你的猜想.
答案
(1) 依次填入的内容为：$-x^2+10x+9000$，$-1＜0$，$5$
(2)猜想:750×750的值最大,理由如下:设两个乘数的积为y,其中一个乘数的后两位上的数为x,则另一个乘数后两位上的数为(100−x),根据题意,得$y=(700+x)[700+(100−x)]=(700+x)(800-x)=-x^2+100x+560\ 000(x=1,2,3,\dots,100)$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=50$时,y有最大值. $\therefore 750×750$的值最大.
(2)猜想:750×750的值最大,理由如下:设两个乘数的积为y,其中一个乘数的后两位上的数为x,则另一个乘数后两位上的数为(100−x),根据题意,得$y=(700+x)[700+(100−x)]=(700+x)(800-x)=-x^2+100x+560\ 000(x=1,2,3,\dots,100)$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=50$时,y有最大值. $\therefore 750×750$的值最大.
解析
【分析】
本题考查二次函数在数字乘积最值问题中的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的数字规律设出合适的自变量，将两个乘数用含自变量的代数式表示，再把乘积转化为二次函数形式；然后利用二次函数的性质，当二次项系数小于0时抛物线开口向下，函数在顶点横坐标处取得最大值，代入计算即可得到结果。活动2可类比活动1的方法，将三位数的后两位设为自变量，建立二次函数模型求解即可。
【解析】
(1) 先化简乘积的函数表达式：
展开$(90+x)(100-x)$得：$y=90×100 -90x +100x -x^2=-x^2+10x+9000$；
该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=10$得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即$x=5$时$y$取最大值。
(2) 首先提出猜想：$750×750$的积最大，证明过程如下：
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数的后两位上的数为$x$，则另一个乘数后两位上的数为$(100-x)$，根据题意列函数：
$y=(700+x)[700+(100-x)]=(700+x)(800-x)$
展开化简得：$y=-x^2+100x+560000$（$x=1,2,3,\dots,99$）
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值
$\therefore$ 当$x=-\frac{100}{2×(-1)}=50$时，$y$取得最大值，此时两个乘数均为$700+50=750$，即$750×750$的积最大。
【答案】
(1) 依次填入的内容为：$-x^2+10x+9000$，$-1＜0$，$5$
(2)猜想:$750×750$的值最大,理由如下:设两个乘数的积为y,其中一个乘数的后两位上的数为x,则另一个乘数后两位上的数为$(100−x)$,根据题意,得$y=(700+x)[700+(100−x)]=(700+x)(800-x)=-x^2+100x+560000(x=1,2,3,\dots,100)$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=50$时,y有最大值. $\therefore 750×750$的值最大.
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值；整式乘法
【点评】
本题通过探究数字乘积的最值问题，引导学生掌握将实际问题转化为二次函数模型的方法，同时渗透类比的数学思想，能有效提升学生用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在数字乘积最值问题中的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的数字规律设出合适的自变量，将两个乘数用含自变量的代数式表示，再把乘积转化为二次函数形式；然后利用二次函数的性质，当二次项系数小于0时抛物线开口向下，函数在顶点横坐标处取得最大值，代入计算即可得到结果。活动2可类比活动1的方法，将三位数的后两位设为自变量，建立二次函数模型求解即可。
【解析】
(1) 先化简乘积的函数表达式：
展开$(90+x)(100-x)$得：$y=90×100 -90x +100x -x^2=-x^2+10x+9000$；
该二次函数的二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=10$得$x=-\frac{10}{2×(-1)}=5$，即$x=5$时$y$取最大值。
(2) 首先提出猜想：$750×750$的积最大，证明过程如下：
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数的后两位上的数为$x$，则另一个乘数后两位上的数为$(100-x)$，根据题意列函数：
$y=(700+x)[700+(100-x)]=(700+x)(800-x)$
展开化简得：$y=-x^2+100x+560000$（$x=1,2,3,\dots,99$）
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值
$\therefore$ 当$x=-\frac{100}{2×(-1)}=50$时，$y$取得最大值，此时两个乘数均为$700+50=750$，即$750×750$的积最大。
【答案】
(1) 依次填入的内容为：$-x^2+10x+9000$，$-1＜0$，$5$
(2)猜想:$750×750$的值最大,理由如下:设两个乘数的积为y,其中一个乘数的后两位上的数为x,则另一个乘数后两位上的数为$(100−x)$,根据题意,得$y=(700+x)[700+(100−x)]=(700+x)(800-x)=-x^2+100x+560000(x=1,2,3,\dots,100)$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 当$x=50$时,y有最大值. $\therefore 750×750$的值最大.
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值；整式乘法
【点评】
本题通过探究数字乘积的最值问题，引导学生掌握将实际问题转化为二次函数模型的方法，同时渗透类比的数学思想，能有效提升学生用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
