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8. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 （
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
8.C
9. [2024·重庆中考A卷]如图,在$△ ABC$中,延长AC至点D,使$CD=CA$,过点D作$DE// CB$,且$DE=DC$,连接AE交BC于点F.若$∠ CAB=∠ CFA$,$CF=1$,则$BF=$（
A.$\frac{5}{2}$
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.4
B
）A.$\frac{5}{2}$
B.3
C.$\frac{7}{2}$
D.4
答案
9.B
10. 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，$∠ ADE = 60°$. 若$BD = 3DC$，$DE = 6$，则$AD$的长为
8
. 答案
10.8
11.[2025·安庆期中]如图,在锐角$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,连接$DE,AF⊥ BC$于点$F,AG⊥ DE$于点$G,∠ BAF=∠ EAG$.
(1)求证:$△ ABC∽△ AED$;
(2)若$AB=4,AG=2,EG=1$,求$AF$的长.
(1)求证:$△ ABC∽△ AED$;
(2)若$AB=4,AG=2,EG=1$,求$AF$的长.
答案
11. 解:(1)由题意得$∠ AFB=∠ AGE=90°.$
$\because ∠ BAF=∠ EAG,\therefore ∠ ABC=∠ AED.$
$\because ∠ BAC=∠ EAD,\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
(2)$\because ∠ BAF=∠ EAG,∠ AFB=∠ AGE=90°,$
$\therefore △ ABF ∽ △ AEG,\therefore \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{AB}{AE}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEG$ 中,$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{5},$
$\therefore \dfrac{AF}{2}=\dfrac{4}{\sqrt{5}},\therefore AF=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}.$
$\because ∠ BAF=∠ EAG,\therefore ∠ ABC=∠ AED.$
$\because ∠ BAC=∠ EAD,\therefore △ ABC ∽ △ AED.$
(2)$\because ∠ BAF=∠ EAG,∠ AFB=∠ AGE=90°,$
$\therefore △ ABF ∽ △ AEG,\therefore \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{AB}{AE}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEG$ 中,$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{5},$
$\therefore \dfrac{AF}{2}=\dfrac{4}{\sqrt{5}},\therefore AF=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}.$
12. [新课标—探究题]已知$△ ABC$，$△ DEP$是两个全等的等腰直角三角形，$∠ BAC=∠ PDE=90°$.
(1)如图1，若将$△ DEP$的顶点$P$放在$BC$上，$PD$，$PE$分别与$AC$，$AB$相交于点$F$，$G$.求证：$△ BPG ∽ △ CFP$.
(2)如图2，若使$△ DEP$的顶点$P$与顶点$A$重合，$PD$，$PE$分别与$BC$相交于点$F$，$G$.试问(1)中结论还成立吗？请说明理由.
(1)如图1，若将$△ DEP$的顶点$P$放在$BC$上，$PD$，$PE$分别与$AC$，$AB$相交于点$F$，$G$.求证：$△ BPG ∽ △ CFP$.
(2)如图2，若使$△ DEP$的顶点$P$与顶点$A$重合，$PD$，$PE$分别与$BC$相交于点$F$，$G$.试问(1)中结论还成立吗？请说明理由.
答案
12. 解:(1)$\because △ ABC,△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形,
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°,$
$\therefore ∠ BPG+∠ CPF=135°,∠ BPG+∠ BGP=135°,$
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF.$
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG ∽ △ CFP.$
(2)(1)中结论成立.
理由:$\because △ ABC,△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形,
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°.$
$\because ∠ BGP=∠ C+∠ CAG=45°+∠ CAG,$
$∠ CPF=∠ FPG+∠ CAG=45°+∠ CAG,$
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF.$
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG ∽ △ CFP.$
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°,$
$\therefore ∠ BPG+∠ CPF=135°,∠ BPG+∠ BGP=135°,$
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF.$
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG ∽ △ CFP.$
(2)(1)中结论成立.
理由:$\because △ ABC,△ DEP$ 是两个全等的等腰直角三角形,
$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DPE=45°.$
$\because ∠ BGP=∠ C+∠ CAG=45°+∠ CAG,$
$∠ CPF=∠ FPG+∠ CAG=45°+∠ CAG,$
$\therefore ∠ BGP=∠ CPF.$
又$\because ∠ B=∠ C,\therefore △ BPG ∽ △ CFP.$
