7. ［唐山市］如图，$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AC$上，$\angle DBC = \angle A$.若$AC = 4$，$\cos A = \frac{4}{5}$，则$BD =$ ()

A.$\frac{9}{4}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{15}{4}$
D.$4$

7.C

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=4$，$\cos A=\frac{4}{5}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}\Rightarrow AB=\frac{AC}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$，
设$CD=x$，则$AD=AC - CD=4 - x$，
$\angle DBC=\angle A$，$\angle C=\angle C$，
$\triangle ABC\sim\triangle BDC$，
$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\frac{3}{x}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{9}{4}$，
在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{9}{4})^{2}}=\sqrt{9+\frac{81}{16}}=\sqrt{\frac{144 + 81}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$

8. 中华优秀传统文化情境 榫卯 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面$ABCD$是梯形，其中$AD // BC$，$AB = DC$，燕尾角$\angle B = \alpha$，外口宽$AD = a$，榫槽深度是$b$，则它的里口宽$BC$为 ()

A.$\frac{b}{\tan\ \alpha} + a$
B.$\frac{2b}{\tan\ \alpha} + a$
C.$b\tan\ \alpha + a$
D.$2b\tan\ \alpha + a$

8.B

解：过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$，过点$D$作$DF \perp BC$于点$F$，则$AE=DF=b$，$EF=AD=a$。
在$ Rt\triangle ABE$中，$\tan\alpha=\frac{AE}{BE}$，$\therefore BE=\frac{AE}{\tan\alpha}=\frac{b}{\tan\alpha}$。
同理，$CF=\frac{b}{\tan\alpha}$。
$\therefore BC=BE+EF+CF=\frac{b}{\tan\alpha}+a+\frac{b}{\tan\alpha}=\frac{2b}{\tan\alpha}+a$。
答案：B

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$\angle ACB = 20^{\circ}$，$\angle ACB$的平分线与$\angle BAC$的邻补角平分线交于点$D$，连接$BD$，则$\tan\angle BDC$的值是 ()

A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

9.C　[解析]如图，过点D分别作CA,AB,CB所在直线的垂线,垂足分别为E,F,G.
　　　　　
　
∵∠ACB的平分线与∠BAC的邻补角平分线交于点D,
∴DE=DF=DG,∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABG,∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠BAC=120°,∠ACB=20°,
∴∠ABC=40°.
∴∠ABG=140°.
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABG =70°.
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=110°.
∵∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=10°,
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠BCD=60°.
∴tan∠BDC=$\sqrt{3}$.故选C.

10. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$AB = 2\sqrt{10}$，延长$AB$至点$C$，连接$OC$.若满足$OC^2 = BC · AC$，$\tan\alpha = 3$，则点$C$的坐标为 ()

A.$\left( - \frac{3}{4}, \frac{9}{4}\right)$
B.$(-3,9)$
C.$(-2,6)$
D.$\left( - \frac{5}{3}, \frac{15}{4}\right)$

10.A　[解析]如图,过点C作CD⊥x轴，垂足为点D.
　　　　　　　
　
∵OC²=BC·AC,
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{BC}{OC}$.
∵∠ACO=∠BCO,
∴△COA∽△CBO.
∴∠CAO=∠COB.
∵∠COB+∠COD=90°,∠CAO+∠ABO=90°,
∴∠COD=∠ABO=α.
∵tanα=3,
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=3.
∴AO=3BO.在Rt△ABO中,
∵AO²+BO²=AB²,
∴9BO²+BO²=40.
∴BO=2.
∴AO=3BO=6.在Rt△CDO中,tanα=$\frac{CD}{DO}$=3,
∴CD=3DO.
∵∠CDO=∠BOA=90°,∠BAO=∠CAD,
∴△BAO ∽△CAD.
∴$\frac{BO}{CD}$=$\frac{AO}{AD}$
∴$\frac{2}{3DO}$=$\frac{6}{6 + DO}$
∴DO=$\frac{3}{4}$
∴CD=3DO=$\frac{9}{4}$.故选A.

11. 如果$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，那么锐角$\angle A$的度数为.

11.30°

12. ［南京模拟］如图，在一坡度为$1 : 2$的斜坡上种有两棵树，它们之间的距离($AB$)为$10\ m$，则这两棵树的高度差($BC$)为$ m$.($\sqrt{5} \approx 2.236$，结果精确到$0.01$)

12.4.47

解：由题意知，斜坡坡度为$1:2$，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，设$BC=x$，则$AC=2x$。
在$ Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$(2x)^{2}+x^{2}=10^{2}$。
化简得：$4x^{2}+x^{2}=100$，$5x^{2}=100$，$x^{2}=20$，$x=2\sqrt{5}$（负值舍去）。
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$x\approx2×2.236=4.472\approx4.47$。
故这两棵树的高度差$BC$为$4.47\ m$。
答案：$4.47$

13. 如图，点$A$，$B$，$C$在正方形网格的格点(网格线的交点)上，则$\sin\angle BAC =$ .

13.$\frac{\sqrt{26}}{26}$

14. 一副三角板按如图方式摆放，其中$\angle ADB = \angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle CBD = 45^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，过点$E$作$EF \perp CD$于点$F$.若$AD = 4\ cm$，则$EF$的长为$ cm$.

14.($\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$)